Sensibilità spaziale

Bisogna adesso capire quali siano i reali benefici di lavorare con molteplici output. Per farlo è importante per prima cosa conoscere la sensibilità spaziale per le diverse configurazioni dei sensori. Essa può essere valutata o mediante l’utilizzo di modelli al computer (Tabbagh A. 1986) (quando non si hanno abbastanza sensori disponibili), oppure prelevando le misure su alcune strutture o corpi di cui si conoscono le proprietà in modo tale da valutare la sensibilità delle risposte elettriche e magnetiche.

Wait (1955, 1962) derivò le risposte FDEM in funzione della profondità per un mezzo omogeneo e queste equazioni sono state ulteriormente adattate sia per la risposta in quadratura di fase (McNeill J.D., 1980) che per la risposta in fase (McNeill J.D. e Bosnar M. 1999 sulla base di Keller e Frischknecht, 1966). Nelle condizioni di low induction number, le risposte sono state inoltre considerate valide anche per mezzi stratificati.

La sensibilità sia delle misure di conducibilità che di suscettività dipende fortemente da quattro aspetti (Gebbers R. et al, 2007; Monteiro Santos F.A. et al, 2010):

1. altezza del sensore rispetto alla superficie del suolo; 2. separazione tra le bobine di trasmissione e ricezione;

3. orientazione delle bobine dei ricevitori rispetto al trasmettitore. 4. conducibilità del suolo.

Nei prossimi paragrafi si cercherà di analizzare come le caratteristiche appena elencate influiscano sulla sensibilità. In particolare verranno analizzate le variazioni di sensibilità per tre situazioni:

 Mezzo omogeneo;

 Mezzo multistrato;

 Piccole strutture 3D.

Si ricordi che i sensori sono fabbricati per lavorare in condizioni di low induction number, che significa che la distanza di separazione tra le bobine e la frequenza emessa dal trasmettitore sono talmente piccole che per valori medi di conducibilità elettrica la sensibilità in profondità è indipendente dalla conducibilità stessa (Mc Neill J.D. 1980).

3.7.7-a Mezzo omogeneo

Si prenda in considerazione una situazione come quella schematizzata nelle Figure 3.11 e 3.12 in cui i sensori di trasmissione e ricezione sono posti su un semispazio omogeneo e ad una certa altezza dal suolo. Si vuole adesso descrivere il contributo relativo al campo magnetico secondario prodotto dalle correnti che fluiscono all’interno di uno strato di spessore dz (o di un altro strato orizzontale di spessore infinitesimo) posto ad una profondità z.

Nel caso di configurazione di tipo orizzontale coplanare (HCP) (Figura 3.11-a) il contributo relativo al campo magnetico secondario è descritto mediante una funzione chiamata , rappresentata in Figura 3.11-b . Dal momento che sotto le condizioni LIN la profondità di esplorazione è controllata soltanto dalla distanza tra il sensore di trasmissione e il sensore di ricezione, le profondità (in ascisse) sono normalizzate in funzione della distanza di separazione tra i sensori (s), che nel caso in esame è pari a un metro (Mc Neill J.D. 1980).

Dall’andamento del grafico è possibile osservare che materiali localizzati ad una profondità approssimativa di 0.4 s (ovvero 0.4 volte la distanza di separazione tra il sensore di trasmissione e di ricezione) forniscono il massimo contributo al campo magnetico secondario, ma anche che materiali a profondità di 1.5 s possono contribuirne ugualmente in maniera significativa. È interessante inoltre notare che il contributo al campo magnetico secondario del suolo a profondità zero (oggetti situati sulla superficie terrestre) è molto piccolo; tale configurazione risulta dunque insensibile ai cambiamenti di conducibilità degli strati vicini alla superficie.

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Figura 3.11: a) Configurazione di tipo orizzontale coplanare (HCP) con orientazione verticale dei dipoli. b) Risposta relativa

vs profondità. rappresenta il contributo relativo al campo secondario generato da uno strato di spessore infinitesimo dz che si trova ad una qualsiasi profondità z. Da notare che la profondità è normalizzata in funzione della distanza di separazione tra i sensori ( ) che in questo caso è considerata pari ad 1 metro (Mc Neill J.D. 1980).

La Figura 3.12-b mostra il contributo relativo al campo magnetico secondario derivante da uno strato di spessore infinitesimo dz, e che si trova ad una qualsiasi profondità z, questa volta nel caso di configurazione orizzontale coplanare (VCP).

Per tale configurazione il contributo degli strati localizzati vicino alla superficie risulta più ampio rispetto al caso precedente, mentre decresce in maniera monotona aumentando la profondità.

