2. Numeri: dai naturali ai reali
2.6. Esercizi
Matematica di base - 1 2.6. Esercizi non si lascia proprio trattare, cioè non ha soluzioni nemmeno in R. In realtà la richiesta che essa abbia soluzioni è proprio strana, in quanto richiede di trovare un numero il cui quadrato sia negativo e questo è un problema decisamente più complesso rispetto a quelli finora incontrati. La ricerca però di un insieme numerico che sia un’estensione dei reali e in cui un’equazione come questa abbia soluzioni ha successo e anzi permette di costruire un insieme che ha molte straordinarie proprietà: l’insieme dei numericomplessi. Ci occuperemo brevemente di questo insieme numerico solo nella parte seconda, in quanto normalmente non compreso nei programmi dei corsi di scuola secondaria.
6. p(a − 2)2(a − 1)3. Perché il radicale quadratico abbia senso, occorre che siaa ≥ 1. Essendo poi (a − 2)2= |a − 2|2, si ottiene p(a − 2)2(a − 1)3=p
|a − 2|2(a − 1)2(a − 1) = |a − 2|(a − 1)p a − 1.
Anche mettendo |a − 1| al posto di (a − 1) fuori dalla radice non cambia nulla, in quanto, come già osservato, deve esserea ≥ 1.
7. p3 81 −p3
24 + 10p3 3 − 3
s3
8. L’espressione data equivale ap3
33× 3 −p3
23× 3 + 10p3 3 − 3
s3 23= 3p3
3 − 2p3
3 + 10p3 3 −
p3
3 2 =
3 − 2 + 10 −1 2
p3
3 =21 2
p3
3.
Esercizio 2.2. Ridurre ad un’unica frazione l’espressione che segue:
a +p b a −p
b +
pb − a a +p
b − 2ap b a2− b.
Risoluzione. Conviene razionalizzare i denominatori delle prime due frazioni e poi operare. Si ottiene
a +p b a −p
b a +p
b a +p
b +
pb − a a +p
b a −p
b a −p
b − 2ap b
a2− b = a +p b2 a2− b +(p
b − a)(a −p b)
a2− b − 2ap b a2− b =
=a2+ 2ap
b + b + ap
b − b − a2+ ap
b − 2ap b
a2− b = 2ap
b a2− b . Qualche calcolo poteva anche essere velocizzato, ma in un esercizio come questo forse non ne vale la pena.
Esercizio 2.3. Per quale valore della cifra a il numero 3572a14 è divisibile per 11?
Risoluzione. Il numero proposto ha 7 cifre. La somma delle cifre di posto pari è 4 + a + 7 + 3 = 14 + a, quella delle cifre di posto dispari è 1 + 2 + 5 = 8. Si deve dunque imporre che 6 + a sia divisibile per 11:
a = 5.
Esercizio 2.4. Si provi che se un numero a è irrazionale, anche1/alo è.
Risoluzione. Se1/afosse un razionale, diciamolo r , si avrebbe1/r= a, cioè1/rsarebbe irrazionale, cosa palesemente falsa.
Esercizio 2.5. Trovare, usando l’algoritmo di Euclide, il massimo comun divisore dei tre numeri 304920, 25725, 614922. Ritrovare il risultato effettuando la scomposizione in fattori primi dei tre numeri.
Risoluzione. Si può procedere trovando il MCD dei primi due numeri e, successivamente, il MCD tra questo risultato e il terzo numero. Si ha:
304920 = 11 × 25725 + 21945; 25725 = 1 × 21945 + 3780; 21945 = 5 × 3780 + 3045;
3780 = 1 × 3045 + 735; 3045 = 4 × 735 + 105; 735 = 7 × 105 + 0,
Matematica di base - 1 2.6. Esercizi
da cui MCD(304920,25725) = 105. Si ha poi:
614922 = 5856 × 105 + 42; 105 = 2 × 42 + 21; 42 = 2 × 21 + 0, da cui si conclude che il massimo comun divisore cercato è 21.
La scomposizione in fattori dei tre numeri porge:
304920 = 23× 32× 5 × 7 × 112, 25725 = 3 × 52× 73,
614922 = 2 × 3 × 7 × 114, da cui si trae la stessa conclusione di prima.
Esercizio 2.6. Quali proprietà dell’addizione servono per provare che, in N, n1+ n2+ n3= n3+ n2+ n1?
