Il terzo problema si scosta dai precedenti, ma è molto simile ad altri problemi che si trovano sui libri di testo: la scala è ferma, appoggiata ad un muro e contemporaneamente ad una palizzata alta 3 metri; quest’ultima è distante dal muro mezzo metro. Ci si chiede quale deve essere la lunghezza minima della scala perché si realizzi tale situazione. Si può dire che è un problema
standard, di calcolo di minimo attraverso la derivata, dopo aver espresso la lunghezza della scala in funzione dei dati noti. Si trova su libri di testo come applicazione appunto delle derivate e della ricerca di massimi e di minimi.
Se modellizziamo la situazione ed indichiamo con y la lunghezza della scala e con x la distanza del piede della stessa dalla palizzata, si individuano due triangoli simili per cui si riescono facilmente ad esprimere in funzione delle variabili tutti i segmenti necessari per rappresentare la lunghezza della scala. In particolare il triangolo individuato da quest’ultima, dal pavimento e dalla parete ha i due cateti esprimibili come e (Figura 5a). La lunghezza della scala è quindi espressa da . I calcoli per semplificare l’espressione
non sono difficili, ma sicuramente un po’ noiosi. Se inoltre non si è attenti a vedere subito possibili raccoglimenti, si finisce in un ginepraio da cui difficilmente poi si riesce ad uscire per poter ottenere una derivata che dia le informazioni volute.
Una possibile forma semplificata potrebbe essere . Nonostante questa semplificazione, abbiamo ottenuto un prodotto di una radice per una frazione, il che dal punto di vista della derivazione non è proprio una cosa elementare. Procedendo dunque con i calcoli, ovvero derivando questa funzione ed operando le necessarie semplificazioni, si ottiene . Tale funzione si annulla quindi per . A questo punto dobbiamo trovare la lunghezza minima della scala; che sia effettivamente un minimo si verifica immediatamente perché il denominatore è sempre positivo, mentre il segno del numeratore dipende dal segno della cubica, negativa prima del suo zero e positiva dopo. Più noioso ed anche un po’ complesso il calcolo derivante dalla sostituzione del valore di x nella funzione per determinare la lunghezza della scala. Si richiedono una serie di intuizioni che, attraverso raccoglimenti particolari, portano alla soluzione m. Chiaramente si sarebbe potuto sostituire il valore approssimato di x (1.65 m) che darebbe la lunghezza minima approssimata della scala (4.46 m), avendo naturalmente eseguito quest’ultima parte di calcoli con una calcolatrice!
Figura 5. a. Modellizzazione – b. Luogo delle lunghezze
Quali sono allora gli obiettivi raggiunti con questo esercizio?
Di conoscenza: sapere che la ricerca di un minimo si effettua annullando la derivata prima. Ma questo si può ottenere anche con funzioni che non impegnino in calcoli così complessi. Di abilità: saper fare derivate non elementari, saper eseguire calcoli algebrici che richiedono intuizione per le semplificazioni e destrezza nel calcolo. Può essere un obiettivo importante? Se leggiamo le Linee Guida per i Licei troviamo: “Non sarà richiesto un particolare addestramento
nelle tecniche di calcolo, che si limiterà alla capacità di derivare funzioni già note, semplici prodotti, quozienti e composizioni di funzioni, le funzioni razionali …”. Possiamo allora
concludere che questo tipo di esercizio esula da quelle che sono le indicazioni ministeriali. E le competenze? Resta un po’ difficile declinarle perché sicuramente, nei vari passaggi di calcolo, il problema in esame rimane in ombra e lo studente non è certo incoraggiato a fare un’analisi della situazione, visto che l’obiettivo è il risultato numerico.
Dobbiamo allora rinunciare a questo esercizio? No, anzi può essere uno spunto per considerazioni più approfondite, se si svincola il tutto dalle problematiche del calcolo manuale. GeoGebra infatti, oltre ad offrire eventualmente l’ambiente CAS per eseguire i calcoli, si presta con gli altri ambienti ad un approccio che consente di analizzare il problema anche senza avere conoscenze di analisi.
Una prima grossolana interpretazione può essere semplicemente riconducibile al movimento del piede C della scala, osservando la variazione della lunghezza di quest’ultima in funzione della posizione di C, ad esempio nella vista Algebra o riportando i valori dinamici nella vista Grafica. Sarà opportuno avere una approssimazione con un certo numero di cifre decimali per aver informazioni più precise. In questo modo si trova non solo quando la scala raggiunge il valore minimo, ma si può intuire come varia la lunghezza.
Un’analisi più approfondita può essere fatta in Grafici 2, inserendo un punto che abbia come ascissa x(C)-0.5 e come ordinata la lunghezza della scala. L’ascissa del punto rappresenta allora la distanza di C dalla palizzata, che nei calcoli precedenti era la variabile x, mentre la lunghezza era naturalmente y. Se attiviamo su questo punto la traccia, abbiamo una rappresentazione dell’andamento della lunghezza della scala al variare della posizione di C ed anche una possibilità di lettura del valore approssimato minimo di tale lunghezza. Possiamo ancor meglio far disegnare il luogo di questo punto al variare di C: avremo così una curva ben definita, anziché un insieme discreto di punti (Figura 5b).
