I numeri reali

Matematica di base - 1 2.5. I numeri reali Otteniamo come risultato −34.6192, cioè un valore completamente inaccettabile! Usando una migliore approssimazione avremmo ottenuto un risultato migliore, ma aumentando il numero di ripetizioni avremmo comunque ottenuto un valore sballato.

Si deve sempre tenere conto di questi fatti quando si opera con gli allineamenti decimali.

estremo superiore. Non possiamo ulteriormente insistere su questa cruciale proprietà (sarà compito dei corsi universitari farlo): rimarchiamo solo che è in conseguenza di essa, sostanzialmente, che l’equazione x²= 2 ha soluzioni in R, mentre non ne aveva in Q. Anzi, in R si ha che non solo la citata equazione di secondo grado ha soluzione, ma che ha soluzione anche ogni equazione del tipo

(2.12) xⁿ= a, n ∈ N, n ≥ 2, a ∈ R, a ≥ 0 .

L’insieme R ha anche un’altra importante proprietà, e precisamente quella di essere un corpo archime-deo; questo significa precisamente che, dati due reali a > 0 e b > a, esiste un multiplo di a che supera b:

si tratta di una proprietà apparentemente intuitiva, ma che non tutti i corpi ordinati hanno. Anche su questo, comunque, non insistiamo oltre.

Per quanto riguarda la “quantità di elementi” appartenenti ad R, ricordiamo che abbiamo già provato, nella pagina28, che l’insieme dei reali è più numeroso dell’insieme dei naturali e quindi anche dell’insieme dei razionali, in quanto abbiamo anche provato, vedi il teorema2.13nella pagina49, che i razionali hanno la stessa cardinalità dei naturali: l’insieme dei reali è dunque decisamente “più ricco” di quello dei razionali.

Avendo introdotto l’insieme dei reali come insieme di tutti gli allineamenti decimali (possiamo escludere quelli con periodo 9, per evitare duplicati), possiamo pensarlo come l’unione tra i decimali finiti o periodici (che corrispondono ai razionali) e i decimali illimitati non periodici: questi ultimi si chiamanoreali irrazionali o semplicemente irrazionali. Se li indichiamo con I, possiamo dire che R= Q + I, con Q ∩ I = ;. L’insieme degli irrazionali è strutturalmente poco importante perché, come vedremo subito, la somma e il prodotto di due irrazionali può non essere irrazionale. Quanto abbiamo sopra osservato sulla cardinalità ha come conseguenza che gli irrazionali hanno cardinalità più grande di ℵ₀: la quasi totalità dei reali è irrazionale!

Anche con le poche cose finora dette possiamo provare le seguenti proprietà dei reali.

— La somma tra due irrazionali può benissimo essere razionale. Per un esempio basta considerare i numeria = 2.α₁α₂... eb = −1.α₁α₂... (dove abbiamo supposto che gli allineamenti decimali siano illimitati non periodici e che le cifre dopo la virgola siano identiche). È evidente che, mentre a, b ∈ I, a + b = 1 ∈ Q.

— Il prodotto tra due irrazionali può essere razionale. Per un esempio basta considerare l’allineamento decimale illimitato non periodico originato dal risolvere l’equazionex²= 2: moltiplicandolo per se stesso si ottiene naturalmente 2, che è un razionale.

— La somma tra un razionale e un irrazionale è sicuramente irrazionale. Se infatti prendendor ∈ Q ei ∈ I si avesse r + i = s ∈ Q, si avrebbe i = s − r ∈ Q (perché Q è chiuso rispetto all’addizione) ma questo è contro l’ipotesi.

— Il prodotto tra un razionale e un irrazionale è sicuramente irrazionale. Se infatti prendendor ∈ Q ei ∈ I si avesse r ·i = s ∈ Q, si avrebbe i =^s/r∈ Q (perché Q è chiuso rispetto alla moltiplicazione) ma questo è contro l’ipotesi.

