4. Funzioni
4.8. Qualche funzione elementare
Matematica di base - 1 4.8. Qualche funzione elementare
da cui
(4.15) m =∆y
∆x.
Se si scelgonoAeBin modo che ∆x = 1, allora m = ∆y; se si scelgono inveceAeBin modo che
∆x = 100, allora ∆y = 100 m e il numero 100 m si chiama pendenza percentuale. Le due rette precedenti hanno una pendenza percentuale del 200% e del −200% rispettivamente.
È ovvio che pendenza positiva implica “retta in salita”, pendenza negativa implica “retta in discesa”
(procedendo da sinistra a destra naturalmente!).
È naturale conseguenza di quanto detto che due rettey = m1x + q1ey = m2x + q2sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare: m1= m2.
Si noti che piùm è grande, più la retta tende a essere verticale: se la retta potesse essere verticale, m diventerebbe infinitamente grande in senso positivo (+∞) o negativo (−∞). Le rette verticali non possono essere grafici di funzioni, ma dal punto di vista geometrico hanno perfettamente senso e si usa dire che il loro coefficiente angolare “è infinito”.
Sono particolarmente importanti i casi conm = ±1 e q = 0. Nel caso m = 1 si ha f (x) = x e questa funzione è detta anchefunzione identica in R, in quanto associa ad ogni x di R lo stesso x: è indicata anche conIRo con 1R. Il suo grafico (in un sistema monometrico!) è la bisettrice del primo e terzo quadrante (a volte chiamata anche ladiagonale di R2= R × R). Nel caso m = −1 si ha f (x) = −x e questa funzione è anche dettafunzione opposto in R, in quanto ad ogni x di R associa il suo opposto: il suo grafico (in un sistema monometrico!) è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
Notiamo che sem = 0 la funzione in considerazione non è più di primo grado, ma di grado 0: si tratta delle cosiddettefunzioni costanti, che hanno come grafico rette parallele all’asse delle ascisse, cioè con pendenza nulla: si tratta dunque di un caso particolare di retta, per cui, a volte, anche questo tipo di funzioni sono comprese nella dicitura “funzioni polinomiali di primo grado”.
−1 1
−1 1
0 −1 1
−1 1
0 −1 1
−1 1
0
Figura 4.21.:Funzione identica, funzione opposto, funzione costante, in R
Il caso in cuiq = 0 (retta passante per l’origine) è di grande importanza applicativa. In questa situazione si ha
y
x = m = costante, se x 6= 0 :
lay e la x sono direttamente proporzionali, ovvero se x aumenta o diminuisce, altrettanto succede alla y, e dello stesso fattore.
Le funzioni del tipo f (x) = mx + q in cui q = 0 sono anche dette funzioni lineari, mentre quelle in cuiq 6= 0 son anche dette funzioni affini(4).
Torneremo su questo argomento e su altre caratteristiche delle funzioni polinomiali di primo grado trattando la retta in geometria analitica.
4.8.2. La funzione polinomiale di secondo grado
La seconda funzione di base di cui ci interessiamo è quella definita da
(4.16) f (x) = ax2+ b x + c, oppure, brevemente, y = ax2+ b x + c , a 6= 0, che chiameremofunzione polinomiale di secondo grado.
Essa ha come grafico una parabola conasse verticale. Le caratteristiche che più interessano sono le seguenti:
1. la parabola volge la concavità verso l’alto (“sorride”) sea > 0, volge la concavità verso il basso (“piange”)(5)sea < 0;
2. ilvertice della parabola ha ascissa data da
xV = − b 2a,
mentre l’ordinata dello stesso può essere ricavata semplicemente per sostituzione nell’espressione della funzione, senza necessità di memorizzare formule particolari;
3. la parabola è simmetrica rispetto al suo asse, cioè alla retta verticale passante per il vertice.
Anche su questo argomento torneremo estesamente nel capitolo sulla geometria analitica.
4.8.3. La funzione valore assoluto
Abbiamo già introdotto, nella definizione2.18, il concetto di valore assoluto di un numero reale.
