6. Disequazioni
6.1. Disequazioni in un’incognita
1. trovare il dominio naturaleD ⊆ R (se già non assegnato nel testo);
2. trovare il sottoinsieme deglix di D ove f (x) = 0;
3. trovare il sottoinsieme deglix di D ove f (x) > 0;
4. trovare il sottoinsieme deglix di D ove f (x) < 0.
La determinazione del segno prevede quindi, dopo aver trovato il dominio, la risoluzione di un’equa-zione e di due disequazioni. Dal punto di vista tecnico, come vedremo, in molti casi la determinaun’equa-zione del dominio e dell’insieme ove f (x) > 0 consente di determinare agevolmente anche l’insieme dei punti ove f (x) = 0 e quello ove f (x) < 0. La situazione non è però sempre così semplice e conviene prestare la massima attenzione. Chiariamo anche questo fatto con un semplice esempio. La funzione f (x) = x +|x|, che ha come dominio naturale R, è strettamente positiva in ]0,+∞[ e si annulla in ] − ∞,0], mentre non è mai negativa, come si può facilmente verificare; ricordando infatti la definizione di valore assoluto si ha
f (x) = x + |x| =
x + x, se x ≥ 0;
x + (−x), se x < 0; =
2x, se x ≥ 0;
0, sex < 0.
Il grafico di questa funzione, rappresentato nella figura6.1, visualizza queste proprietà.
−3 −2 −1 1 2 3
1 2
0
Figura 6.1.:Grafico della funzione f (x) = x + |x|
Nel seguito, trattando il problema di determinare il segno di una funzione, useremo spesso scritture coinvolgenti la funzione segno, definita nella formula (4.17), nella pagina126. Si tratta in realtà di un uso leggermente improprio, in quanto la funzione segno assume i valori 0, 1, −1, mentre noi qui siamo interessati al fatto che la funzione in esame sia positiva, negativa o nulla. Tuttavia questo non dà luogo ad equivoci ed è largamente usato in pratica.
6.1.2. Convenzioni grafiche
Avremo spesso bisogno di rappresentare graficamente l’insieme delle soluzioni di una disequazione: nei casi che considereremo questi insiemi saranno costituiti dall’unione di intervalli di R ed eventualmente da punti isolati. Li rappresenteremo convenzionalmente utilizzando una linea continua per gli intervalli e un “pallino” per rappresentare i punti isolati o per evidenziare il fatto che gli estremi di un intervallo appartengono all’insieme delle soluzioni. Chiariamo tutto questo con un esempio.
Esempio 6.2. Se S =] − ∞,−1[∪[1,2[∪{3}∪]5,6[ è l’insieme delle soluzioni di una certa disequazione, esso sarà rappresentato dal grafico che segue.
Matematica di base - 1 6.1. Disequazioni in un’incognita
V/F −∞ −1 1 2 3 5 6 +∞
Questo tipo di rappresentazione consente di valutare velocemente l’intersezione di più insiemi di soluzioni, cosa indispensabile quando si devono risolvere sistemi di disequazioni. Si noti l’indicazione
“V/F” (Vero/Falso) in alto a sinistra a ricordare che in questo grafico si rappresenta l’insieme in cui una disequazione è verificata.
Avremo anche bisogno di rappresentare graficamente i segni di una funzione e il suo dominio. Ci sono diverse tradizioni a questo proposito. Noi useremo i segni “+”, “−”, “0” per indicare gli intervalli (o i punti) dove una funzione è positiva, negativa, nulla; indicheremo inoltre con una “×” gli intervalli (o i punti) dove una funzione non è definita. Anche in questo caso chiariamo il tutto con un esempio.
Esempio 6.3. Sia f una funzione che 1. è definita perx < −5 ∨ −5 < x ≤ 12;
2. è strettamente positiva perx < −5 ∨ 1 ≤ x < 3;
3. è strettamente negativa per −5 < x < 1 ∨ 8 ≤ x ≤ 12;
4. si annulla per 3 ≤ x < 8.
La rappresentazione grafica sarà la seguente.
+/− −∞ −5 1 3 8 12 +∞
+ × − + + 0 0 − − − ×
Questo tipo di rappresentazione consente di valutare rapidamente il segno di un prodotto o quoziente di due o più funzioni. Si noti l’indicazione “+/−” in alto a sinistra a ricordare che in questo grafico si rappresentano i segni (e il dominio) di una funzione.