Figura 6. a. Ricerca grafica del minimo – b. Uso del CAS
Per determinare il minimo possiamo prendere un punto su ciascuno dei due assi; per tali punti tracciamo la perpendicolare all’asse a cui appartengono. Muovendo i due punti possiamo cercare di far coincidere il punto di intersezione delle due rette con il minimo della curva luogo (Figura 6a). Sebbene il risultato sia approssimato, siamo pervenuti alla soluzione senza scomodare l’analisi. L’andamento del grafico del luogo “lunghezza scala” fornisce inoltre alcune informazioni per meglio capire come varia la situazione in relazione alla posizione del piede della scala rispetto alla palizzata. Infatti sia il movimento della scala sia il grafico ci dicono che, avvicinandosi la scala alla palizzata quasi a diventare parallela al muro, la sua lunghezza aumenta in modo notevole: nel grafico si nota il comportamento asintotico. Stesso comportamento che si nota anche quando il piede della scala si allontana dalla palizzata: la scala tende a diventare parallela all’asse delle ascisse ed infatti l’asintoto obliquo è y=x, ovvero distanza dalla palizzata e lunghezza della scala tendono a confondersi.
Infine se vogliamo conferme possiamo farci aiutare dal CAS di GeoGebra (Figura 6b) che ci consente di giungere rapidamente ai risultati, sia in forma esatta che approssimata.
Bibliografia
Marconato, G. (2009). E-learning senza Learning Object: un approccio per attività di apprendimento, Le tecnologie nella didattica, Gardolo: Erikson.
Sasso, L. (2012). Nuova Matematica a colori (5 Blu), 287, 399. Torino: Petrini.
Tall, D. (1988). Concept Image and Concept Definition. In J. de Lange, M. Doorman Senior
Annarosa Serpe
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università della Calabria - Italia [email protected]
Maria Giovanna Frassia
PhD student, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università della Calabria - Italia [email protected]
Les lignes s’entrecoupent, les courbes se croisent. Symétries. Asymétries. Réelle oeuvre d’art.
www.breguet.com/it/Il-Museo-Breguet
Abstract
Le curve offrono un campo ricco ed inesplorato che può essere scoperto e riscoperto a vari livelli d’età scolare; in particolare, ci sono delle curve, molto interessanti, nate da problemi fisici e da sviluppi interni al pensiero matematico, che hanno segnato per lungo tempo la storia della Fisica e della Matematica.
In questo lavoro si propone un’esemplificazione didattica, sulla spirale di Breguet, allo scopo di avvicinare gli studenti alla Matematica attraverso l’uso del computer, al contempo affrontare con maggiore concretezza argomenti raramente trattati, o solamente accennati, durante le ore di lezione in classe.
La proposta didattica, ideata per il triennio della scuola secondaria superiore, è articolata nel modo seguente: dopo aver delineato la metodologia didattica si presenta il percorso laboratoriale finalizzato al processo di costruzione, in ambiente euclideo, della spirale di Breguet con l’uso del software GeoGebra. Considerazioni finali chiuderanno il lavoro.
Introduzione
Le curve, oggetti geometrici per eccellenza, hanno da sempre affascinato i matematici - e non solo - perché rinviano al disegno, al progetto, al costruire, ma insieme simboleggiano il gesto e la bellezza. Nella scuola secondaria italiana, l’argomento delle curve viene spesso trascurato - eccezion fatta per le coniche e qualche cubica - non solo per questioni legate alla natura temporale ma perché risulta difficile da gestire, soprattutto per ciò che concerne la visualizzazione e la rappresentazione grafica. Oggi, con le moderne tecnologie, tale gap può essere colmato in quanto il computer, inesauribile risolutore efficace di problemi, inserito in un opportuno quadro metodologico, può diventare motore essenziale e continuo dell’azione didattica nell’insegnamento-apprendimento della matematica; e utilizzato con l’ausilio di opportuni software didattici consente metodi e procedimenti alternativi ai soliti percorsi didattici. In quest’ottica si colloca il presente lavoro che propone una esemplificazione didattica sulla spirale di Breguet (1747-1823), curva ideata per dare maggiore regolarità di marcia e migliori prestazioni agli orologi. Lo studio della curva parte da un excursus storico-scientifico del problema fisico che ha portato Breguet alla creazione di una variante della classica spirale piana; prosegue, poi, con una modellizzazione matematica al computer mediante il software di geometria dinamica GeoGebra.
In tale prospettiva si vuole mostrare come la Matematica interagisce con la Fisica fornendo strumenti concettuali necessari per risolvere il problema; la modellizzazione matematica,
effettuata con un software di geometria dinamica, consente di effettuare un salto astrattivo notevole: la curva si sgancia dalla fisica e diventa oggetto di speculazione e di ricerca in sé, al di fuori d’immediate applicazioni. Infatti, l’impiego di un DGS come GeoGebra permette di lavorare in maniera differente da quella tradizionale (il classico approccio “carta e matita”) perché consente di fare esperienza diretta, a diversi livelli, con fatti matematici; gli studenti hanno realmente la possibilità di lavorare sull’oggetto geometrico in modo costruttivo esplorando proprietà, formulando congetture mettendole alla prova anche per mezzo delle stesse funzioni presenti nel software.
Tutto questo apporta dei vantaggi nell’apprendimento e nell’elaborazione delle conoscenze matematiche e al contempo fornisce la possibilità agli insegnanti di gettare uno sguardo su nuovi territori che nel normale percorso di studi rimangono pressoché inesplorati.