Occupiamoci ora della funzione reale definita mediante il valore assoluto:
f (x) = abs x = |x| =
x, se x ≥ 0;
−x, se x < 0.
Il suo grafico cartesiano si può ottenere subito, a partire dalla definizione data, ed è mostrato nella figura 4.22.
4Anche se non fa strettamente parte delle conoscenze tipiche della matematica di base, segnaliamo che il nome funzioni lineari è legato al fatto che queste funzioni di R in R godono delle seguenti due proprietà:
1. f (kx) = k f (x);
2. f (x1+ x2) = f (x1) + f (x2).
L’importanza di queste proprietà apparirà manifesta nei successivi corsi universitari.
5L’origine di questa nomenclatura è chiaramente legata agli smile comunemente usati nel web: “:-)” e “:-(”.
Matematica di base - 1 4.8. Qualche funzione elementare
−3 −2 −1 1 2 3
1 2
0
Figura 4.22.:La funzione valore assoluto
4.8.4. Le funzioni potenza ad esponente intero
La nozione di potenza ad esponente intero ci consente di definire le cosiddettefunzioni potenza ad esponente intero: si tratta delle funzioni reali definite dalla legge
x 7→ xm, m ∈ Z.
Sem > 0 il loro dominio naturale è R, se invece m ≤ 0 il loro dominio naturale è R\{0}. Le indicheremo, a volte, con il simbolo pm: pm(x) = xm.
Osserviamo che sem è pari si ha xm= (−x)m, ovvero pm(x) = pm(−x): funzioni che godono di questa proprietà si chiamanofunzioni pari; se invece m è dispari si ha xm = −(−x)m: funzioni che godono di questa proprietà si chiamano funzioni dispari. Troveremo in seguito altre funzioni con queste proprietà (per esempio le funzioni coseno e seno). Le funzioni pari hanno un grafico cartesiano simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, quelle dispari hanno un grafico simmetrico rispetto all’origine (naturalmente perché questo discorso abbia senso il dominio deve essere simmetrico rispetto all’origine, cosa che succede sicuramente per le funzioni potenza che stiamo esaminando. A titolo d’esempio, nella figura4.23sono rappresentati i grafici di una funzione pari e di una funzione dispari. La funzione valore assoluto, più sopra introdotta, è un ulteriore esempio di funzione pari.
−3 −2 −1 1 2 3
−1 1
0 −3 −2 −1 1 2 3
−1 1
0
Figura 4.23.:Esempio di funzione pari, a sinistra, e dispari, a destra
Dunque per le funzioni potenza sarà sufficiente tracciare il grafico solo perx ≥ 0 (o per x > 0 se l’esponente è minore o uguale a 0).
Alcuni casi sono di particolare importanza nelle applicazioni e li tratteremo per primi.
Potenza con esponente0 Poiché
p0(x) = x0= 1, x 6= 0,
il grafico è quello della funzione costantemente uguale ad 1, tranne nell’origine dove non è definita.
Tuttavia di solito si “estende” questo grafico fino a comprendere anche l’origine: si dice che si fa un prolungamento della funzione all’origine. Attenzione: questo non significa definire 00(che sappiamo non avere alcun significato), significa soltanto che si conviene di assegnare come domino a p0tutto R, ponendo p0(0) = 1.
−3 −2 −1 1 2 3
1
0
Figura 4.24.:La funzione p0, prolungata nell’origine Potenza con esponente1
Il caso dipmconm = 1 rientra tra le funzioni polinomiali di primo grado, precisamente si tratta della funzione identica, già trattato nella pagina119.
Potenza con esponente2
Il caso di pmconm = 2 rientra tra le funzioni polinomiali di secondo grado, precisamente con a = 1, b = c = 0: si tratta dunque di una funzione avente come grafico una parabola con asse verticale e vertice nell’origine.
−2 −1 1 2
1 2
0
Figura 4.25.:La funzione p2(x) = x2 Potenza con esponente−1
Sem = −1 si ha
p−1(x) = x−1= 1
x, x 6= 0.
Questa funzione è detta anche, per ovvi motivi,funzione reciproco. Il suo grafico è rappresentato nella figura4.26ed è unaiperbole equilatera.
