DEA: una misura di efficienza produttiva - “DATA ENVELOPMENT ANALYSIS”

CAPITOLO 4 “DATA ENVELOPMENT ANALYSIS”

4.4 DEA: una misura di efficienza produttiva

Come già anticipato nel paragrafo introduttivo, la metodologia della Data Envelopment Analysis va a misurare l’efficienza di un’attività o di un’organizzazione, quale può essere un’azienda, un ospedale, un’agenzia, una scuola, ma può essere utilizzata anche per andare a misurare l’efficienza di un lavoratore, intesa come la quantità di output prodotta da un lavoratore o la quantità di output prodotta in un’ora da un lavoratore, così come la DEA viene utilizzata per valutare le performance dei fondi di investimento o dei fondi pensione.

Per meglio comprendere cosa si intende per performance delle unità decisionali (DMU) andiamo ad analizzare ed approfondire i concetti di produttività, efficacia ed efficienza.

La produttività, influenzata in maniera rilevante dalla tecnologia della produzione, dall’efficienza del processo produttivo e dal contesto in cui si sviluppa la produzione, fa riferimento al rapporto fra l’output e l’input di un processo produttivo135_.

La novità introdotta da tale metodologia è il criterio utilizzato per arrivare al rapporto fra questi due numeri, ovvero quello di aggregare diversi elementi attraverso l’attribuzione di pesi agli input e agli output non in maniera predeterminata, ma attraverso l’attribuzione di pesi che massimizzano l’efficienza di ogni DMU, andando ad eliminare il problema della libertà distorsiva nell’adozione dei pesi. È possibile identificare misure di produttività totale, che considerano l’output in relazione a tutti i fattori utilizzati per produrlo; nonostante siano più complesse da calcolare poiché necessitano di porre maggiore ai pesi da attribuire ai vari fattori, rivestono notevole importanza dato che vanno ad evitare di attribuire erroneamente perdite o guadagni di produttività ad un fattore piuttosto che un altro. Questo tipo di errore infatti potrebbe ricorrere quando ci si concentra solamente su misure di produttività parziale, come per esempio il numero di mutui stipulati da un singolo banchiere.

L’efficacia invece rappresenta l’abilità di un’unità decisionale DMU, di garantire ed ottenere con il suo output il raggiungimento di obiettivi prefissati.

Il calcolo risulta molto semplice quando siamo in presenza di un solo output e di un solo input, mentre sarà più complesso qualora ci troviamo di fronte ad una pluralità di input e output.

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L’efficienza rappresenta la capacità di impiegare le risorse in maniera migliore possibile, cercando di osservare uno standard ottimale adeguatamente allo stato attuale della tecnologia a disposizione. Esistono due tipi di efficienza:

 efficienza tecnica (ET), che è la capacità dell’unità decisionale, data la tecnologia attuale, di ottenere la massima quantità di output possibile a partire da un dato insieme di input o, alternativamente, a utilizzare il minor livello possibile di input per raggiungere un determinato output;

 efficienza allocativa (EA), che rappresenta l’abilità di un’unità tecnicamente efficiente di ottenere un dato output al costo minimo, ovvero di impiegare in proporzione ottimale gli input in relazione ai loro prezzi e alle loro produttività marginali136_.

4.4.1 Il caso un input-un output

Come detto, l’efficienza di una DMU è misurata in termini di adesione ad uno standard ottimale, cioè ad un parametro di riferimento, che, in linea teorica, può essere identificato da una frontiera efficiente. Sono quindi considerate efficienti le unità decisionali che si trovano sulla frontiera dell’insieme delle possibilità produttive.

Se indichiamo con x il vettore degli input e con y quello degli output, l’insieme delle possibilità produttive P è definito come: P = {(x, y): x produce y}. L’insieme P è quindi formato da tutti i possibili accoppiamenti di x e y.

Per iniziare ad approfondire in maniera più pratica la metodologia DEA, andiamo ad analizzare un semplice esempio del caso un input- un output137_{. Si deve valutare una}

serie di negozi in cui, come input si considera il numero di dipendenti e come output le vendite (misurate in 100.000 dollari). La tabella 4.1 riassume i dati e il rapporto input – output relativi agli otto negozi.