In questi grafici, in entrambi i casi, non hanno alcuna importanza le misure degli intervalli, occorre solo essere certi che i cosiddetticaposaldi (i numeri che compaiono sulla prima riga) siano disposti in ordine crescente.
6.1.3. Principi di equivalenza
Definizione 6.2. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
La risoluzione di una disequazione richiede in genere una serie di passaggi preliminari atti a ridurre la disequazione stessa a una disequazione equivalente e appartenente ad una delle forme canoniche che saranno esaminate in seguito. Questi passaggi si basano sulle seguenti note proprietà delle disuguaglianze tra numeri:
1. Aggiungendo o sottraendo uno stesso numero ai due membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza che mantiene lo stesso valore di verità.
2. Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disuguaglianza per uno stesso numerodiverso da zero si ottiene una disuguaglianza che mantiene lo stesso valore di verità.
3. Due disuguaglianze dello stesso verso possono essere sempre sommate membro a membro.
4. Due disuguaglianze dello stesso versonon possono essere moltiplicate membro a membro a meno chetutti i membri non siano strettamente positivi.
Da qui si ricava il seguente teorema.
Teorema 6.3. Siano A(x) e B(x) due funzioni definite in un sottoinsieme D di R.
1. La disequazione A(x) < B(x) è equivalente alla disequazione B(x) > A(x).
2. Qualunque sia la funzione C (x), definita in D, la disequazione A(x) < B(x) è equivalente alla disequazione A(x) + C(x) < B(x) + C(x).
3. Qualunque sia la funzione C (x), definita in D e ivi mai nulla, la disequazione A(x) < B(x) è equivalente alla disequazione A(x)C(x) < B(x)C(x) se C(x) > 0, alla disequazione A(x)C(x) >
B(x)C(x) se C(x) < 0.
4. Sia f una funzione strettamente monotona per cui esistano le funzioni composte f A(x) e f B(x).
Allora la disequazione A(x) < B(x) è equivalente alla disequazione f A(x) < f B(x) se f è crescente, alla disequazione f A(x) > f B(x) se f è decrescente.
Il teorema rimane vero anche se i versi delle disuguaglianze sono invertiti o sostituiti con disuguaglianze in senso lato (≤ o ≥ al posto di < o >).
Il punto 1) del teorema, anche se può sembrare banale, serve in molte circostanze per evitare inutili passaggi.
Il punto 2) si può esprimere a parole dicendo che si può sempre sommare ad ambo i membri di una disequazione una stessa quantità, oppure “portare una quantità da un membro all’altro” cambiandola di segno (attenzione al dominio!).
Il punto 3) dice che si può moltiplicare (o dividere) ambo i membri di una disequazione per una stessa quantità strettamente positiva, mantenendo il verso; se invece si moltiplica per una quantità strettamente negativa basta cambiare il verso. Si noti che questa quantità può essere una funzione non costante (cioè “può contenere lax”): quello che conta è che abbia segno costante. Per esempio le disequazioni x3+ x > 0 e x > 0 sono equivalenti: la prima è ottenuta dalla seconda moltiplicando per x2+ 1 che è sempre strettamente positivo
Il punto 4) è molto importante e ci interesserà in particolare la possibilità di elevare ambo i membri di un’equazione ad una potenza, oppure prendere l’esponenziale, in una certa base, di ambo i membri, e cose simili. Vedremo i dettagli in seguito. Qui limitiamoci ad osservare i seguenti fatti.
1. Non è in genere possibile elevare al quadrato, o a una potenza pari, ambo i membri di una disequazione (la funzione “elevamento al quadrato” non è monotona). Per esempio dax < −1, elevando al quadrato si ottienex2< 1, che è verificata, come vedremo, per−1 < x < 1, in contrasto con la disequazione di partenza. Del resto è ben noto che, mentre per esempio −4 < 1 è vera, elevando al quadrato si ottiene 16 < 1 è falsa. Questo fatto complica abbastanza la risoluzione di disequazioni in cui figurano radicali quadratici. L’elevazione a una potenza pari è invece consentita, se ambo i membri sono positivi: l’elevazione diA(x) < B(x), per esempio, al quadrato, equivale a moltiplicare membro a membroA(x) < B(x) sempre per A(x) < B(x), cosa lecita, come più sopra osservato, se tutti i membri sono positivi.
Matematica di base - 1 6.2. Il binomio di primo gradof (x) = ax + b 2. È sempre possibile elevare al cubo, o a una potenza dispari, ambo i membri di una disequazione
(la funzione “elevamento al cubo” è monotona).