Si noti che, scrivendo la funzione nella formay =1/x, si ha, perx 6= 0, xy = 1, che significa che il prodotto tra x ed y è costantemente uguale ad 1, ovvero x ed y sono inversamente proporzionali:
all’aumentare di una, l’altra diminuisce dello stesso fattore. In generale una legge diproporzionalità inversa è del tipo y =k/xe la funzione reciproco ne è un caso particolare. Il grafico di f (x) =k/x è rappresentato nella figura4.27, a sinistra conk = 2, a destra con k = −2.
Potenze con esponente positivo
Nella figura4.28sono riportati i grafici delle funzioni potenza per alcuni esponenti positivi, compresi gli esponenti 1 e 2 già trattati. Sono tracciati i grafici solo perx ≥ 0, per ottenere il grafico per x < 0
Matematica di base - 1 4.8. Qualche funzione elementare
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1 1 2
0
Figura 4.26.:La funzione f (x) =1/x
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1 1 2
0 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1 1 2
0
Figura 4.27.:Leggi di proporzionalità inversa con k > 0 a sinistra e k < 0 a destra
basta operare una simmetria, come già osservato. Si noti che tutte le funzioni valgono 0 perx = 0 e 1 perx = 1, come è ovvio; inoltre se 0 < x < 1, quanto più l’esponente m è grande tanto più xmè piccolo, il contrario sex > 1. Nella stessa figura4.28, sulla destra, è mostrato l’ingrandimento del quadrato [0, 1] × [0, 1], per maggiore chiarezza.
1 2 3 4 5
1 2 3
0
xx2 x3 x15
1 1
0 xx2 x3 x7 x15
Figura 4.28.:Potenze con vari esponenti positivi e ingrandimento del quadrato [0,1] × [0,1]
Potenze con esponente negativo
Nella figura4.29sono riportati i grafici delle funzioni potenza per alcuni esponenti negativi, compreso l’esponente −1 già trattato. Sono tracciati i grafici solo per x > 0, per ottenere il grafico per x < 0 basta operare una simmetria, come già osservato. Si noti che tutte le funzioni risultano non definite perx = 0 e valgono 1 perx = 1, come è ovvio; inoltre se 0 < x < 1, quanto più l’esponente m è grande tanto più xmè grande, il contrario sex > 1.
1 2 3 4 5 6
1 2 3
0
x−1 x−2 x−3 x−10
Figura 4.29.:Potenze con vari esponenti negativi
4.8.5. Le funzioni radice
Come risulta dai grafici, tutte le funzioni potenza con esponente positivo, se ristrette ai reali non negativi, sono funzioni biunivoche(6)e quindi invertibili (si veda la discussione che abbiamo fatto a proposito della funzione f (x) = x2nella pagina117). Le funzioni potenza con esponente positivo dispari maggiore(7)di 1 sono biunivoche, e quindi invertibili, senza bisogno di restrizione. Le inverse di queste funzioni si chiamanofunzioni radice e sono dunque definite per x ≥ 0 se m ≥ 2 pari, per x ∈ R se m > 1 dispari. I grafici si otterranno dunque per semplice simmetria dei grafici delle funzioni potenza, rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante: si veda la figura4.30.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 1 2
0 px p3 x 10px
Figura 4.30.:Alcune funzioni radice
6La cosa andrebbe ovviamente provata in maniera formale, ma qui ci limitiamo semplicemente ad accettarla.
7Il casom = 1 è di poco interesse, in quanto l’inversa di f (x) = x coincide con la f (x) stessa.
Matematica di base - 1 4.8. Qualche funzione elementare
4.8.6. Le funzioni potenza ad esponente reale
A seguito della estensione della definizione di potenza agli esponenti razionali non interi e agli esponenti irrazionali, potremo definire le funzioni ad esponente reale qualunque α, anche se α è un razionale non intero o un irrazionale:
x 7→ xα, aventi dominio naturale R+se α > 0, R+\ {0} se α < 0.
