Osserviamo ora i quesiti implementati e proposti agli insegnanti. Questi quesiti sono stati ideati a partire da domande delle Prove INVALSI (dal 2008 al 2014) somministrate nelle classi seconde e quinte della scuola primaria e nelle classi prime e terze della scuola secondaria di primo grado. Esse sono pensate per essere svolte sia in un contesto di classe in cui l’insegnante si possa supportare con una LIM, sia in piccoli gruppi, ognuno dotato di computer.
avrebbe apportato un effettivo arricchimento dal punto di vista didattico; ovviamente sono stati selezionati item prevalentemente dell’ambito spazio e figure. Come abbiamo detto, le attività ideate in questa prima fase e le relative considerazioni didattiche sono state il focus di alcuni incontri di formazione. In particolare, queste sono state progettate partendo dall’analisi delle Guide alla Lettura (visionabili sul sito dell’INVALSI www.invalsi.it), contenenti i riferimenti alle Indicazioni Nazionali 2012, gli aspetti didattici coinvolti e i risultati ottenuti su scala nazionale. Sono descritte le animazioni realizzate con il software di geometria dinamica e le implicazioni concettuali derivanti dalla loro implementazione. Le costruzioni realizzate sono di per sé accessibili e facilmente realizzabili, difatti scopo del nostro intervento non è tanto l’elaborazione di animazioni sofisticate, quanto quello di avvalersi della dinamicità del software per ricreare delle situazioni d’aula, in diversi ambienti di apprendimento, permettendo in questo modo agli insegnanti di poter operare una valutazione formativa dei propri studenti. Vengono di seguito riportati quattro esempi, tra i 15 realizzati.
La seguente domanda è stata somministrata nella prova INVALSI 2012, agli studenti del primo anno della scuola secondaria di primo grado.
Figura 1: Guida alla lettura INVALSI, D14 livello 06 – 2012
Come illustrato nel commento al quesito, lo studente dovrebbe riuscire a modellizzare la situazione reale descritta e ad interpretarla dal punto di vista matematico, riconoscendo la presenza di un triangolo rettangolo isoscele. Si tratta di un quesito volto a verificare una specifica conoscenza (conoscere definizioni e proprietà significative delle principali figure piane), difatti, utilizzando la definizione e le proprietà di triangolo rettangolo, e facendo ricorso a uno dei primi teoremi di geometria euclidea per il quale “un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti”, è possibile determinare la misura dell’angolo α, pari a 45°. Come possiamo notare dalle percentuali di risposta nazionali, solo poco più del 20% degli studenti ha fornito la risposta corretta e più del 10% non ha risposto. Una possibile chiave di lettura del fenomeno potrebbe ricondurre le difficoltà degli studenti alla mancata capacità di modellizzare il problema e, quindi, di riconoscere le proprietà necessarie per una sua corretta risoluzione.
Questo stesso quesito, presentato in una situazione d’aula mediante un software di geometria dinamica, può costituire un problema di esplorazione di grande interesse, in quanto, pur lasciando inalterato il question intent, esso potrebbe essere riformulato in maniera tale da
lasciare la possibilità di esplorare una situazione geometrica, di formulare una congettura, di validarla e quindi di dimostrarla, una volta convenuto che non è sufficiente vedere con il software che una certa tesi funziona, ma che bisogna giustificarla nel sistema teorico (Accomazzo et al.,
2013, p. 5).
La costruzione di GeoGebra che abbiamo progettato riproduce il contesto problematico del quesito mediante la rappresentazione di un modello “albero-sole”: una volta scelta la misura
dell’altezza dell’albero, mediante uno slider è possibile spostare la posizione del Sole per scoprire come varia la misura dell’angolo formato dai raggi e, al tempo stesso, la lunghezza dell’ombra generata da questi (Fig.2).
Figura 2: animazione quesito D14 livello 06 – 2012
Pertanto, tramite il trascinamento dello slider, gli studenti potranno fare congetture, eventualmente ricercando per tentativi la particolare angolazione verificante i requisiti espressi nell’enunciato; gli alunni potranno inoltre esaminare diverse prospettive o indagare altre situazioni singolari e posizioni limite (esempio: raggi perpendicolari alla superficie terrestre). Naturalmente
questo non può venire fatto ex cathedra, mostrando delle schermate [...] devono essere i ragazzi a fare, sperimentare, scoprire (Bolondi, 2006, p. 3).