2.5.2. Ascisse sulla retta

Uno dei risultati più importanti relativi all’introduzione dei reali è il fatto di poter stabilire una corrispondenza biunivoca tra i reali stessi e i punti di una retta, stabilendo quello che si chiama un sistema di ascisse sulla retta stessa, che a questo punto viene chiamata asse delle ascisse. Sostanzialmente

Matematica di base - 1 2.5. I numeri reali si procede nel seguente modo: su una retta rsi fissa un puntoO, dettoorigine e un puntoU. Se si assume la lunghezza del segmentoOUcome unità di misura, ad esso si può far corrispondere il numero reale 1; ad ogni altro puntoPdella semirettaOUsi può far corrispondere il numero reale positivo che rappresenta la lunghezza del segmentoOP; ad ogni puntoPdell’altra semiretta di origineOsi può far corrispondere l’opposto del numero che rappresenta la lunghezza del segmentoOP. In questo modo si viene ad associare ad ogni numero reale uno e un sol punto della retta su cui si sia fissato il sistema di ascisse, e viceversa, potendo addirittura identificare i numeri reali con i punti della retta stessa: in molti contesti si parla addirittura (e anche noi lo faremo spesso) di “punti” come sinonimo di “numeri reali”.

Si parla spesso diretta reale per intendere l’insieme dei numeri reali, che è comunemente immaginato proprio come una retta orientata.

È interessante osservare che l’introduzione dei numeri reali consente di risolvere quello che, a livello intuitivo, può sembrare un paradosso. Consideriamo infatti la costruzione della figura2.2, doveOUAB è un quadrato.

−3 −2 −1 0 1 2 3

O U

A B

P

Figura 2.2.:Intersezione tra retta e circonferenza

Senza i numeri reali dovremmo concludere che non esiste intersezione tra l’asse delle ascisse e la circonferenza di centroOe passante perA: infatti il puntoP(cioè uno dei punti “candidati” ad essere di intersezione tra retta e circonferenza) deve avere come ascissa un numero il cui quadrato è 2, e ben sappiamo che in Q tale numero non esiste.

2.5.3. Intervalli di numeri reali

Nella retta, segmenti e semirette sono sottoinsiemi importanti. Acquistano quindi importanza i sottoinsiemi di R che loro corrispondono nella rappresentazione dei reali sulla retta. Per semplificare le scritture (e per altri motivi che appariranno chiari trattando il concetto di limite), si usa aggiungere all’insieme dei numeri reali due altri oggetti: −∞ (meno infinito) e +∞ (più infinito). L’insieme così ottenuto si chiamaretta reale estesa e si pone

(2.13) Re= R ∪ { −∞, +∞ } .

Si può prolungare l’ordinamento di R ponendo

(2.14) − ∞ < x < +∞, ∀x ∈ R e − ∞ < +∞.

Non si estendono invece adR le operazioni di addizione e moltiplicazione:e −∞ e +∞ non sono numeri e non possono essere trattati come tali. Nei corsi di analisi si vedrà che non è possibile estendere le operazioni di addizione e moltiplicazione aR mantenendo le proprietà formali.e

Definizione 2.17(Intervalli). Si chiamano intervalli di R tutti i sottoinsiemi I di R che soddisfano alla seguente condizione: se a, b ∈ I, e a ≤ b allora ogni x ∈ R tale che a ≤ x ≤ b appartiene ad I. A parole un sottoinsieme I di R è un intervallo se, non appena contiene due numeri reali, contiene anche tutti i numeri reali compresi tra questi due.

Si può provare⁽⁷⁾che gli intervalli di R sono tutti e soli quelli di seguito elencati, dove a, b ∈ I, e a ≤ b.

1. Intervallidegeneri.

— ;;— { a }, ∀a ∈ R.

2. Intervallilimitati, corrispondenti ai segmenti, con o senza uno o entrambi gli estremi.

— [a, b] = { x ∈ R | a ≤ x ≤ b }: intervallo chiuso, di estremi a e b;

— [a, b[= { x ∈ R | a ≤ x < b }: intervallo aperto a destra, di estremi a e b;

— ]a, b] = { x ∈ R | a < x ≤ b }: intervallo aperto a sinistra, di estremi a e b;

— ]a, b[= { x ∈ R | a < x < b }: intervallo aperto, di estremi a e b.