1 2 3 4 5 6 7 8
−1 1 2 3 4
0
x2 xp2 x
x1/p2 x1/2
x−1/2
x−1 x−8/3
Figura 4.31.:Alcune funzioni potenza Poiché, per definizione,
x1/m= mp
x, m ∈ N, m > 1,
le funzioni radice potranno essere considerate come caso particolare di potenze ad esponente razionale.
Tuttavia segnaliamo che di solito mentrep3 x si ritiene definita su tutto R, x1/3si ritiene(8)definita solo perx ≥ 0, e questo per evitare difficoltà con le basi negative, difficoltà già evidenziate nella definizione 2.23. Non entriamo in ulteriori dettagli se non per osservare che queste funzioni estendono le proprietà già viste per le funzioni potenza ad esponente intero e per le funzioni radice. Nella figura4.31sono riportati, a titolo d’esempio alcuni grafici per un utile confronto.
4.8.7. Funzioni potenza e invertibilità
Il problema dell’invertibilità delle funzioni potenza è di grande importanza nelle applicazioni e, anche se già sostanzialmente trattato nelle pagine precedenti, presentiamo qui un riepilogo generale, distinguendo i vari casi. In quanto segue il dominio è sempre il dominio naturale e, se necessario, sottindendiamo una restrizione del codominio all’immagine, in modo da non avere problemi con la suriettività.
1. La funzionep0(x), potenza con esponente zero, che abbiamo esteso a tutto R ponendo p0(0) = 0, è costante e quindi non invertibile.
2. Le funzioni f (x) = x±1son invertibili e coincidono con le loro inverse.
8Questo avviene anche nella maggior parte dei software di calcolo simbolico.
3. Le funzioni f (x) = x±3, f (x) = x±5, ...(cioè le funzioni potenza con esponente intero dispari diverso da ±1) sono invertibili e le loro inverse sono f (x) =p3
x, f (x) =p5 x, ...(per esponenti positivi) e1/p3 x,1/p5x, ...(per esponenti negativi).
4. Le funzioni f (x) = x±2, f (x) = x±2, ...(cioè le funzioni potenza con esponente intero pari diverso da 0)non sono iniettive e quindi non sono invertibili. Se però operiamo una restrizione ai reali ≥ 0 (per esponenti positivi) o > 0 (per esponenti negativi), otteniamo delle funzioni iniettive e quindi invertibili (ricordiamo che operiamo una restrizione del codominio all’immagine). Le inverse di queste restrizioni sono le funzioni f (x) = x±1/2, f (x) = x±1/4, ...che coincidono con f (x) =px, f (x) =p4 x, ...(per esponenti positivi) e f (x) =1/px, f (x) =1/p4x, ...(per esponenti negativi).
5. Le funzioni f (x) = xa, cona non intero, sono invertibili e le loro inverse sono le funzioni f (x) = x1/a, con l’avvertenza che, sea = ±1/2,a = ±1/3, ..., allora le inverse sono le restrizioni di f (x) = x±2, f (x) = x±3, ...ai reali ≥ 0 (per a positivo) o > 0 (per a negativo): si tenga infatti presente che le potenze con esponente razionale, secondo la nostra convenzione, non sono definite sui reali negativi.
4.8.8. La funzione segno
Lafunzione segno è definita come segue:
(4.17) sgn(x) =
−1, se x < 0;
0, sex = 0;
1, sex > 0. , ed ha il grafico rappresentato nella figura4.32.
Non tutti concordano nel ritenere la funzione segno definita anche perx = 0: quella da noi proposta è comunque la definizione ufficialmente adottata dalle norme ISO.
Vale la seguente importante formula che collega le funzioni segno e valore assoluto.
(4.18) x = sgn(x) · abs(x) = sgn(x) · |x|.
Si noti che, dalla (4.18) si deduce
(4.19) sgn(x) = x
|x|
=|x|
x
, x 6= 0.
Molti autori adottano proprio la (4.19) come definizione della funzione segno (perx 6= 0).
4.8.9. Le funzioni parte intera e simili
Le funzioni introdotte in questo paragrafo hanno importanza in molte applicazioni, in particolare sono di uso comune in informatica. Purtroppo la nomenclatura adottata non è universalmente accettata:
come al solito qui abbiamo seguito quella prevista dalle norme ISO.