136 _{Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. (2000), “Data envelopment analysis: A}

comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver Software”, Kluwer Academic Publishers, Boston.

137 _{Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. (2000), “Data envelopment analysis: A}

comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver Software”, Kluwer Academic Publishers, Boston, cap. 1 “General discussion”, pag. 3.

123 Tabella 14: Caso un input- un output

Fonte: Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. (2000), “Data envelopment analysis: A comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver Software”, Kluwer Academic Publishers, Boston, cap. 1 “General discussion”, pag. 3.

Grafico n. 7: caso un input – un output

Il rapporto vendite/impiegati rappresenta una misura di produttività, individuando le vendite per occupato. Secondo tale approccio l’unità decisionale con la maggior efficienza produttiva è B, mentre la meno efficiente è F.

Il grafico n. 7 rappresenta la frontiera efficiente nell’esempio soprariportato: l’insieme P delle possibilità di produzione coincide con l’area compresa fra l’asse orizzontale e la frontiera efficiente, quest’ultima è quindi il luogo geometrico costituito dalle quantità massime di output raggiungibili impiegando un dato livello di input. Tutte le DMU quindi appartengono alla frontiera efficiente o stanno al di sotto di essa. La forma della curva varia dal modo in cui aumenta l’output all’aumentare di una stessa quantità di tutti gli input. In particolare nel nostro esempio si stanno ipotizzando rendimenti di scala costanti, in quanto, muovendosi lungo la retta, al crescere dell’input, l’output aumenta sempre della stessa proporzione.

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Quindi per misurare l’efficienza di una DMU rispetto allo standard ottimo individuato dalla frontiera efficiente sono possibili due approcci. L’efficienza di un’unità decisionale infatti dipende dalla capacità di quest’ultima di garantire un output maggiore a parità di input, o di impiegare meno input a parità di output. Quindi esistono due misure di efficienza tecnica, le quali dipendono dal tipo di orientamento:

 ET (output oriented): mantenendo costante la quantità di input iniziale, è il rapporto fra il livello di output raggiunto e quello massimo ottenibile;  ET (input oriented): mantenendo costante la quantità di output iniziale, è

il rapporto fra il livello minimo di input potenzialmente utilizzabile e quello realmente utilizzato.

Nel nostro esempio le due misure di efficienza tecnica coincidono ottenendo i medesimi risultati come evidenziato dalla Tabella 15:

Tabella 15: Caso un input- un output, efficienza tecnica

Due sono gli aspetti principali di questa misura di efficienza: varia tra zero e uno e non dipende dalle unità di misura degli input e dell’output, che invece influenzano il rapporto vendite/impiegato presente nella tabella n.14. Se per esempio cambiamo l’unità di misura delle vendite e le misuriamo ora in unità di 10.000 dollari, come si nota dalla tabella 16, le vendite per addetto cambiano, ma non si modifica la misura di efficienza tecnica.

Tabella 16: Caso un input- un output, efficienza tecnica cambiando misura output

125 4.4.2 Il caso due input-un output

Il passo successivo che si può compiere grazie alla misura valutativa DEA è quella di riuscire a misurare l’efficienza tecnica e allocativa di un processo con più di un fattore produttivo, come nel caso preso in considerazione dove abbiamo due input x1 e x2 e un

solo output y. La frontiera efficiente rappresenta la quantità massima di output ottenibile dalla combinazione variabile dei due fattori di input. La differenza rispetto al caso precedente è rappresentata dalla presenza di tre fattori che per essere rappresentati tutti su un piano bidimensionale è necessario ricorrere alle curve di livello138_{. La forma di una curva di livello dipende dalla relazione che intercorre tra i due}

fattori di input, ovvero dal tasso al quale è possibile sostituire un fattore con un altro, andando a mantenere costante il livello di produzione139_.