Figura 3.12: a) Configurazione di tipo verticale coplanare (VCP) con orientazione orizzontale dei dipoli. b) Risposta relativa

vs profondità. rappresenta il contributo relativo al campo secondario generato da uno strato di spessore infinitesimo che si trova ad una qualsiasi profondità z. La profondità è normalizzata in funzione della distanza di separazione tra i sensori ( ) che anche in questo caso è considerata pari ad 1 metro (Mc Neill J.D. 1980).

Confrontando gli andamenti dei due contributi relativi risultanti per entrambe le configurazioni si ottiene il grafico in Figura 3.13. Esso mette in risalto le differenti modalità con cui le due configurazioni rispondono a materiali localizzati a diverse profondità. Come già accennato nel Paragrafo 3.7.2, gli strumenti FDEM moderni lavorano utilizzando contemporaneamente le due configurazioni, per cui si rivelano adatti a fornire dati accurati sia degli strati superficiali che di quelli più profondi. La Figura mostra inoltre che per le regioni molto più profonde rispetto alla distanza di separazione s tra i sensori, la configurazione di tipo HCP restituisce un contributo relativo di ampiezza circa doppia rispetto al contributo della configurazione VCP.

Figura 3.13: Confronto tra le risposte relative per le configurazioni VCP e HCP (Mc Neill J.D. 1980)

Dall’andamento delle funzioni in Figura 3.13 è possibile dunque ricavare il contributo relativo dei materiali situati a profondità diverse. L’integrale di entrambe le funzioni da zero a infinito restituisce proprio il campo magnetico secondario totale che arriva al ricevitore prodotto da un semispazio omogeneo.

L’ampiezza di tale campo è direttamente collegata alla conducibilità elettrica del semispazio. È dunque possibile determinare con elevata precisione la relativa influenza dei materiali localizzati a differenti profondità sui valori di conducibilità apparenti (Mc Neill J.D. 1980).

Riassumendo, sia per la configurazione HCP che per la configurazione VCP è possibile costruire una funzione attraverso la quale studiare il contributo relativo al campo magnetico secondario prodotto da uno strato di spessore infinitesimo localizzato ad una certa profondità e che arriva al ricevitore. Ciò è possibile solo se si verificano due condizioni:

 Le correnti circolano soltanto in orizzontale;

 Le correnti parassite prodotte a profondità diverse non entrano in interazione tra loro.

La validità di tali condizioni, come già visto, si verifica soltanto lavorando con valori di induction

number che siano al di sotto di una certa soglia.

Le considerazioni appena fatte per la conducibilità elettrica possono considerarsi valide anche per quanto riguarda la suscettività magnetica.

3.7.7-b Mezzo orizzontalmente stratificato

Fino adesso il sottosuolo è stato trattato come un mezzo omogeneo avente un singolo valore di conducibilità. In realtà una situazione di questo tipo è molto difficile che esista in natura.

In effetti, un certo volume di sottosuolo può presentarsi abbastanza eterogeneo e possedere un ampio range di valori di conducibilità. Pertanto al posto della conducibilità reale è preferibile utilizzare una quantità chiamata conducibilità apparente ed indicata con . Essa rappresenta il valore della conducibilità che si misurerebbe se tutto il semispazio fosse omogeneo. Quanto detto è valido anche per la suscettibilità per cui, allo stesso modo, è bene introdurre anche una quantità chiamata suscettività apparente ed indicata con .

Se si considera dunque un mezzo eterogeneo costituito da strati orizzontali aventi un certo spessore e ciascuno avente diversi valori di conducibilità e suscettività, risulta più complicato calcolare il contributo relativo al campo secondario generato da un singolo strato che si trova ad una qualsiasi profondità z.

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Nonostante tale complessità, è ugualmente possibile calcolare sia la sensibilità spaziale che la profondità di investigazione attraverso approssimazioni delle equazioni di Maxwell14 (Simpson D. et

al. 2009).

Tali approssimazioni furono sfruttate da McNeill (1980) per calcolare numericamente la sensibilità degli strumenti FDEM in un mezzo multistrato.

Il modello utilizzato da Mc Neill vede il suolo come formato da strati orizzontali di spessore infinitesimo e aventi ciascuno valori omogenei di conducibilità e suscettività15. Se ciascuno strato possiede spessore infinitesimo e se si considerano bassi induction number, allora le equazioni che mettono in relazione la profondità con il contributo di ciascuno strato non dipendono né dalla conducibilità né dalla suscettività degli strati (le quali vengono omesse nelle funzioni) (McNeill J.D., 1980; Callegary J.B. et al., 2007). Tali equazioni dipendono soltanto dalla distanza di separazione s tra i sensori e dalla loro orientazione (HCP, VCP o PERP) (Kaufman A.A e Keller G.V., 1983).