Matematica di base - 1 4.8. Qualche funzione elementare
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1 1
0
Figura 4.32.:La funzione segno
Le funzioni floor e ceil
Fissato unx ∈ R esiste(9)un unico interon tale che n ≤ x < n + 1: si tratta del più grande intero minore o uguale ax. Questo n si indica con bxc, scrittura che si legge(10)floor x. La maggior parte dei matematici chiamano queston parte intera di x e lo indicano con [x]. Noi useremo la dicitura parte intera con un altro significato e sconsigliamo in ogni caso la scrittura con le (troppo abusate!) parentesi quadre. La funzionex 7→ bxc, definita su tutto R ha il grafico rappresentato nella figura4.33, a sinistra.
Esempio 4.8. b−2.5c = −3; b4.6c = 4.
Fissato sempre unx ∈ R esiste un unico intero m tale che m − 1 < x ≤ m: si tratta del più piccolo intero maggiore o uguale ax. Questo m si indica con dxe, scrittura che si legge(11)ceil x. La funzione x 7→ dxe, definita su tutto R ha il grafico rappresentato nella figura4.33, a destra.
Esempio 4.9. d−2.5e = −2; d4.6e = 5.
Si noti che, in base alle definizioni date, si ha
(4.20) ∀x ∈ R, bxc ≤ x ≤ dxe,
ovvero ogni numero reale “sta tra il pavimento e il soffitto”.
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1 1 2
0 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1 1 2
0
Figura 4.33.:Le funzioni floor, a sinistra, e ceil, a destra
9Si tratta di una conseguenza della proprietà di R di essere archimedeo.
10Floor ha principalmente il significato di pavimento e la nomenclatura è molto appropriata.
11Ceil, o meglio ceiling, ha principalmente il significato di soffitto e anche questa nomenclatura è decisamente appropriata.
Alcuni software di calcolo simbolico usano proprio il termineceiling, al posto di ceil.
La funzionex − bxc, il cui grafico è rappresentato nella figura4.34, è chiamata da molti matematici funzione parte frazionaria, mentre secondo la normativa ISO questo nome è usato con un altro significato, di cui parleremo tra poco.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
1
0
Figura 4.34.:La funzione x − floor x
Questa funzione ha comunque il vantaggio di essere sempre positiva e di essere periodica diperiodo 1:
ritorneremo in dettaglio sul concetto di funzione periodica parlando delle funzioni trigonometriche (vedi il capitolo11).
Le funzioni parte intera e parte frazionaria
Dato un numero realex, si chiama parte intera di x e si indica con int x il numero definito formalmente da
(4.21) intx = sgn x · babs xc,
ovvero, brevemente, l’intero con segno che precede la virgola nella rappresentazione decimale dix.
Esempio 4.10. int(−0.2) = 0; int(−3.5) = −3; int(4.1) = 4.
Il grafico della funzione parte intera è rappresentato nella figura4.35, a sinistra.
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1 1 2
0 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1 1 2
0
Figura 4.35.:Funzione parte intera (a sinistra) e parte frazionaria (a destra)
Dato un numero realex, si chiama parte frazionaria di x e si indica con frac x il numero definito formalmente da
(4.22) fracx = x − int x ,
ovvero, brevemente, la parte che segue la virgola, con il suo segno, nella rappresentazione decimale di x.
Matematica di base - 1 4.9. Esercizi Esempio 4.11. frac(−0.2) = −0.2 − int(−0.2) = −0.2 − (0) = −0.2; frac(−3.5) = −3.5 − int(−3.5) =
−3.5 − (−3) = −0.5; frac(4.1) = 4.1 − int(4.1) = 4.1 − 4 = 0.1.
Il grafico della funzione parte frazionaria è rappresentato nella figura4.35, a destra.
Ribadiamo di nuovo che la nomenclatura relativa a questo gruppo di funzioni è ben lungi dall’essere universale: leggendo un testo è sempre bene consultare l’elenco delle notazioni e le relative definizioni.