Per poter riuscire ad identificare e misurare l’efficienza allocativa e, di conseguenza, per tener conto anche dei prezzi degli input, nel grafico n. 8 abbiamo rappresentato anche una retta di isocosto140_{. Tutte le combinazioni efficienti in senso} tecnico (per la produzione di una quantità di output) sono collocate sull’isoquanto QQ, il quale è quindi costituito da tutti i punti cui corrispondono impieghi minimi di input per produrre un livello unitario di output. Per essere efficienti anche in termini allocativi, quindi per produrre alla minima spesa, è necessario inoltre soddisfare il vincolo di bilancio dato dall’isocosto SS. Date queste considerazioni si evince che l’unica unità decisionale efficiente sotto il duplice profilo tecnico e allocativo è quella individuata dal punto E, nel grafico n.8:

138_{Le curve di livello sono anche chiamate isoquanti e rappresentano l’insieme delle}

combinazioni tecnicamente efficienti dei due input (in questo caso x1 e x2) che generano una

determinata quantità di output.

139_{Il cosiddetto Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica.}

140_{La retta di isocosto è formata da tutte le combinazioni degli input aventi lo stesso}

costo (per dati prezzi dei fattori), dove ad ogni quota di costo, ovviamente, corrisponde una diversa retta di isocosto.

126 Grafico n.8: efficienza tecnica e allocativa.

Come analizzato, dal grafico si deduce che l’unico punto di massima efficienza è rappresentato dal punto E. Tutti gli altri punti sul piano cartesiano rappresentano punti di inefficienza, sia da un punto di vista tecnico che allocativo; per misurare tale inefficienza due matematici Farrell e Debreu hanno introdotto la tecnica della distanza radiale che appunto permette di misurare tale inefficienza sia da un punto di vista allocativo che da un punto di vista tecnico. Se si considera dunque una DMU che per produrre un’unità di output utilizza le quantità di input indicate dal punto A del grafico n.8, attraverso la misurazione radiale, ovvero quella lungo la retta che collega il punto A all’origine degli assi. La distanza fra il punto A e l’isoquanto QQ, nel punto C evidenzia l’inefficienza tecnica, che rappresenta la possibile riduzione proporzionale degli input senza alcuna diminuzione in termini di output. Questa misura è data dal rapporto 0A/0C, che assume valori tra 0 e 1: tanto più C è prossimo ad A tanto più vicino a 1 risulta tale rapporto e quindi tanto più efficiente risulta la DMU, dal punto di vista tecnico. La distanza invece tra il punto C e il punto D posto sul vincolo di bilancio, rappresenta il grado di efficienza allocativa e tale misura identifica la riduzione negli oneri di produzione che si potrebbe raggiungere se il processo produttivo avvenisse nel punto di efficienza tecnica e allocativa rappresentato dal punto E. L’indicatore di efficienza

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allocativa è calcolata con il rapporto 0D/0C, assume valori tra 0 e 1 e saranno tanto più efficienti quanto più la distanza tra il punto D e C è minima e quindi il valore del rapporto è vicino ad 1. L’efficienza quindi si può riassumere come:

 Efficienza tecnica, data dal rapporto tra 0A/0C, ovvero tra la combinazione di input tecnicamente efficiente e quella realmente impiegata, mantenendo costante il rapporto fra gli input;

 Efficienza allocativa, data dal rapporto tra 0D/0C, ovvero tra la spesa necessaria per ottenere l’output dato in condizioni di sola efficienza tecnica e il costo minimo, ovvero il costo nel punto ottimale.

Definite più nello specifico i due tipi di efficienza, tecnica ed allocativa, possiamo ora andare a definire l’efficienza globale della DMU in A, la quale è data dal rapporto tra l’efficienza tecnica e l’efficienza allocativa:

(4.36)

Tali misure di efficienza sottintendono che la frontiera efficiente delle possibilità produttive sia nota, ma in realtà questo non si verifica. Quindi, per poter rendere operativi i concetti di efficienza è necessario come prima cosa stimare la frontiera efficiente, che funge da standard di riferimento in base al quale valutare le DMU osservate. A tal proposito è possibile utilizzare sia metodi parametrici che non parametrici. I primi stimano la frontiera con metodi econometrici, i quali richiedono di stabilire preliminarmente la forma funzionale della frontiera efficiente. Con i metodi non parametrici invece vengono fatte ipotesi sulle proprietà dell’insieme di produzione e la frontiera efficiente è determinata in base alle DMU che evidenziano le migliori performance, senza quindi stabilire a priori la forma funzionale della frontiera.