Le equazioni trovate sono inoltre valide sia per suoli eterogenei che omogenei (Hendrickx et al, 2002) poiché se la frequenza di funzionamento è abbastanza piccola, l'interazione magnetica fra tutti dipoli magnetici secondari indotti può essere ignorata (McNeill J.D. e Bosnar M., 1999). Ciò significa che il contributo relativo di ciascuno strato (al campo magnetico secondario) non influenza il contributo degli strati adiacenti16 (Simpson D. et al., 2009).

Sotto queste condizioni, il contributo relativo a ciascuno strato ( ) può essere dunque derivato conoscendo soltanto la profondità z in cui esso si trova (McNeill J.D. 1980, Keller G.W. e Frischknecht F.C. 1966, Wait J.R. 1962, McNeill J.D. e Bosnar M. 1999). I contributi relativi trovati sia per la conducibilità elettrica che per la suscettività magnetica sono schematizzati nella parte sinistra della Tabella 3.1 e si riferiscono alle tre orientazioni HCP, VCP e PERP.

Se adesso vengono sommati (integrati) i contributi relativi di tutti gli strati presenti da una profondità infinita fino ad una profondità z, è possibile calcolare il peso cumulativo di tutti gli strati che si trovano al di sotto di una profondità z e per una certa distanza di separazione tra i sensori (Keller G.W. e Frischknecht F.C., 1966). Il contributo cumulativo si indica con e si calcola analiticamente come (Mc Neill J.D.,1980): 3.20 I pesi cumulativi C ottenuti per le tre configurazioni e per conducibilità e suscettività sono collocati nella parte destra della Tabella 3.1.

Nei grafici in Figura 3.14 sono invece mostrati gli andamenti teorici delle risposte relative (3.14-a) e cumulative (3.14-b) trovate per le configurazioni HCP, VCP e PERP (caso della conducibilità) e per la distanza di separazione tra i sensori di un metro. È possibile notare che la risposta cumulativa è una funzione non lineare ed assume valori più alti in profondità per la configurazione HCP abbassandosi per le configurazioni VCP e PERP (Simpson D. et al., 2009).

La Figura 3.15 mostra invece gli andamenti ottenuti per i pesi relativi riferiti alla conducibilità (3.15-a) e alla suscettività (3.15-b) rispetto alla profondità z e riferite alla distanza di separazione tra i sensori di un metro.

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Tali contributi sono stati calcolati da Tabbag (1985) sia per modelli multistrato che per modelli tridimensionali.

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Attraverso questa schematizzazione è possibile rappresentare con buona approssimazione una sottosuperficie reale in quanto, molto spesso, i materiali che la compongono si depositano o vengono erosi in orizzonti planari ed anche perché i processi di formazione dei suoli, come ad esempio la migrazione delle argille, molto spesso agiscono in direzione verticale.

16 _{La teoria è valida anche nel caso in cui il sensore è sollevato al di sopra della superficie del suolo (vertical sounding)}

Osservando i grafici è possibile avere un’idea di come varia la sensibilità con la profondità per le differenti configurazioni dei sensori. In generale le misure di suscettività magnetica presentano una profondità di investigazione minore rispetto alle misure di conducibilità.

Tabella 3.1: R indica i contributi relativi ad uno strato di spessore infinitesimo. C indica i contributi cumulativi di tutti gli

strati al di sotto di una profondità z. I contributi sono stati calcolati sia per la conducibilità  che per la suscettività , relativamente alle tre orientazioni (HCP, VCP e PERP). Le equazioni per i contributi relativi sono leggermente differenti da quelle fornite da McNeill J.D. e Bosnar M. (1999). Dato che la profondità di esplorazione è controllata soltanto dalla distanza tra il sensore di trasmissione e il sensore di ricezione, al denominatore è stata aggiunta la variabile s in modo tale che se le funzioni venissero integrate per ottenere il peso cumulativo, il peso totale ottenuto risulterà uguale a uno (Mc Neill J.D. 1980). Inoltre nella conversione da output in fase a suscettività il segno per le configurazioni VCP e PERP è stato cambiato per assicurare che i valori di suscettività risultino positivi.

Le curve di conducibilità in Figura 3.15-a mostrano alcuni aspetti interessanti. È possibile ad esempio osservare che sia l’orientazione PERP che l’orientazione VCP possiedono elevata sensibilità nel rilevare gli strati più vicini alla superficie. Al contrario, l’orientazione di tipo HCP appare più sensibile agli strati più profondi.