3. Intervalliillimitati, corrispondenti alle semirette o all’intera retta.

— ] − ∞,a] = { x ∈ R | x ≤ a }: intervallo chiuso inferiormente illimitato;

— ] − ∞,a[= { x ∈ R | x < a }: intervallo aperto inferiormente illimitato;

— [a,+∞[= { x ∈ R | x ≥ a }: intervallo chiuso superiormente illimitato;

— ]a,+∞[= { x ∈ R | x > a }: intervallo aperto superiormente illimitato;

— ] − ∞,+∞[= R: intervallo illimitato.

2.5.4. Valore assoluto

Definizione 2.18(Valore assoluto). Dato un numero reale x, si chiama suo valore assoluto o modulo il numero reale, indicato con abs x o con |x|, definito come segue

(2.15) absx = |x| =

 x, se x ≥ 0;

−x, se x < 0.

Se si fa riferimento alla rappresentazione dei reali sull’asse delle ascisse, |x| rappresenta la distanza del puntox dall’origine. Valgono le seguenti proprietà del valore assoluto.

1. |x + y| ≤ |x| + |y| (detta anche disuguaglianza triangolare);

2. |x − y| ≥ |x| − |y|; 3. |x · y| = |x| · |y|;

4.

     x y     

=|x|

|y|, cony 6= 0.

Esempio 2.15. | − 5| = +5; | + 8| = +8|; x²

= x²; |x|²= x².

7La cosa è intuitivamente evidente, ma è più profonda di quanto si pensi. Una dimostrazione si può vedere in [4].

Matematica di base - 1 2.5. I numeri reali

2.5.5. I radicali

Abbiamo già detto che, in R, ogni equazione del tipo

(2.16) xⁿ= a, n ∈ N, n ≥ 2, a ∈ R, a ≥ 0

ha soluzioni. Precisamente essa ha

— 2 soluzioni opposte, nel caso din pari;

— 1 una sola soluzione positiva, nel caso din dispari.

Si dà la seguente definizione.

Definizione 2.19(Radice aritmetica). L’unica soluzione positiva dell’equazione (2.16)si chiama radice n-esima aritmetica o radicale n-esimo aritmetico del numero reale positivo a e si indica con

(2.17) pⁿ

a . Il numero n si dice indice del radicale, il numero a radicando.

Si noti che la definizione appena data significa che sea è un reale ≥ 0 e n è un naturale ≥ 2, si ha:

(2.18) pⁿ

a
ⁿ= a .

Sen = 2 si scrive semplicementepa, senza l’indicazione dell’indice, e la radice si dice radice quadrata.

Sen = 3 la radice si chiama radice cubica. Se nell’equazione (2.16) fossen = 1 non ci sarebbe alcun problema nel risolverla, per qualunque valore del reale. Per questo motivo i radicali devono avere indice almeno 2.

Osservazione 2.20. Si noti che, parlando di radicale, non è escluso che il radicando sia un numero reale:

nell’equazione (2.16)a può essere un qualunque numero positivo. Tuttavia, nelle applicazioni, hanno interesse solo i radicali con radicando razionale se non addirittura intero: per questo di solito si usa il nome di radicale solo in presenza di radicando razionale, e noi ci atterremo a questa consuetudine.

Anche l’equazione

(2.19) xⁿ= a, n ∈ N, n dispari ≥ 3, a ∈ R, a < 0

ha un’unica soluzione, negativa. Purtroppo per quest’unica soluzione negativa si adotta la stessa simbologia già adottata per l’unica soluzione positiva dell’equazione (2.16), cioè si usa ancora la scrittura

pn

a ,

solo che si parla diradicale algebrico anziché di radicale aritmetico. Il fatto che si usi lo stesso simbolo può essere fonte di equivoci e portare a grossolani errori. Bisogna prestare la massima attenzione.

Osservazione 2.21. Trattando l’equazione x²= 2, che è un caso particolare dell’equazione (2.16), abbiamo detto che la sua soluzione è costituita da un allineamento decimale illimitato e non periodico che inizia con 1.41421.... Perché allora abbiamo voluto introdurre un nuovo simbolo, cioèp

2, per questa stessa soluzione? La scelta è dettata da vari fattori.

— L’introduzione dei radicali ci consente di avere un simbolo “universale”, adatto a tutte le equazioni del tipo (2.16), per qualunque radicando e qualunque indice.

— L’uso dei radicali ci consente di capire immediatamente di quale equazione un certo radicale è soluzione.