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Si riporta ora un esempio del caso due input – un output141_{per rendere pratico il caso}

visto finora, solo dal punto di vista teorico. Prendiamo in esame le performance di nove supermercati: come input utilizziamo il numero di impiegati X1 (unità: 10) e la superficie

del negozio X2 (unità: 1.000 m2), mentre come output Y consideriamo le vendite (unità:

100.000 dollari). La tabella 17 riassume i dati, si noti che gli input sono normalizzati al valore necessario per ottenere un’unita di output (quindi 100.000 dollari di vendite).

Tabella 17: Caso due input- un output

Grafico n.9: caso due input – un output

141 _{Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. (2000), “Data envelopment analysis: A}

comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver Software”, Kluwer Academic Publishers, Boston, cap. 1 “General discussion”, pag. 6-7.

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La frontiera efficiente è data dalla linea che unisce le unità decisionali C, D e E, ossia l’isoquanto non parametrico convesso e lineare a tratti, passante per le DMU che rappresentano le prassi migliori, cioè che producono un’unità di output con il minimo utilizzo degli input. Il production possibility set (P) è dato dalla regione chiusa dalla frontiera efficiente, dalla linea orizzontale passante per C e da quella verticale passante per E. Tutte le unità decisionali quindi appartengono all’insieme P e quelle efficienti stanno lungo i segmenti ED e DC. Come visto prima, l’inefficienza tecnica delle unità decisionali che non si trovano sulla frontiera efficiente può essere calcolata con un rapporto.

Per esempio l’efficienza di A può essere calcolata con il rapporto: 0Q/0A = 0,8571, ciò significa che una unità decisionale che opera nel punto Q, riesce a produrre un output uguale al supermercato A (che ha lo stesso rapporto con gli input della DMU Q) usando però una frazione pari all’85,71% di ciascun fattore di produzione. Il punto Q utilizzato per valutare l’efficienza della DMU A si trova lungo la parte di frontiera efficiente che collega rispettivamente le unità decisionali E e D ed è quindi una combinazione di queste due DMU. Per questo E e D sono chiamate reference set per l’unità decisionale A, in quanto essa è valutata in riferimento ad un punto che è una combinazione di E e D. La produttività di A può essere migliorata muovendosi sul punto Q e quindi riducendo entrambi gli input (X1 = 3,4; X2 = 2,6), ma lo si può migliorare muovendosi in un qualsiasi punto del segmento A1D, in particolare si può raggiungere il punto D mantenendo costanti gli occupati e riducendo l’area, mentre è possibile ottenere A1 mantenendo inalterata l’area del supermarket e diminuendo il numero di lavoratori142_.

Le misure affrontate finora sono definite input oriented, poiché l’idea alla base di queste misure è quella di minimizzare la quantità di input al fine di ottenere un’unità di output definita.

142 _{Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. (2000), “Data envelopment analysis: A}

comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver Software”, Kluwer Academic Publishers, Boston, cap. 1 “General discussion”, pag. 8.

130 4.4.3 Il caso un input - due output

Finora, come evidenziato nel sottoparagrafo precedente, i casi finora analizzati sono definiti da misure input oriented. Ora andremo ad analizzare il caso un input – due output, il quale è rappresentato da una misura output oriented143_{che si pongono il}

problema di massimizzare l’output ottenibile da una determinata quantità di input. L’esempio144_{per rendere più chiaro questo caso e le misure output oriented:}

consideriamo sette uffici, utilizziamo come unico input il numero di impiegati X (posto per tutti uguale ad 1) e come output usiamo i clienti per impiegato Y1 (unità: 10) e le

vendite per impiegato Y2 (unità: 100.000 dollari).

Tabella 18: Caso un input- due output

Con un approccio output oriented le unità più efficienti sono quelle con il più alto livello di output data un’unità di input. La frontiera efficiente rappresentata nel grafico n. 10 è quindi la linea che collega i punti B, E, F e G, mentre l’insieme delle possibilità di produzione (P) è formato dalla regione compresa tra gli assi e la frontiera efficiente.

