Maria Cantoni, Donatella Merlo
“La Casa degli Insegnanti”
mariacantoni2@gmail.com, donatellamerlo@tiscali.it
Abstract
Siamo partiti da un problema “scontato”: come accompagnare i cambiamenti che avvengono
negli allievi a livello fisico, dall’infanzia all’adolescenza, insieme a quelli che riguardano lo sviluppo della loro mente. I punti fondamentali del discorso che abbiamo intrapreso in una
sperimentazione di alcuni mesi con una rete di scuole di Roseto degli Abruzzi, si possono riassumere così:
• costruire nella scuola dell’infanzia e alla primaria le fondamenta per gli approfondimenti nella scuola secondaria;
• come rendere stabili le concettualizzazioni raggiunte; • come farle evolvere;
• come farle divenire man mano “strumento” per i passi successivi.
La sintesi del nostro lavoro tenta di esemplificare il percorso: siamo partite da uno dei contenuti proposti nella sperimentazione della scuola secondaria, il Teorema di Pitagora, e abbiamo ripercorso a ritroso il cammino ricercando gli strumenti necessari alla sua comprensione in modo che poi il teorema stesso potesse diventare a sua volta “strumento per...”.
Infinite, ovviamente, sono le strade possibili che, partendo dalla scuola dell’infanzia, potrebbero far fluire tutto il lavoro geometrico necessario.
Andando a ritroso, prima di affrontare Pitagora, ‘abbiamo trovato’ la necessaria conquista di almeno tre ‘strumenti’: le forme con le loro proprietà, le isometrie, l’equiestensione, ad ogni età ad un livello concettuale diverso che potesse essere ripreso dal successivo per evolversi. Spostando l’attenzione dagli ‘oggetti’ ai nostri comportamenti relativi agli oggetti materiali che osserviamo e manipoliamo abbiamo cercato, partendo dalle intuizioni spontanee dei bambini, dal loro gioco, di costruire la geometria sfruttando la ‘geometria delle trasformazioni’. Siamo divenuti coscienti di quello che essa ‘dice’, di come fa a dirlo e della sequenza logica dei procedimenti che mettiamo in atto nelle nostre scoperte.
Abbiamo costruito le ‘forme’ con le loro proprietà, le abbiamo confrontate, abbiamo scoperto le classi di equivalenza …
GeoGebra è stato protagonista come strumento grafico per l’infinita variabilità con cui può tradurre ‘le figure’ da considerare nelle varie fasi, la possibilità di ‘accompagnarci’ nelle trasformazioni, di suggerirci la necessità dei perché e infine per ‘esporre’ i nostri risultati.
Introduzione
Uno dei contenuti proposti in una sperimentazione in verticale di alcuni mesi con una rete di scuole di Roseto degli Abruzzi, il teorema di Pitagora, ha fatto discutere molto i colleghi. Il teorema di Pitagora dovrebbe essere un po’ il vertice dell’‘astrazione’ a cui i ragazzi della scuola dell’obbligo possono arrivare perché si parla di ‘dimostrazione’, una parola che forse non è neppure molto chiara a loro stessi.
Ma che cosa si fa realmente? Siamo sicuri che l’itinerario che i libri di testo solitamente seguono e che in qualche modo noi ‘spieghiamo’ sia recepito come cammino verso la presa di coscienza
di un’affermazione che poi sarà usata in un vasto ‘ambiente di semplici esercitazioni’?
Chi lo stava ‘portando’ in classe non ne era molto sicuro e nell’analizzare le costruzioni che solitamente dovrebbero portare alla scoperta, abbiamo notato insieme che una cosa che non viene mai rilevata è perché quelle ‘specie di puzzle’ con i quali si ‘gioca’, realmente funzionino e ci possano portare quindi a quella relazione.
Figura 1
Come li costruiamo? Ci domandiamo perché nel secondo disegno i quattro rettangoli incornicino un quadrato? Non sarebbe una domanda alla portata di ragazzi tredicenni? E perché solitamente non diviene un punto importante del lavoro da svolgere verso la dimostrazione?
Quasi spontaneamente siamo voluti allora ritornare indietro all’inizio della scuola, addirittura alla scuola dell’infanzia per approfondire meglio a quale presa di coscienza si possa davvero arrivare, a tutti i livelli, con una didattica che coinvolga gli allievi nel loro percorso di ‘appropriazione’ della geometria sfruttando un itinerario che faccia leva sulla geometria delle trasformazioni e con l’apporto di uno strumento tecnologico come GeoGebra: la geometria delle trasformazioni perché puntando l’attenzione sulle manipolazioni che noi facciamo per accostare la realtà, accentua in qualche modo la riflessione sulle stesse e i loro risultati, con GeoGebra perché nell’azione virtuale parallela che possiamo operare esaltandole e generalizzandole, pone domande particolarmente intriganti.
Lasciamo parlare poco per volta le immagini portate ai colleghi attraverso un GeoGebraBook con un commento che speriamo possa socializzare le nostre idee.
Rendere stabili le concettualizzazioni costruite personalmente proprio a partire dall’infanzia è fondamentale perché la matematica diventi patrimonio cosciente di chi la usa.
Questo ci porta a considerare due nodi problematici:
a. la costruzione di un curriculum verticale e quindi come rendere stabili le concettualizzazioni trasformando le conoscenze in strumenti concettuali;
b. il passaggio dall’esperienza alla conoscenza, cioè come cominciare a rendere cosciente il contenuto matematico incorporato nelle manipolazioni spontanee dei bambini, quindi, ine- vitabilmente a porsi la domanda: che cosa non facciamo di solito a scuola?