— L’uso dei radicali consente di evitare, almeno entro certi limiti, i calcoli con gli allineamenti decimali. Il problema dei calcoli con gli allineamenti decimali, di cui abbiamo già messo in luce i limiti nel caso degli allineamenti finiti o periodici (vedi la sezione2.4.4, nella pagina57), diventa ancora più complesso nel caso degli allineamenti illimitati non periodici. Per capirlo basta considerare il semplice esempio che segue. Mentre

€p 2Š₁₀

=€p 2Š₂₅

= 2⁵= 32 , se approssimiamop

2 con 1.4 (compiendo un errore di poco più di un centesimo), otteniamo invece

(1.4)¹⁰= 28.9254654976 ,

con un errore enorme. Torneremo ancora su questo problema con l’osservazione2.22, nella pagina69.

Per isoli radicali aritmetici valgono le proprietà seguenti, che in sostanza spiegano come si opera con i radicali. Alcune modifiche saranno necessarie per poter operare in maniera simile con radicali algebrici. È molto importante ricordare che le proprietà elencate valgono solo per i radicali aritmetici:

lo evidenzieremo segnalando sempre che i radicandi dovranno essere reali ≥ 0.

Proprietà invariantiva dei radicali

Sea ≥ 0 è un reale e n, m, k sono naturali maggiori o uguali a 2, si ha:

(2.20) pⁿ

a^m= ^knpa^{k m}.

Questa proprietà consente diridurre più radicali allo stesso indice. Per esempio i radicali p3

5, p⁴ 7, p⁶

11

possono essere trasformati in radicali con indice il minimo comune multiplo degli indici:

12p

5⁴, ¹²p

7³, ¹²p 11².

Letta da destra a sinistra questa stessa proprietà consente disemplificare un radicale per un divisore comune del suo indice e dell’esponente del radicando. Si ha, per esempio,

15p

7¹²=p⁵

7⁴, p⁸ 64 =p⁸

2⁶=p⁴ 2³. Si noti, in particolare, che

(2.21) pⁿ

a^mn= a^m.

Matematica di base - 1 2.5. I numeri reali

Prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice Sea ≥ 0 e b ≥ 0 sono reali, e n è un naturale ≥ 2, si ha

(2.22) pⁿ

a ·pⁿ

b =pa · b.ⁿ Sea ≥ 0 e b > 0 sono reali, e n è un naturale ≥ 2, si ha

(2.23) Èⁿ a

b = pn a pn

b.

Se i radicali non hanno lo stesso indice, il prodotto o il quoziente si possono eseguire dopo averli ridotti allo stesso indice. Si ha, per esempio,

p3

5 ·p³ 7 =p³

35, p³ 5 ·p⁴

7 ·p⁶

11 = ¹²p 5⁴· ¹²p

7³· ¹²p

11²= ¹²p5⁴× 7³× 11². Potenza e radice di un radicale

Sea è un reale ≥ 0, n è un naturale ≥ 2, e m è un intero, si ha

(2.24) €p_n

aŠ_m

= pⁿ a^m. Sea è un reale ≥ 0, n ed m sono naturali ≥ 2, si ha

(2.25) ^mÆ

pn

a = ^nmpa . Portare dentro e fuori dal segno di radice

Utilizzando le proprietà precedenti si possono eseguire anche le seguenti due operazioni, di uso molto frequente, che consistono nel portare un fattorepositivo dentro o fuori dal segno di radice.

(2.26) Sea ≥ 0 allora apⁿ

b =pa^{n n}· b , e inoltre pa^{n mn}· b = a^mpⁿ b . Esempio 2.16. 3p⁴

5 =p⁴

3⁴× 5 =p⁴ 405 . Esempio 2.17. −2p³

4 = −p³

2³× 4 = −p³ 32 . Esempio 2.18. apⁿ

b =

¨ pn

aⁿ· b, se a ≥ 0;

−pⁿ

aⁿ· b, se a < 0.

Esempio 2.19. p³

20000 =p³

2⁵× 5⁴= 2 × 5 ×p³

2²× 5 = 10p³ 20 . Il problema della somma di radicali

Poiché, come abbiamo visto,

apⁿ

b =pa^{n n}· b , se a ≥ 0, si estende la denominazione diradicale anche alle espressioni del tipo apⁿ

b. A questo punto due radicali comeapⁿ

b e cpⁿ

b si dicono simili. È abbastanza evidente che la somma di due radicali simili è ancora un radicale, simile ai due dati:

apⁿ

b + cpⁿ

b = (a + c)pⁿ b .

