Una breve introduzione alla logica fuzzy

Muovendo dal dibattito richiamato nel capitolo precedente, si tenterà qui di innovare le principali classificazioni relative al grado di ruralità dei territori europei, adottando un sistema esperto basato sulla logica fuzzy. In generale, i “sistemi esperti” si sono diffusi molto rapidamente nel corso degli ultimi anni, anche e soprattutto nel campo dell’analisi economica. Essi si caratterizzano per la capacità di riprodurre in modo automatico il metodo di funzionamento del ragionamento umano, almeno limitatamente a situazioni ben definite e specifiche. Nel vasto panorama dei sistemi esperti oggi esistenti, qui si farà riferimento alla logica fuzzy, col l’obiettivo di dar conto del grado di ruralità osservabile nei diversi territori dell’Unione Europea a 27. Tuttavia, prima di applicare la logica fuzzy al tema della ruralità europea, si richiamano qui brevemente i principali aspetti che caratterizzano tale metodologia.

La logica fuzzy si fonda sulla percezione che i tradizionali sistemi di analisi basati sull’algebra booleana non siano accurati nel descrivere i fenomeni osservabili nel mondo reale. Il matematico britannico George Boole per primo associò una quantificazione in termini matematici ai concetti propri della logica aristotelica. La logica booleana, pertanto, è strettamente binaria: ogni preposizione, infatti, può risultare “vera” oppure “falsa” e di conseguenza entro un simile impianto logico non vi è spazio per l’incertezza32. È però evidente come, nell’analisi di sistemi complessi, la logica booleana risulta in realtà di scarsa efficacia. La mancata o erronea definizione delle variabili di un problema, o piuttosto la presenza di interconnessioni tra le stesse, minano la capacità dei sistemi classici di definire modelli economici in grado di dar conto della complessità del reale. In generale, infatti, alla base di molti di questi modelli vi è l’ipotesi (molto forte, ad onor del vero) di linearità delle leggi socio-economiche. È dunque evidente come, all’aumentare della complessità osservata all’interno dei modelli, tenda altresì ad aumentare anche il grado di approssimazione che si è costretti a tollerare.

32 . La legge di non contraddizione (secondo la quale un elemento x non può appartenere contemporaneamente ad un insieme A e al suo insieme complemento Ac) e la legge del terzo escluso

(l’unione dell’insieme A e del suo insieme complemento Ac produce l’insieme universo X) non fanno altro

Proprio per rispondere a questi aspetti problematici, il matematico Zadeh formalizzò, per la prima volta a metà degli anni Sessanta, i principi della logica fuzzy [Zadeh, 1965; 1968; 1973]. Il termine fuzzy sta ad indicare, in inglese, un elemento sfocato o confuso. Come si è visto, proprio in presenza di concetti privi di confini ben definiti (si pensi, ad esempio, all’amicizia, alla bellezza, all’altezza, ma anche alla ricchezza di una regione), la logica booleana incontra molti limiti. Al contrario, proprio in questi casi, la logica fuzzy permette di adattare i sistemi della logica duale alle modalità con cui gli esseri umani ragionano: in altre parole, esso riassume e sintetizza i concetti complessi, dando soluzioni soddisfacenti proprio attraverso la gestione della vaghezza e della polivalenza semantica che caratterizza il linguaggio umano. Dinnanzi a concetti imprecisi, o dalla natura troppo complessa per poter essere trattati mediante i tradizionali strumenti statistici ed econometrici, è possibile utilizzare un approccio di tipo linguistico, ovvero un approccio basato su variabili i cui valori sono rappresentati non più da numeri quanto piuttosto da parole o frasi espresse in linguaggio naturale [Zadeh, 1965; 1968; 1973; 1996].

Rispetto alla logica classica, dunque, la logica fuzzy si caratterizza per un diverso concetto di appartenenza ad un insieme. In tale logica il codominio di una qualsiasi funzione di appartenenza è composto dall’intero intervallo chiuso [0,1] e non dai soli due elementi estremi 0 ed 1 (come nell’algebra booleana). Questo mutamento di prospettiva implica che un elemento possa appartenere anche solo parzialmente ad un insieme; per ogni dato insieme, in altre parole, si ha una graduale transazione dall’appartenenza totale alla totale non appartenenza di un elemento. Tale transazione graduale rende possibile tenere conto della vaghezza che è implicita nel linguaggio umano.

