I numeri razionali

2.3.1. Generalità

L’introduzione degli interi consente di risolvere tutte le equazionix + b = a, mentre non si ha alcun sensibile miglioramento per quanto riguarda la soluzione delle equazioni del tipox b = a. Per fare questo si introducono i numeri razionali, indicati con Q, a partire dall’insieme di tutte le frazioni costituite da due interi, di cui il secondo (quello al denominatore) diverso da zero. In questo insieme delle frazioni si introduce la relazione di equivalenza

(2.9) a

b ∼ c

d ⇔ ad = b c

le cui classi di equivalenza sono, appunto, i numeri razionali. Per scrivere i numeri razionali si dovrebbe dunque usare la simbologia delle classi di equivalenza; per esempio non si dovrebbe dire: “si consideri il numero razionale¹/²”, ma: “si consideri il numero razionale [¹/²]” e tenere conto che, in realtà,

•1 2

˜

=

§1 2, 2

4, −4

−8, ...ª .

Nella pratica però tutti si riferiscono ai razionali pensando alle frazioni, tenendo però conto, tutte le volte che serve, che in realtà si tratta di classi di equivalenza. Questo fatto risulta evidente quando si definisce, per esempio, la somma di due razionali:

1 2+3

5= 5 10+ 6

10=11 10.

L’insieme dei numeri razionali può essere visto come un soprainsieme degli interi: basta pensare agli interi come alle frazioni con denominatore 1.

In Q si introducono un ordine totale e le operazioni di addizione e moltiplicazione in cui valgono le proprietà già viste in Z, con alcune importanti modifiche e aggiunte che riportiamo qui di seguito. Le modifiche per l’ordine, in particolare, sono decisamente significative.

1. Per quanto riguarda l’ordine:

Matematica di base - 1 2.3. I numeri razionali a) gli elementi di Q non hanno né un immediato seguente né un immediato precedente;

b) non solo Q non ha né massimo né minimo, ma anche gli insiemi superiormente limitati di razionali possono non avere massimo e, quel che è ancora peggio, nemmeno estremo superiore; analogamente gli insiemi inferiormente limitati di numeri razionali possono non avere minimo e, quel che è ancora peggio, nemmeno estremo inferiore.

2. Per quanto riguarda le operazioni:

a) esiste il reciproco nella moltiplicazione:

∀x ∈ Q, x 6= 0, ∃y ∈ Q tale che xy = 1, e taley si indica con¹/x.

L’esistenza del reciproco nella moltiplicazione ha come conseguenza importante che l’insieme Q \ {0}

è un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione: la struttura che si ottiene si chiama ora uncorpo commutativo, o anche campo ordinato. L’esistenza del reciproco rende anche possibile risolvere in Q tutte le equazioni del tipox b = a, con b 6= 0: la sua unica soluzione è x = a ·¹/b=^a/b.

In Q non c’è più la necessità di introdurre né un’operazione di divisione né un’operazione di divisione con resto: qualunque siano i numeri razionalia e b, con b 6= 0, si definisce il quoziente tra a e b come il prodotto dia per il reciproco di b.

Come già segnalato, le modifiche riguardanti l’ordine, rispetto ai naturali e agli interi, sono molto significative. In particolare vale il seguente teorema.

Teorema 2.13. Il campo dei razionali è denso, cioè fra due razionali qualunque esiste sempre un altro razionale (anzi ne esistono infiniti).

Dimostrazione. Dati a e b con a < b, basta considerare il numero a + b

2 , che risulta essere compreso traa e b.

Il concetto di potenza con esponente intero si potrà estendere ai razionali senza alcun cambiamento, né nella definizione, né nelle proprietà. È possibile estendere il concetto di potenza consentendo che anche l’esponente possa essere razionale, ma per fare questo, come vedremo, è necessario introdurre i numeri reali. In ogni caso ce ne occuperemo in dettaglio nel capitolo7appositamente dedicato alle potenze.