Per convincersi basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

Possiamo chiederci che cosa si può affermare della somma di due radicali non simili (e che non possano nemmeno essere resi simili mediante applicazioni delle proprietà). Per capire il problema consideriamo

p2 +p 3.

Cominciamo col provare che questo numero non è un razionale. Se infatti esistesse unr ∈ Q tale che p2 +p

3 = r , si avrebbe, elevando al quadrato ambo i membri (positivi)

2 + 3 + 2p

6 = r² ⇒ p

6 = r²− 5 2 ovvero chep

6 è razionale, in quanto ottenuto da razionali con le operazioni elementari. Con la stessa tecnica con cui abbiamo provato (vedi la pagina50) chep

2 è irrazionale, si può provare che anchep 6 lo è, per cui si cade in un assurdo. In maniera simile si può provare che

>r ∈ Q tale che p 2 +p

3 =p r . Più difficile è provare che, ∀ n ∈ N, n > 1,

>r ∈ Q tale che p 2 +p

3 =pⁿ r . Dunque la somma proposta non è un radicale con radicando razionale⁽⁸⁾.

Questa caratteristica della somma di radicali è uno dei fattori che rendono difficile il calcolo con i radicali: mentre la somma e il prodotto di due razionali è ancora un razionale, la somma e il prodotto di due radicali non è detto che sia un radicale, ovvero l’insieme dei radicali non ha nessuna struttura significativa rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione

Avendo introdotto il concetto di radicale, le proprietà relative alla somma e prodotto di razionali e irrazionali, già considerate nella pagina60, si possono verificare ancora più facilmente.

1 −p

2 ∈ I, p

2 ∈ I, ma €1 −p 2Š

+p

2 = 1 ∈ Q.

p3

4 ∈ I, p³

16 ∈ I, ma p³ 4 ·p³

16 =p³

64 = 4 ∈ Q.

Estensione delle proprietà ai radicali algebrici

Le proprietà dei radicali aritmetici possono essere estese, in alcuni casi, anche ai radicali algebrici. A nostro avviso non è opportuno fissare regole: conviene piuttosto esaminare alcuni esempi significativi che mettano in luce le possibili strategie.

p(−3)²=p

3²= 3 = | − 3|;

8È invece ovvio che p

2 +p 3 =Æ

5 + 2p 6

cioè che la somma proposta è un radicale con radicando irrazionale, ma questo fatto è di poco interesse. Si veda in proposito l’osservazione2.20nella pagina63.

Matematica di base - 1 2.5. I numeri reali p(−3)(−4) =p

3 × 4 =p 3p

4 =p| − 3|p| − 4|;

p(−3)²× 5 =p3²× 5 = 3p

5 = | − 3|p 5;

p(−3)6 ⁴=p⁶ 3⁴=p³

3²=p(−3)^{3 2}; p(−3)6 ²=p⁶

3²=p³

3 =p| − 3|.³

Una situazione che merita particolare attenzione è la seguente:

(2.27) p

ab =p|a|Æ|b|,

uguaglianza che è valida da sinistra a destra, ma non necessariamente da destra a sinistra. Si noti infatti che il primo membro ha senso quandoa e b sono concordi, mentre il secondo ha senso qualunque siano a e b. Per esempio

p(−2)(−3) = p| − 2|p| − 3|, mentre p| − 2|p|3| 6=p(−2) × 3.

Un’altra situazione che si presenta spesso negli esercizi, e che bisogna ben tenere presente, è la seguente:

(2.28) p

a²= |a|, ∀a ∈ R.

A proposito della formula (2.28) è opportuno segnalare che, in base alla definizione di radice (in questo caso quadrata), si ha

(2.29) pa
²= a, se a ≥ 0 .