Un’altra domanda di estremo interesse in questa direzione è la seguente, tratta dalle Prove INVALSI 2014, somministrata agli studenti dell’ultimo anno della scuola primaria.
Figura 3: Guida alla lettura INVALSI, D14 livello 05 – 2014
Le conoscenze in gioco in questo quesito non si discostano molto da quelle del quesito precedente; quelle che cambiano in maniera sostanziale sono le competenze indagate. Infatti,
in questa situazione, le figure geometriche in gioco sono già esplicitate nel testo della domanda e non viene richiesto agli studenti la modellizzazione di una situazione reale. Ciò potrebbe rappresentare una possibile spiegazione alla bassa percentuale di mancate risposte. Nonostante questo, solamente un terzo del campione risponde correttamente alla domanda. Una difficoltà riscontrata dagli studenti può essere la posizione non standard del triangolo rettangolo, segno di una delle misconcezioni più frequenti e studiate in letteratura (Sbaragli, 2012). Difatti, se uno degli obiettivi che si deve raggiungere, specie in geometria, è che
lo studente riesca ad osservare un oggetto matematico nella sua “essenza”, analizzando con elasticità le sue peculiari caratteristiche, allora occorre che il suo apprendimento non si assoggetti a rigidi vincoli spaziali (Sbaragli, 2012, p. 16).
A tal fine, l’attività creata con il software GeoGebra è pensata per creare situazioni di apprendimento volte a favorire le capacità degli studenti ad osservare ed analizzare gli oggetti, indipendentemente dalla posizione che essi assumono, in questo modo si è poi più abili a riconoscere e analizzare la situazione anche al cambiare della proposta. Pertanto, l’implementazione con GeoGebra di questa situazione, prevede la rotazione del vertice inferiore al fine di evidenziare come cambi la somma degli angoli evidenziati in grigio (variare l’ipotenusa del triangolo isoscele mostra come gli angoli alla base rimangano sempre uguali tra loro, mentre solo quando il cateto è allineato con il lato del quadrato, allora diventa un triangolo rettangolo isoscele, con angoli alla base di 45°). Si può inoltre focalizzare l’attenzione sull’invarianza delle proprietà delle figure geometriche, mostrando ad esempio come al variare della misura del lato del quadrato (e quindi anche del cateto del triangolo), la misura degli angoli non cambi (Fig.3). In definitiva, partendo da una consegna iniziale, si possono poi investigare diverse configurazioni e sulla base di queste fare diverse congetture, in modo tale che gli alunni diventino sempre più capaci di padroneggiare situazioni geometriche svincolando le proprietà delle famiglie di figure dalle sovrastrutture delle singole figure, spesso proprie delle posizioni delle stesse.
Figura 4: animazione quesito D14 livello 05 – 2014
La seguente attività prende spunto dalla domanda D25 della Prova INVALSI-2012, rivolta agli studenti italiani delle classi prime della scuola secondaria di primo grado.
Figura 5: Guida alla lettura INVALSI, D25 livello 06 – 2012
La costruzione del concetto di altezza di un triangolo è spesso caratterizzata da alcune misconcenzioni legate sia al concetto di perpendicolarità, sia alla posizione delle figure (D’Amore, 1999). L’analisi combinata del testo e delle percentuali di risposta nazionali di questo quesito conferma i fenomeni evidenziati in letteratura e mette in luce le problematicità in cui incorrono molti studenti quando si trovano di fronte a rappresentazioni di figure in posizioni non standard. Per risolvere in modo corretto il quesito è necessario individuare l’altezza del triangolo posto in posizione non standard (cioè con nessun lato parallelo a uno dei lati del foglio). Il question intent della domanda è quindi rivolto ad investigare la capacità degli studenti di distinguere il concetto di distanza di un vertice da un lato (definizione geometrica di altezza), e la nozione di segmento, retta o semiretta, “verticale” rispetto ad un altro disposto orizzontalmente. Tale ambiguità deriva dal mondo reale,
Figura 6: animazione quesito D25 livello 06 – 2012
dato che in questo ambito si parla di solito di altezza come quella distanza che viene individuata tramite la direzione del filo a piombo: verticale dal punto di vista dal quale tradizionalmente si osserva il mondo (Sbaragli, 2012, p. 16).
