Conversione dell’output dei sensori in misure di conducibilità e suscettività

che la suscettività del mezzo possono contribuire al campo magnetico secondario (Keller G.V. e Frischknecht F.C., 1966; Kvamme K.L., 2006).

Gli strumenti di tipo FDEM sono in grado di misurare entrambi i parametri separatamente e simultaneamente; tale caratteristica costituisce un enorme vantaggio rispetto agli altri metodi di prospezione7.

Ragionando adesso in termini di fase è possibile affermare che il campo magnetico primario risulterà sempre in fase con la corrente inviata al trasmettitore8. Al contrario invece, la forza elettromotrice indotta nel terreno (che a sua volta causa il flusso delle eddy current), dal momento che per la legge di Faraday risulta essere proporzionale alla variazione rispetto al tempo del campo magnetico primario ( ), si troverà in quadratura di fase rispetto al campo primario.

Assumendo che non vi sia interazione tra i diversi loop di corrente, l’intensità della loop current , ad esempio, si può ricavare mediante la legge di Ohm ( , con resistenza del loop 1). Questa corrente risulterà in fase con e di conseguenza in quadratura di fase con il campo magnetico primario .

Dal momento che il campo magnetico secondario è proporzionale ad che a sua volta è inversamente proporzionale alla resistenza del loop , il campo magnetico secondario misurato sarà direttamente proporzionale alla conduttanza elettrica (con ) la quale sarà direttamente collegata alla conducibilità elettrica del suolo. In questo modo la misura del campo magnetico secondario in quadratura di fase fornirà la conducibilità della superficie sottostante (McNeill J.D. e Bosnar M., 1999).

3.7.2 Conversione dell’output dei sensori in misure di conducibilità e

suscettività

Il campo primario è tipicamente un segnale che oscilla in modo sinusoidale nel tempo ad una frequenza fissa. Il campo secondario possiede la stessa frequenza del primario ma con differente ampiezza; inoltre può presentare una traslazione di fase addizionale rispetto a quella di di base (Figura 3.6).

7

Il sensore è sensibile a materiali metallici aventi bassa suscettività magnetica ma alta conducibilità, come ad esempio rame, i quali non sono rilevabili mediante i magnetometri. Ciò può essere di grande vantaggio in ambito archeologico in quanto molti reperti sono composti lega di rame-stagno. Tuttavia, la forte risposta ai materiali metallici può in certi casi disturbare il rilevamento di piccole anomalie specialmente in ambiente urbano.

8 _{Il campo magnetico generato da una corrente alternata che circola in un solenoide può essere calcolato}

come (Mazzoldi P. et al., 2001):

In cui k è un parametro che dipende dalle caratteristiche della bobina (è uguale al rapporto tra il numero di spire e la lunghezza del solenoide).

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9Figura 3.6: Ampiezza del campo magnetico primario e secondario oscillanti nel tempo. Il tempo zero rappresenta il tempo

di arrivo sul ricevitore.

Gli strumenti di tipo FDEM lavorano nel domino della frequenza nel senso che misurano l‘ampiezza e la fase del campo elettromagnetico indotto. In particolare i sensori di tali strumenti sono progettati per misurare due componenti del campo secondario . Esse si ottengono mediante la trasformata di Fourier del segnale.

 La prima componente è la risposta in fase (in, oppure la componente reale della trasformata di Fourier). Essa rappresenta l’ampiezza del campo secondario quando il campo primario è al suo massimo valore.

 La seconda componente è la risposta fuori fase o in quadratura di fase (sfasamento di 90°) (quad, oppure la componente immaginaria della trasformata di Fourier). Essa rappresenta l’ampiezza del campo secondario quando il campo primario è zero9

.

Entrambe le componenti del campo secondario vengono generalmente divise per l’ampiezza massima del campo primario nel vuoto. L’output del sensore è dato quindi dai rapporti

e

rispettivamente per la componente in fase e in quadratura di fase. Tali rapporti sono adimensionali e molto piccoli e per questo motivo sono generalmente espressi in parti per mille (ppt - ppt-parts per thousand).

I sensori FDEM sono progettati per fornire delle misure dirette sia della conducibilità che della suscettività magnetica del suolo. Equazioni analitiche complesse sono state sviluppate per convertire gli output in fase ed in quadratura di fase, risultanti da un suolo omogeneo o stratificato, in misure di conducibilità e suscettività magnetica conoscendo la frequenza, l’orientazione e la distanza tra le bobine (Wait J.R., 1955; Spies B.R. e Frischknecht F.C., 1987.