Si noti dunque la differenza tra la (2.28), che vale per ogni realea, e la (2.29), che invece vale solo per i reali ≥ 0: dunque

(2.30) p

a²6=p a2

,

mentre un’errata applicazione delle proprietà dei radicali, e in particolare della formula (2.24), porterebbe a concludere che i due membri della (2.30) sono uguali. Poiché è molto frequente un’errata estensione delle proprietà dei radicali aritmetici ai radicali algebrici, segnaliamo di nuovo che la formula (2.24), come le altre che si riferiscono alle proprietà dei radicali, esprime una proprietà dei radicali aritmetici e dunque è valida solo pera ≥ 0: si ha infatti, correttamente,

(2.31) p

a²=p a2

se, e solo se, a ≥ 0.

In generale, in presenza di radicali in cui la base del radicando sia negativa (oppure sia un parametro che può assumere sia valori positivi che negativi), bisogna controllare che l’applicazione delle proprietà dei radicali non alteri i segni, né modifichi le eventuali condizioni per l’esistenza.

Per concludere queste considerazioni sui radicali proponiamo due esempi molto interessanti che mettono in luce tutte le difficoltà insite nei calcoli relativi.

Esempio 2.20. Si ha px²(x − 1) 6= |x|p

x − 1, in quanto il primo membro ha senso anche per x = 0, mentre il secondo no.

Esempio 2.21. Si ha px²(x + 1) = |x|p

x + 1, in quanto i due membri hanno senso per gli stessi valori dix, ovvero per x ≥ −1.

Radicali doppi

Un’espressione del tipo

Æa ±p b

si chiama unradicale doppio, o radicale quadratico doppio. Vale la seguente identità:

(2.32) Æ

a ±p b =

v u ta +p

a²− b

2 ±

v u ta −p

a²− b

2 ,

che si può provare elevando al quadrato ambo i membri. Se pa²− b

è un numero razionale (cioè sea²− b è un “quadrato perfetto”), allora la (2.32) consente di trasformare il radicale doppio nella somma di due radicali semplici. Per esempio si ha

Æ4 − 2p 3 =Æ

4 −p 12 =p

3 − 1.

Razionalizzazioni

Spesso nelle applicazioni si presentano delle frazioni contenenti al numeratore e/o al denominatore uno o più radicali e, a volte, è più conveniente modificare la frazione in modo che il numeratore e/o il denominatore non contenga radicali: si dice che si è operata unarazionalizzazione. A livello di calcolo algebrico di solito si è interessati a razionalizzare i denominatori (e di questo ci occuperemo negli esempi proposti); nel calcolo di limiti o integrali, per esempio, si è però anche spesso interessati anche alla razionalizzazione di numeratori. Il problema, in generale, è molto difficile se non irresolubile e, a nostro avviso, non vale la pena di cimentarsi in situazioni troppo complesse, che non capitano mai nelle applicazioni: ci limiteremo solo a fornire tre regole, che ci paiono quelle di più frequente uso.

Regola 1

Se il denominatore è del tipo

pn

a^m, con n > m

la razionalizzazione si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per pn

a^n−m.

Si è supposton > m, perché altrimenti il radicale si può semplificare, portando un opportuno termine fuori dalla radice.

Esempio 2.22. 1 p2= 1

p2 p2 p2=

p2 2 . Esempio 2.23. 1

p4

3⁵ = 1 3p⁴

3= 1 3p⁴

3 p4

3³ p4

3³ = p4

3³ 9 .

Matematica di base - 1 2.5. I numeri reali

Regola 2

Se il denominatore è del tipo⁽⁹⁾ p a ±p

b

la razionalizzazione si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per pa ∓p

b Esempio 2.24. 1

p5 +p

3= 1

p5 +p 3

p5 −p p 3

5 −p 3=

p5 −p 3

2 .

Esempio 2.25. 1 2 −p

3= 1

2 −p 3

2 +p 3 2 +p

3= 2 +p 3 . Regola 3

Se il denominatore è del tipo

p3

a ±p³ b

la razionalizzazione si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per p3

a²∓pab +³ p³ b². Esempio 2.26. 1

1 −p³

2= 1

1 −p³ 2

1 +p³ 2 +p³

4 1 +p³

2 +p³

4= 1 +p³ 2 +p³

4

1 − 2 = −€1 +p³

2 +p³ 4Š .