Matematicamente, dunque, si consideri un insieme A, entro l’universo X. Un insieme fuzzy A è definito da un insieme di coppie ordinate,

(1)

dove rappresenta la funzione di appartenenza dell’insieme A, esprimendo il grado di appartenenza di all’insieme A. Si possono così verificare tra diversi casi:

 = 0 : non appartiene all’insieme A;

 = 1 : appartiene totalmente all’insieme A;

 = 0 < y < 1 : appartiene all’insieme A nella misura di y % .

Rispetto a questa diversa logica degli insiemi (sfumati appunto), è possibile costruire un intero sistema inferenziale, che si compone di:

i) un albero decisionale, che ha la funzione di descrivere il passaggio da una serie di variabili di input ad un’unica variabile di output del sistema;

ii) alcune funzioni di appartenenza, variamente specificate, che caratterizzano ciascuna un dato insieme fuzzy;

iii) degli operatori logici e matematici, che hanno lo scopo di generare l’inferenza e le regole qualitative;

iv) delle regole di controllo.

In sostanza, nell’eseguire un’analisi inferenziale fuzzy si analizzano le categorie delle singole variabili di input, le quali vengono poi collegate (mediante una serie di cosiddetti blocchi di regole) con le possibili categorie della variabile di output. Da ultimo, le risposte ottenute devono essere nuovamente aggregare al fine di ottenere un valore nuovamente numerico e non più linguistico, che rappresenta l’output finale del sistema. Alcune fasi ben distinte, dunque, compongono il disegno di un sistema inferenziale di tipo

fuzzy: i) selezione del tipo di sistema più adatto; ii) fuzzificazione delle variabili di input

(attraverso la definizione degli attributi linguistici e delle relative funzioni di appartenenza); iii) definizione delle regole if-then e applicazione degli operatori logici; iv) selezione degli operatori per aggregare l’antecedente al conseguente (inferenza); v) aggregazione del conseguente; vi) defuzzificazione dell’output (da numeri fuzzy a numeri

crisp).

Nei paragrafi successivi, questi singoli passaggi saranno declinati rispetto al problema della definizione di un indice generale di ruralità applicato ai territori europei. Come richiamato nel capitolo 3, il concetto di ruralità ben si presta all’applicazione di un sistema fuzzy, data la sua natura complessa e multivariata. Tra i molteplici aspetti che definiscono la ruralità di una data area si ricordano: la rilevanza del settore agricolo, la bassa densità demografica, le caratteristiche del suolo, il grado di perifericità… Pertanto, il numero di variabili che influenza la ruralità di un territorio è elevato. In letteratura, la tradizionale dicotomia “urbano-rurale”, che ha segnato buona parte del dibattito sulle aree rurali nei decenni passati, è ormai superata [Copus et al., 2008; Sotte et al., 2012;]. Pertanto, anche l’approccio proposto da OECD [1994; 1996a; 2006], poi riproposto da Eurostat [Eurostat, 2010], pur rappresentando un importante contributo alla definizione della ruralità a livello territoriale, mostra degli elementi di debolezza, in quanto continua a riproporre una sostanziale dicotomia tra ambito urbano e ambito rurale (solo in parte mitigata dall’introduzione della categoria delle “aree intermedie”).

Al contrario, il superamento della logica booleana con l’individuazione di un indicatore fuzzy di ruralità, permette da un lato di non perdere la complessità insita nel fenomeno della ruralità e dall’altro di dar conto pienamente del ricco continuum di

sfumature che distingue le realtà urbane da quelle a ruralità più o meno profonda. Rispetto all’approccio tradizionale, un sistema fuzzy permette proprio di evidenziare i differenti gradi di ruralità che caratterizzano i singoli territori della UE.

La descrizione dell’albero decisionale e delle regole che legano la parte if alla parte

then all’interno di ciascun blocco di regole, è stata condotta riportando gli output prodotti

dal software “Fuzzy Tech Professional for Business and Finance”.