Risoluzione. Abitualmente si pensa che la formula precedente (scambiano l’ordine dei termini in un’ad-dizione qualunque il risultato non cambia) sia una semplice conseguenza della proprietà commutativa dell’addizione: essa richiede invece l’uso, e più volte ripetuto, delle proprietà commutativa e associativa.
I passaggi sono i seguenti
n1+ n2+ n3(1)= n1+ (n2+ n3)(2)= (n2+ n3) + n1(3)= (n3+ n2) + n1(4)= n3+ n2+ n1, di cui la (1) e la (4) hanno richiesto la proprietà associativa, la (2)e la (3) la proprietà commutativa.
Esercizio 2.7. Dimostrare che, per ogni n ∈ Z, n2− 9n + 20 è un numero pari ≥ 0.
Risoluzione. Si ha n2− 9n + 20 = (n − 4)(n − 5). Dunque se n = 4 ∨ n = 5 il numero proposto è 0, se n < 4 è il prodotto di due negativi, se n > 5 è il prodotto di due positivi. Inoltre per ogni n, almeno uno dei due numerin − 4 e n − 5 è pari, dunque il numero dato è pari.
Esercizio 2.8. Si provi che il numero n(n2+ 8) è sempre divisibile per 3.
Risoluzione. Se n è divisibile per 3 la cosa è ovvia, altrimenti n è del tipo 3m + 1 o 3m + 2. Nel primo caso si ha
n(n2+ 8) = (3m + 1) (3m + 1)2+ 8 = (3m + 1)(9m2+ 6m + 1 + 8) =
= (3m + 1)(9m2+ 6m + 9) = 3(3m + 1)(3m2+ 2m + 3) , e il numero è divisibile per 3. In modo analogo si procede sen = 3m + 2.
Esercizio 2.9. Provare che, ∀n ∈ N il numero n5− n termina con almeno uno 0, cioè è divisibile per 10.
Risoluzione. Si ha n5−n = n(n4−1) = n(n2−1)(n2+1) = (n −1)n(n +1)(n2+1). Dunque per ogni n, almeno uno dei numerin e n − 1 è pari, cioè il numero dato è divisibile per 2. Esaminiamo poi l’ultima cifra decimale del numeron e mostriamo che, in ogni caso, uno dei quattro numeri della scomposizione è divisibile per 5.
— Se l’ultima cifra è 0 non ci sono problemi;
— se l’ultima cifra è 1, alloran − 1 termina per 0;
— se l’ultima cifra è 2, alloran2+ 1 termina per 5;
— se l’ultima cifra è 3, alloran2+ 1 termina per 0;
— se l’ultima cifra è 4, alloran + 1 termina per 5;
— se l’ultima cifra è 5 non ci sono problemi;
— se l’ultima cifra è 6, alloran − 1 termina per 5;
— se l’ultima cifra è 7, alloran2+ 1 termina per 0;
— se l’ultima cifra è 8, alloran2+ 1 termina per 5;
— se l’ultima cifra è 9, alloran2+ 1 termina per 0.
Si può notare che questo problema implica chen ed n5terminano sempre con la stessa cifra.
Esercizio 2.10. Provare che, per ogni coppia di reali a e b non nulli, 1
a + b 6= 1 a+ 1
b .
Risoluzione. Supponiamo per assurdo che, nella formula precedente, valga il segno di uguale. Si avrebbe allora:
1 a + b = 1
a+ 1
b ⇒ 1
a + b = b + a
ab ⇒ ab = (a + b)2,
da cui si dedurrebbe, intanto, chea e b devono essere concordi (perché il loro prodotto è positivo). Si avrebbe poia2+ b2= −ab che è assurdo perché il primo membro è positivo mentre il secondo deve essere negativo.
Esercizio 2.11. Si dimostri che il prodotto di tre naturali consecutivi, maggiori di 1, non può essere il cubo di un naturale.
Risoluzione. Sia n ∈ N e supponiamo per assurdo che ∃m ∈ N tale che n(n + 1)(n + 2) = m3.
Da qui si traem3= n3+ 3n2+ 2n > n3, da cuim > n. Inoltre m3= n3+ 3n2+ 2n = n3+ 3n2+ 3n + 1− n −1 = (n +1)3−(n +1) < (n +1)3, da cuim < n +1. Ma questo è assurdo perché non esiste nessun naturale compreso tran e n + 1.