Il dinamizzare la situazione permette di passare da un oggetto ad una famiglia di oggetti (Bolondi et al., 2012). Potendo trascinare, ad esempio, il punto B, si ottengono diverse configurazioni del triangolo, e ciò permette di focalizzare l’attenzione sulla proprietà caratterizzante la definizione di altezza (in questo caso relativa al lato AB) quale distanza tra un punto e un segmento, svincolandola dalla misconcezione per la quale essa debba essere necessariamente verticale.
In matematica non vi sono direzioni privilegiate, e l’uso di animazioni come quella appena descritta potrebbe portare ad una rivalutazione delle proprietà degli oggetti geometrici, creando un ambiente di apprendimento che conduca
Figura 7: animazione quesito D25 livello 06 – 2012
[..] progressivamente lo studente dall’intuizione e dalla scoperta di proprietà geometriche alla
loro rappresentazione razionale e a una piena comprensione delle stesse (Accomazzo et al.,
2013).
Una domanda delle Prove INVALSI che certamente invoca una situazione dinamica è la seguente, somministrata nel 2012 nella Prova Nazionale al termine del primo ciclo d’istruzione.
Figura 8: Guida alla lettura INVALSI, E14 Prova Nazionale fine primo ciclo (scuola media) – 2012
Questo quesito si collega ad una interessante attività sul Teorema di Pitagora elaborata da Emma Castelnuovo nel suo libro “Geometria Intuitiva” (Castelnuovo, 1959, p. 59). Esso è suddiviso in due item, a) e b): il primo richiede il calcolo dell’area di un quadrato in un caso specifico (quando DO = CN = BM = NL = 2 cm) mentre il secondo, generalizzando la situazione precedente, di individuare l’area minima del quadrato LMNO al variare della posizione del punto O tra quattro ipotesi differenti. Quest’ultima consegna rappresenta un tipico esempio di quei problemi di modellizzazione in cui si chiede di determinare il massimo o il minimo di una
certa grandezza e, più in generale, di studiare come varia una grandezza in funzione di un’altra (Arzarello et al., 2012). L’attività qui presentata nella sua forma tradizionale, spesso risolta dagli studenti semplicemente per tentativi, “buttandosi sui conti”, è stata dinamizzata attraverso l’uso di GeoGebra, in modo tale che gli studenti, in fase di apprendimento, possano visualizzare la
situazione tramite una sua rappresentazione grafica, integrata da rappresentazioni numeriche (tabelle numeriche di dati), o simboliche (formule) (Accomazzo et al., 2013), ma soprattutto al
fine di spostare l’attenzione dalle formule fisse alle relazioni funzionali, passaggio che, specie in geometria, crea diverse problematiche concettuali.
Figura 9: animazioni quesito E14 Prova Nazionale fine primo ciclo (scuola media) – 2012
Partendo dallo studio del trascinamento del punto O lungo il segmento CD (il quadrato ABCD risulta sempre scomposto in quattro triangoli rettangoli uguali e nel quadrato LMNO), l’insegnante può proporre agli allievi altre questioni interessanti: esiste una relazione di proporzionalità tra la misura del lato DO e quella dell’area del quadrato LMNO. Esiste un limite in cui questa relazione passa da crescente a decrescente o viceversa? Per quali valori, invece, si ottiene l’area massima?
Conclusioni
Una prima analisi delle documentazioni realizzate dagli insegnanti nelle loro classi permette di affermare che le situazioni dinamiche presentate possono effettivamente offrire molteplici opportunità di lavoro con gli allievi e con la classe nel suo insieme. I risultati della valutazione standardizzata, che mettono in evidenza macro-fenomeni spesso già studiati in letteratura e richiamati negli strumenti a disposizione degli insegnanti, come le Guide alla lettura, hanno permesso agli insegnanti di intervenire puntualmente, durante l’azione didattica, sui nodi del processo di apprendimento e sulle criticità. Il confronto coi dati di sistema ha infatti reso possibile una effettiva stima delle difficoltà presenti nei task proposti.
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