143 _{Per approfondimento vedi: Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. (2000), “Data}

envelopment analysis: A comprehensive text with models, applications, references and DEA- Solver Software”, Kluwer Academic Publishers, Boston, Capitolo 4 “Alternative DEA models”, da pag. 58.

144 _{Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. (2000), “Data envelopment analysis: A}

comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver Software”, Kluwer Academic Publishers, Boston, Capitolo 4 “Alternative DEA models”, da pag. 9.

131 Grafico n.10: caso due input – un output

Le unità A, C, D sono inefficienti e la loro efficienza può essere valutata in riferimento alla frontiera efficiente attraverso la tecnica della distanza radiale. Se prendiamo come esempio l’efficienza di D è: 0D/0R = 0,75. In questo caso, avendo un approccio orientato all’output è più facile da interpretare il reciproco di tale misura, ossia 0R/0D = 1,33 ciò significa che, con la stessa dotazione di input, l’unità D, per essere efficiente, dovrebbe aumentare di 4/3 la produzione di entrambi gli output, senza cambiarne la proporzione. La misura di inefficienza ricavata per l’unità D si riferisce alla sola inefficienza tecnica che potremmo definire “pura” in quanto è possibile eliminarla senza cambiare la proporzione degli output (o degli input nel caso input oriented). Un’altra componente di inefficienza tecnica, che potremmo chiamare inefficienza di “mix”, può invece essere eliminata solamente modificando la proporzione con la quale gli output sono prodotti (o gli input sono utilizzati).

L’efficienza tecnica “pura” è data dalla seguente misura radiale: 0A/0Q = 0,714, il suo reciproco è pari a 1/0,714 = 1,40, ciò significa che è possibile aumentare la performance di tale unità incrementando entrambi gli output del 40%, raggiungendo così il punto Q. Tuttavia, è possibile raggiungere tale risultato senza alterare la

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proporzione tra gli output, infatti il rapporto tra essi nel punto Q è esattamente uguale a quello nel punto A: 1,4/7 = 1/5. Questo miglioramento però non elimina tutta l’inefficienza, se infatti confrontiamo il punto Q con l’unità B si può notare un deficit nell’output 1 (numero di clienti per impiegato), che può essere eliminato senza peggiorare l’altro output e ovviamente senza aumentare l’impiego di input. Spostandosi da Q a B, si sta quindi aumentando l’output 1 senza modificare la quantità prodotta dell’altro e di conseguenza si sta cambiando la proporzione tra i due, nel punto B essa è pari a: 2/7. Riassumendo, nella performance dell’unità decisionale A è possibile identificare due componenti di inefficienza tecnica: quella “pura”, data dalla misura radiale 0A/0Q e quella di “mix” rappresentata dal deficit dell’output 1 che rimane dopo essersi spostati dal punto A al punto Q145_.

4.4.4 Il caso multi input - multi output

Quando si deve valutare una performance di una DMU nella pratica, spesso ci si trova ad affrontare un caso multi input – multi output, dove riveste un ruolo fondamentale la scelta dei pesi da attribuire ai diversi fattori per far sì che la misura di produttività ottenuta146_{sia in grado di misurare l’efficienza relativa di ogni unità}

decisionale rispetto a quelle che sono risultate migliori, trovandosi dunque nella frontiera efficiente.

Al contrario, gli esempi visti finora hanno utilizzato un numero limitato di fattori input e output permettendo di rappresentare i risultati ottenuti, le frontiere efficienti e le unità decisionali in grafici bidimensionali.

Un modo per poter attribuire i pesi nel caso multi input – multi output è quello dell’assegnazione a priori di pesi per ogni fattore di input e output, rischiando però di incorrere in distorsioni poiché non si riesce a comprendere, una volta ottenuto il risultato, quanto la misura sia influenzata da questa scelta di pesi standardizzati o quanto rispecchi l’effettiva efficienza o inefficienza.

145 _{Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. (2000), “Data envelopment analysis: A}

comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver Software”, Kluwer Academic Publishers, Boston, Capitolo 4 “Alternative DEA models”, da pag. 10-11.

Nel documento Previdenza complementare: il lavoratore-investitore, una figura in consolidamento con la metodologia DEA. (pagine 122-137)