In generale il campo magnetico secondario è una funzione non lineare della distanza tra i sensori di trasmissione e di ricezione s, della frequenza utilizzata f e della conducibilità del terreno . In alcuni casi tuttavia, il campo magnetico secondario risulta essere linearmente dipendente dalle tre suddette variabili (McNeill J.D., 1980).

Quest’ultima affermazione è vera solo all’interno di alcune restrizioni le quali rientrano sotto le condizioni di ‘’low-induction number (LIN)” (Keller G.V. e Frischknecht F.C., 1966; Wait J.R., 1962).

9

Per stabilire tali condizioni è bene tornare alla definizione di skin depth () fornita nel caso 2 del Paragrafo 3.4. Si è visto che in queste condizioni la profondità di penetrazione di un segnale dipende essenzialmente dalla frequenza dell’onda elettromagnetica e dalla conducibilità del terreno.

Il campo magnetico alternato primario in uscita dal trasmettitore causa un campo magnetico secondario che si propaga (o meglio si diffonde radialmente) in tutte le direzioni all’interno del semispazio omogeneo. Sia la fase della componente elettrica che la fase della componente magnetica del campo secondario risulteranno progressivamente più traslate rispetto al campo magnetico primario (si ricordi che già presentano uno sfasamento di dovuto alla derivazione) con l’aumentare della distanza tra trasmettitore e ricevitore e dunque con l’aumento della profondità di indagine10

.

In particolare lo shift di fase addizionale aumenta linearmente con la distanza trasmettitore- ricevitore al diminuire della skin depth (ad esempio aumentando conducibilità e frequenza), dunque conviene porre i sensori a corte distanze. Se al invece, sia la conducibilità del sottosuolo che la frequenza del campo primario sono sufficientemente piccole (grandi valori di skin depth) lo sfasamento di fase addizionale si otterrà per distanze di separazione ricevitore-trasmettitore più corte (McNeill J.D. e Bosnar M., 1999) e dunque conviene porre i sensori a distanze maggiori. Avere uno

shift di fase addizionale è svantaggioso in quanto i campi primario e secondario non sarebbero più

perfettamente sfasati di 90° e la risposta in quadratura non sarebbe massima.

Da quanto detto sopra, sarà quindi evidente che il parametro che determina se il campo secondario misurato è o meno in quadratura di fase con il campo primario e, cosa più importante per i nostri scopi, se la misura della componente in quadratura di fase del campo magnetico secondario sarà direttamente collegata alla conducibilità del terreno, è il rapporto tra la distanza tra la bobina di ricezione ed il trasmettitore s e la skin depth . Questo importante rapporto, indicato con B:

3.4 è conosciuto come induction number.

A titolo di esempio se si prende in considerazione un’onda con frequenza di 9kHz ( _{) che viene fatta passare attraverso un suolo con conducibilità di (o -tipica di terreni argillosi-) e permeabilità magnetica pari a , allora la skin depth equivale a 37,5m. Se allora l’induction number sarà pari a} che equivale a 0,0267.

Si considerino adesso due sensori con configurazioni di tipo dipolo verticale e dipolo orizzontale posti su un semispazio omogeneo come in Figura 3.7 (Mc Neill J.D., 1980).

Figura 3.7: Configurazioni di tipo dipolo verticale (a destra) e dipolo orizzontale (a sinistra) (Mc Neill J.D., 1980).

10

56

Nel caso generale in cui si opera con valori arbitrari della frequenza di trasmissione, della conducibilità del suolo e della distanza di separazione è stato dimostrato da Keller e Frischknecht (1966) che, per le due configurazioni, il rapporto tra il campo magnetico secondario , interagente con il ricevitore (quando entrambi i sensori si trovano in prossimità della superficie di un semispazio omogeneo di conducibilità ) ed il campo magnetico primario in assenza del semispazio (come se i sensori fossero nel vuoto) è dato rispettivamente dalle seguenti relazioni (McNeill J.D. e Bosnar M., 1999): 3.5 3.6 In cui:      

Le due espressioni precedenti sono funzioni non lineari della variabile la quale è a sua volta funzione non lineare della frequenza e della conducibilità. Riscrivendo la skin depth come :

3.7 la quantità si può scrivere semplicemente come:

3.8 Sotto certe condizioni le espressioni 3.5 e 3.6 possono essere notevolmente semplificate (Mc Neill J.D., 1980).

Se infatti l’induction number B è molto minore del valore unitario ( ), situazione definita come condizione di low induction number, Kaufman e Keller (1983) dimostrarono che i rapporti tra le equazioni precedenti si possono ridurre in semplici espressioni:

3.9 L’ampiezza del campo magnetico secondario risulta essere adesso proporzionale alla conducibilità del suolo, mentre la sua fase risulta essere sfasata di 90° rispetto al campo magnetico primario .