2.3.2. La cardinalità dei razionali

Nonostante il teorema2.13 faccia pensare che l’insieme dei razionali possa contenere molti più elementi che non l’insieme degli interi, in realtà la cardinalità dei razionali è ancora ℵ0e la dimostrazione di questo fatto è particolarmente significativa utilizzando il famoso “procedimento diagonale” di Cantor.

Proveremo addirittura che l’insieme delle frazioni con denominatore positivo ha cardinalità ℵ₀, da cui discenderà subito che la cosa è vera anche per i razionali. Si esamini la figura2.1nella quale, per questioni grafiche, abbiamo scritto le frazioni come coppia di interi (di cui il secondo maggiore di zero).

(2, 1) (−1, 1)

(1, 1) (0, 1)

···

(−1, 2) (1, 2) (0, 2)

...

(1, 3) (0, 3)

...

(0, 4) ...

Figura 2.1.:Numerabilità dei razionali

La figura fa immediatamente capire quale sia la corrispondenza biunivoca che abbiamo in mente di realizzare tra i naturali e le frazioni:

0 ↔ (0,1) 1 ↔ (0,2) 2 ↔ (1,1) 3 ↔ (0,3) 4 ↔ (1,2) 5 ↔ (−1,1)

...

Questo risultato è, a prima vista, abbastanza sorprendente: si pensi solo al fatto che tra due interi qualunque c’è sempre un numero finito di interi, mentre tra due razionali qualunque c’è sempre un numero infinito di razionali.

2.3.3. Perché i razionali non bastano?

Dal punto di vista della struttura algebrica e quindi della risolubilità delle equazioni che abbiamo considerato, l’insieme dei razionali è perfettamente soddisfacente. Che motivo c’è, allora di complicarsi ulteriormente la vita? La scoperta della “lacunosità” di questo insieme numerico è, storicamente, legata alla scoperta del famoso teorema di Pitagora: se un triangolo rettangolo ha i cateti di lunghezza 1, quanto vale la sua ipotenusa? Detto in altri termini: se ho un quadrato di lato 1, e quindi di area 1, quanto dovrà essere il lato di un quadrato che ha area doppia?

Usando il linguaggio delle equazioni questo problema è equivalente a quello di risolvere l’equazione x²= 2. Questa equazione non può avere soluzioni in Q. Se infatti la frazione^m/nfosse una soluzione, si dovrebbe anche averem²= 2n². Ma questo non è possibile perché scomponendom ed n in fattori

Matematica di base - 1 2.4. La rappresentazione decimale dei razionali primi avrei, in questa uguaglianza, un diverso numero di fattori uguali a 2 a sinistra e a destra dell’uguale (m²edn²devono avere, essendo quadrati, un numero pari di fattori uguali a 2, magari nessuno, dunque a destra c’è comunque un numero dispari di fattori uguali a 2).

È molto importante segnalare che il problema in questione è squisitamente teorico: da un punto di vista pratico è possibile trovare una frazione che esprima l’ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti uguali ad 1 con un’approssimazione “grande quanto si vuole”. Per esempio, come è ampiamente noto, 1414/1000 esprime la cercata ipotenusa con le prime tre cifre decimali esatte (il che è sufficiente per la maggior parte delle applicazioni).

Strettamente collegato a questo fatto (anche se a questo livello non è facile capire qual è il legame) è il fatto che un insieme superiormente limitato di razionali può non avere né massimo né estremo superiore.

La risoluzione corretta di questi problemi porta ad una nuova estensione dell’insieme di numeri che conduce all’insieme dei numeri reali. Questa estensione produrrà un insieme sostanzialmente più ricco e complesso rispetto a quelli finora considerati. Per avere un’idea almeno intuitiva di come si possa costruire questo insieme di numeri, trattiamo brevemente il problema, interessante di per sè, della rappresentazione decimale dei numeri finora introdotti.