Per quanto riguarda le curve di suscettività relativa (Figura 3.15-b) si può osservare che le orientazioni PERP e VCP permettono una profondità di esplorazione maggiore rispetto all’orientazione orizzontale coplanare HCP (Tabbagh A., 1985, 1986)17

. Un altro aspetto è che le orientazioni HCP e PERP di Figura 3.15-b presentano inoltre particolari andamenti che incrociano la linea dello zero (McNeill J.D. e Bosnar M., 1999); questo significa che alcuni strati possono fornire una risposta di suscettività positiva, mentre altri una risposta negativa. Vicino la superficie le orientazioni di tipo HCP e VCP forniscono risposta positiva nulla, mentre l’orientazione di tipo PERP appare fortemente negativa. Tabbag (1986) trovò a tal proposito che materiali caratterizzati da alti valori di suscettività magnetica contribuiscono positivamente alla magnetizzazione totale quando sono situati vicino alla superficie, mentre avranno un contributo negativo quando si trovano più in profondità.

Inoltre Tabbag (1986) trovò, attraverso l’uso di un modello tridimensionale che, per quanto riguarda le misure di conducibilità apparente, la configurazione HCP risulta meno sensibile rispetto alla configurazione PERP a corpi aventi estensione limitata.

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Le misure di conducibilità elettrica per le configurazioni HCP eVCP possono essere combinate in una quantità chiamata profile ratio (P ) la quale fornisce un’indicazione dell’eterogeneità del suolo (Saey T. et al,. 2008)

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Figura 3.14: Risposte in profondità di uno strumento FDEM con distanza di separazione tra i sensori di 1 m per

configurazioni HCP, VCP e PERP. a) Risposta relativa ad uno strato sottile per differenti profondità18. b) Risposta cumulativa di tutti gli strati al di sotto di una profondità z (Simpson D. et al., 2009).

Figura 3.15: Contributi relativi riferiti alla conducibilità (3.15-a) e alla suscettività (3.15-b) rispetto alla profondità z e riferite

alla distanza di separazione tra i sensori di 1m (Simpson D. et al,. 2010).

La Figura 3.16 mostra la sensibilità in profondità relativa alla configurazione orizzontale coplanare HCP all’aumentare dalla distanza tra i sensori. Per le misure di conducibilità (Figura 3.16-a) si nota che un aumento della distanza di separazione tra i sensori causa uno spostamento verso il basso dei valori massimi delle curve di sensibilità, di conseguenza un maggiore peso viene attribuito agli strati più profondi. Per le misure di suscettività con orientazioni del tipo HCP e PERP questo significa che i punti di incrocio con la linea dello zero risultano più spostati verso il basso (a profondità maggiori).

Figura 3.16: Sensibilità in profondità relativa alla configurazione orizzontale coplanare HCP all’aumentare dalla distanza tra

i sensori. a) Andamento della conducibilità elettrica. b) Andamento della suscettività magnetica.

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Gli andamenti ottenuti possono essere anche utilizzati per modellizzare la risposta che si attende per un suolo di tipo multistrato. Tale modellizzazione prende il nome di risposta cumulativa o Forward modeling 1-D ed è valida sia per le misure di conducibilità che per le misure di suscettività (McNeill J.D. e Bosnar M. 1999).

Nel caso della conducibilità si immagini che ciascun strato i sia caratterizzato da una conducibilità e si indichi con il peso cumulativo ad una profondità uguale al top di uno strato e con il peso cumulativo ad una profondità pari al bottom dello stesso strato. La conducibilità apparente totale che ci si aspetta di misurare in un suolo multistrato composto da M strati può essere calcolata come (McNeill J.D. e Bosnar M. 1999): 3.21 Un ragionamento analogo può essere utilizzato per calcolare la suscettività totale attesa in un suolo multistrato (Simpson D. et al, 2010):

3.22 Tali equazioni sono valide anche se il sensore si trova ad una certa altezza rispetto alla superficie del suolo. In questo caso lo strato di aria tra la superficie ed il suolo viene considerato come uno strato avene valori di suscettività e conducibilità pari a zero (Simpson D. et al., 2010).

Se ad esempio un sottosuolo è formato soltanto da due strati aventi valori di conducibilità molto diversi tra loro, allora la profondità dell’interfaccia e la conducibilità degli strati possono essere modellizzati utilizzando le misure prelevate in superficie come input per le equazioni, tale procedura è chiamata 1-D inverse modelling (Saey T. et al. 2008, Saey T. et al. 2009). Modelli di suolo più complicati sono più difficili da ricostruire mediante i meccanismi di inversione; questa difficoltà risiede nel fatto che una stessa misura può essere originate da differenti modelli di suolo (principio di equivalenza, Lück E. et al. 2005) e di conseguenza piccoli cambiamenti nelle misure possono causare grandi variazioni (ed errori) nei modelli di conducibilità (Borchers B, et al., 1997). Ciò nonostante, sono strati sviluppati programmi di inversione 1-D che, anche se molto efficaci (Farquharson C.G. et

al., 2003), è sempre meglio validare con delle verifiche sul campo.