Affinché l’induction number sia molto minore del valore unitario è necessario che la distanza di separazione tra il sensore di trasmissione ed il sensore di ricezione (s) risulti molto minore rispetto alla

skin depth  e dunque:

3.10 In pratica, deciso un valore di s (che controlla l'effettiva profondità di penetrazione sotto la condizione ), la conducibilità del suolo può essere stimata scegliendo la frequenza di funzionamento in modo che l'equazione 3.10 risulti sempre soddisfatta.

I sensori che funzionano ad induzione elettromagnetica vengono generalmente progettati per operare nelle condizioni low induction number (LIN); ciò significa che sia la distanza di separazione tra trasmettitore e ricevitore che la frequenza del campo primario devono essere sufficientemente piccole (Equazione 3.10) (Sharma P.V., 1997). Mc Neill (1980) dimostrò che sotto queste condizioni e per valori medi di conducibilità elettrica del suolo, la sensibilità in profondità è indipendente dalla conducibilità elettrica del suolo.

Operare in queste condizioni costituisce un vantaggio in quanto se l’induction number è piccolo abbastanza (in realtà quanto piccolo ancora non è stato ben definito, Callegary J.B. et al., 2007) allora la risposta in quadratura di fase del sensore risulta essere direttamente proporzionale alla conducibilità del volume di suolo sottostante le due bobine (Keller G.V. e Frischknecht F.C., 1966; Tabbagh A. 1984).

Ciò si può esprimere mediante la seguente relazione (McNeill J.D. e Bosnar M., 1999):

3.11 La conducibilità apparente del semispazio viene quindi calcolata come:

3.12 Sempre sotto le condizioni LIN Kaufman e Keller (1983) dimostrarono che nel segnale registrato sul ricevitore è presente anche una piccola componente in fase del campo magnetico secondario. Essa si può ridurre nella seguente espressione (McNeill J.D. and Bosnar M., 1999):

3.13 Si nota come a seguito della dipendenza della 3.13 da piuttosto che da , per piccoli valori di

B la componente in fase del campo magnetico secondario risulterà più piccola della componente in

quadratura di fase.

Come detto all’inizio del paragrafo, la suscettività magnetica dovrebbe essere collegata alla risposta in fase del sensore. In particolare Tabbagh (1984) dimostrò che quando un sensore è posto vicino alla superficie del terreno la suscettività del volume di sottosuolo (considerando che l’aria ha una suscettività trascurabile) risulta uguale al doppio del valore della risposta in fase:

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3.14 La trattazione appena descritta proviene dalla soluzione completa (full solution) delle equazioni di Maxwell formulata da Keller e Frischknecht (1966), Wait (1982) ed Anderson (1979).

Mentre la conducibilità elettrica può essere collegata a parametri come il contenuto di argilla o di acqua, variazioni di suscettività magnetica possono essere indicative della presenza di materia organica con una rilevante frazione minerale, di oggetti metallici o materiali prodotti all’interno di fornaci (Bats M. et al., 2009).

Quando si utilizzano le due equazioni 3.11 e 3.13 bisogna inoltre considerare i seguenti problemi: 1. La frequenza del sensore e la conducibilità del suolo devono avere valori bassi affinché

l’approssimazione LIN rimanga valida;

2. Vi è una piccola influenza della conducibilità elettrica anche nella risposta in fase che diventa importante all’aumentare della conducibilità;

3. Se un sensore FDEM è progettato per funzionare solo sotto le condizioni LIN, allora le misure saranno indipendenti dalla frequenza. Questa è la ragione per cui tali sensori operano soltanto nel dominio della frequenza (Mc Neill J.D., 1996).

4. L’alta conducibilità contribuisce alla veloce dissipazione dell’energia trasmessa all’interno del mezzo.