Su questi due nodi si inserisce GeoGebra: come ci può venir incontro se il problema è così complesso? Facciamo un esempio: in GeoGebra, per costruire due rette perpendicolari, si deve usare la perpendicolarità come strumento, deve esserci una concettualizzazione, si deve per forza uscire dalla logica del disegno e ragionare sulle relazioni geometriche, altrimenti non si fa nulla. GeoGebra ci costringe ad usare i concetti anche prima di averne compreso appieno il significato. Questo è importante ma pone altri problemi. Quando far usare ai bambini questi strumenti? Prima o dopo che ne abbiamo compreso il significato? Funziona in questo caso l’apprendistato cognitivo? In altre parole è bene o male che l’insegnante, in un primo momento, presti la mano ai bambini? GeoGebra non rende ‘automatico’ l’apprendimento nei bambini: per arrivare ad una presa di coscienza dei concetti di cui i bambini si sono serviti per poter costruire
una figura, serve il lavoro dell’insegnante cioè un ritorno un ritorno alla riflessione sui fatti sperimentati, sulle manipolazioni concrete fatte parallelamente all’uso di GeoGebra, proprio per costruire i significati mancanti.
Il ruolo della mediazione semiotica nell’uso di questo e altri strumenti è noto. Che gli insegnanti la sappiamo sfruttare correttamente è un altro discorso. Si entra quindi in un discorso molto di tipo metodologico che non si può tralasciare, ma che qui ora non possiamo affrontare se non per cenni mostrando alcuni esempi di attività svolte dagli allievi della scuola primaria e documentati dagli insegnanti che hanno collaborato alla costruzione del percorso didattico1.
Iniziando dalle attività di gioco che si svolgono nella scuola dell’infanzia ci accorgiamo che azioni come spostare, far combaciare, sovrapporre, ruotare, capovolgere, specchiare, … ‘nascondono’ la geometria delle trasformazioni. Ed è proprio su questo che intendiamo lavorare, come vedremo, a cominciare dal trasporto rigido degli oggetti che ‘con evidenza’ mantengono le loro caratteristiche indipendentemente dalla posizione in cui si trovano.
Gli insegnanti per primi devono però rendersi conto che ogni gioco o attività che il bambino fa hanno anche un ‘contenuto matematico’ che si può ‘prendere in mano’, rendendolo poco per volta esplicito. Oltre alle manipolazioni abbiamo esperienze fondamentali che ci portano verso le immagini che potremo concettualizzare con le trasformazioni geometriche e tra queste una ‘fondamentale’: la simmetria.
La visione di una ‘simmetria’ nella realtà è una delle esperienze più facili da incontrare e da vivere. Anche per i bambini ci sono delle evidenze che nascono dal confronto delle figure. Scoprono così un’idea particolare di ‘uguaglianza’ che possiamo dare come cosa acquisita, da non spiegare, ma che fa parte di esperienze concrete su cui si può far leva. In questo senso parliamo di ‘simmetria come assioma’. Ma dove ci porta la simmetria?
La simmetria è ben più ricca di quanto possa sembrare. Il prodotto di due simmetrie infatti diventa una traslazione se gli assi sono paralleli tra di loro: trasformiamo in tal modo i punti con uno ‘spostamento’ della stessa lunghezza, direzione e verso.
Figura 2
Lo spostamento ottenuto con una traslazione garantisce allora l’invarianza della forma perché la traslazione non è nient’altro che la composizione di due simmetrie. Analogamente per la rotazione se gli assi sono incidenti.
1 Anna Aiolfi (1° circolo di Spinea, scuola dell’infanzia), Elisa Meoni e Paola Sgaravatto (1° circolo di Pinerolo), Alessandra Morero (3° circolo di Pinerolo). Hanno partecipato all’attività anche Luciana Canavosio (3° circolo di Pinerolo) e Donatella Marro (1° circolo di Cuneo) i cui contributi sono stati presentati in altre occasioni.
Nelle immagini sottostanti vediamo, in una manipolazione virtuale, una delle possibili traslazioni: mi fermo dove voglio … ed ho sempre un triangolo uguale a quello di partenza. In questo modo si può generare un numero infinito di forme, una classe di equivalenza e tra di esse si può sempre scegliere quella più opportuna al contesto che vogliamo analizzare.
Figura 3 Figura 4
Abbiamo quindi le isometrie nel loro complesso come strumenti per costruire ragionamenti che abbiano un valore “geometrico”. Molto spesso però a scuola vi è un ricorso affrettato e immotivato alla misura cosa che ci pare chiudere le porte alla geometria. Che cosa non funziona in questo tipo di approccio?
La costruzione di modelli di figure geometriche con la carta che si può piegare e consente quindi di realizzare facilmente delle simmetrie, porta certamente in un’altra direzione e permette poi con GeoGebra di ampliare e di approfondire i discorsi restando nella geometria.
Vediamo qui le rette parallele tagliate da una trasversale come traslazione. Ciò porta alla visione degli angoli descritti in questa situazione in modo nuovo ed efficace. Un discorso solo da scuola media?
Figura 5 Figura 6
Proprio questa nuova visione permetterebbe di arrivare alla somma degli angoli interni di un triangolo ad un altissimo livello concettuale, di vera dimostrazione. Ciò è possibile anche alla scuola primaria se i bambini sanno operare in modo consapevole con le traslazioni.