Esercizio 2.12. Provare che
a =Æ3 2 +p
5 +Æ3 2 −p
5 = 1.
Risoluzione. Calcoliamo a3. Si ha a3= 2 +p
5 + 3q3 (2 +p
5)2(2 −p
5) + 3q3 (2 +p
5)(2 −p
5)2+ 2 −p 5 =
= 4 + 33 q
(2 +p
5)(2 +p
5)(2 −p
5) + 3q3 (2 +p
5)(2 −p
5)(2 −p 5) =
= 4 + 33 q
(2 +p
5)(−1) +q3
(−1)(2 −p
5) = 4 − 3Æ3 2 +p
5 +Æ3 2 −p
5
= 4 − 3a . Dunque il numeroa soddisfa la condizione a3+ 3a − 4 = 0, equivalente a (scomposizione con Ruffini) (a − 1)(a2+ a + 4) = 0. Da qui si ricava che può essere solo a = 1.
Matematica di base - 1 2.6. Esercizi
Esercizio 2.13. Semplificare fin dove possibile l’espressione p3
4 +2 −p3
−2 p3
4 p3
−2.
Risoluzione. Si ha p3
4 +2 −p3
−2 p3
4 p3
−2 = p3
16 + 2p3
−2 −p3 4 p3
4 = 2p3
2 + 2p3
−2 −p3 4 p3
4 = −1.
Esercizio 2.14. Si verifichi che i numeri p3
4 +p3 6 +p3
9 e p3 3 +p3
−2 sono reciproci.
Risoluzione. Basta provare che il prodotto vale 1. Si ha
p3 4 +p3
6 +p3 9 p3
3 +p3
−2
=p3 12 −p3
8 +HHH p3
18 −p3 12 +p3
27 −HHH p3
18 = −2 + 3 = 1.
Esercizio 2.15. Si esprima il numero p 5 +p
3 come radicale doppio.
Risoluzione. Si deve avere p5 +p
3 =Æ a +p
b = v u ta +p
a2− b
2 +
v u ta −p
a2− b
2 .
Basterà che
5 =a +p a2− b
2 e 3 =a −p
a2− b
2 ,
ovvero
10 = a +p a2− b 6 = a −p
a2− b ⇒
p
a2− b = 10 − a
pa2− b = a − 6 ⇒ 10 − a = a − 6 ⇒ a = 8 ⇒ b = 60.
Esercizio 2.16. Senza l’uso della calcolatrice si provi che i seguenti numeri irrazionali hanno la stessa parte decimale (sequenza di cifre dopo la virgola)
p5 + 1
2 e
p5 − 1
2 .
Risoluzione. I due numeri possono essere scritti nella forma:
s5 4+1
2= s5
4+ 0, 5 e s5
4−1 2=
s5 4− 0,5.
Ora è chiaro che, qualunque sia l’espressione decimale del primo numero in questi addendi, le cifre dalla seconda in poi dopo la virgola non sono influenzate dalla somma o differenza. Rimane solo da valutare la prima cifra dopo la virgola. Si vede facilmente che, qualunque sia questa prima cifra per il primo addendo, sommandoci o sottraendoci 5 si ottiene, dopo la virgola, la stessa cifra.
Esercizio 2.17. Si provi che i numeri
n 37,
dove n non è un multiplo di 37, hanno tutti il periodo costituito da sole tre cifre.
Risoluzione. Il motivo è dovuto al fatto che n
37= 27n 999,
e basta ricordare la regola per la frazione generatrice di un decimale periodico per concludere. Tra l’altro questo fatto implica la curiosa circostanza che
1 27= 37
999= 0.037 e 1 37= 27
999= 0.027 . Esercizio 2.18. La scrittura
0.7775777
rappresenta un decimale periodico semplice o misto? E qual è il periodo del numero?
Risoluzione. La scrittura citata non rispetta le regole indicate per la scrittura dei decimali periodici.
Espandendola si trova infatti
0.7775777 = 0.77757775777577757775777... , da cui si capisce subito che la scrittura corretta è
0.7775,
e che il numero è decimale periodico semplice. In ogni caso applicando la regola per la frazione generatrice si ottiene, con entrambe le scritture,
7775 9999,
da cui si capisce ancora meglio che si tratta di un decimale periodico semplice.