Osservazione 2.22. Per giustificare l’importanza del calcolo con i radicali, di cui abbiamo già discusso nell’osservazione 2.21 nella pagina 63, proponiamo un interessante esempio delle difficoltà che si possono presentare eseguendo i calcoli con gli allineamenti decimali (che necessariamente devono essere approssimati quando intervengono gli irrazionali).

Si considerino le seguenti 7 espressioni:

1:

‚p 2 − 1 p2 + 1

Œ₃

, 2: €p 2 − 1Š₆

, 3: €3 − 2p 2Š₃

, 4: €5p 2 − 7Š₂

, 5: 99 − 70p

2, 6: 1

€p

2 + 1Š₆, 1 99 + 70p

2, tutte esprimenti lo stesso numero reale, come si può provare usando le proprietà dei radicali, e come si può “stimare” usando un buon software di calcolo (dove si ottiene, per ciascuna delle espressioni, 0.005050633883...). Se approssimiamop

2 con 1,4, compiendo un errore di poco più di un centesimo, si ottengono, nell’ordine, i seguenti risultati (arrotondati alla sesta cifra dopo la virgola):

0,00463; 0,004096; 0,008; 0; 1; 0,005233; 0,005076.

Come si vede alcune espressioni riducono addirittura l’errore sul dato, altre lo amplificano enormemente.

9Sia nella regola 2 che nella regola 3 si applicano alcuni “prodotti notevoli” di cui parleremo in seguito, ma che dovrebbero essere noti dalla scuola secondaria, precisamente quelli relativi alla differenza di quadrati o alla differenza di cubi.

2.5.6. Altri numeri reali

L’introduzione dei radicali e l’uso delle operazioni con essi ci permette di costruire molti numeri irrazionali. A questo punto potremmo chiederci: tutti i numeri irrazionali possono essere costruiti a partire dai radicali? La risposta è no! Anzi si potrebbe dimostrare che l’insieme di tutti i numeri che si possono costruire usando i radicali e le operazioni con essi (i numeri così costruiti fanno parte dell’insieme dei cosiddettiirrazionali algebrici) costituiscono ancora un insieme con cardinalità ℵ₀(cioè un insieme numerabile): devono dunque esistere altri numeri reali, se sappiamo che l’insieme dei reali è non numerabile.

Non intendiamo esplorare ulteriormente questo terreno (minato!), e segnaliamo solo che, per esempio, π (cioè il rapporto tra una qualunque circonferenza e il suo diametro) così come il numero di Nepero,

“e”,non sono numeri irrazionali algebrici e fanno invece parte dell’insieme degli irrazionali trascendenti (che, sulla base di quanto detto, deve contenere un’infinità non numerabile di reali, cioè, “la quasi totalità”

dei reali).

2.5.7. Potenze nei reali

Il concetto di potenza con esponente intero può essere esteso anche al caso di basi reali senza alcun cambiamento, né nella definizione, né nelle proprietà. L’introduzione dei radicali consente di estendere questo concetto anche al caso diesponenti razionali, con la seguente definizione:

Definizione 2.23. Sia a ∈ R, a > 0 e ^m_n un numero razionale diverso da zero, con n > 1, allora

(2.33) a^m/n= pⁿ

a^m. Se poi r > 0 è un razionale, si pone 0^r= 0.

Si noti che la definizione (2.33)non si applica al caso di basi negative: il motivo è legato al fatto che l’estensione a basi negative comporterebbe difficoltà insormontabili. Citiamo qui solo un esempio di problema che potrebbe porsi, rinviando una trattazione più completa al capitolo7sulle potenze.

Esempio 2.27. Poiché¹/³=²/⁶, se la definizione (2.33) si applicasse a basi negative, potrei avere la seguente catena di uguaglianze:

−1 =p³

−1 = (−1)^1/3= (−1)^2/6=p(−1)^{6 2}=p⁶ 1 = 1, ovvero −1 = 1!

Il concetto di potenza si può poi estendere anche al caso di esponenti reali irrazionali: purtroppo la definizione è complessa e ne faremo solo un cenno nel capitolo7sulle potenze. Quello che ci preme segnalare fin da subito è che tutte le estensioni del concetto di potenza, in modo da comprendere esponenti via via più generali, è fatta con uno sguardo preciso alle proprietà (2.4): l’estensione viene fatta in modo da mantenere intatte proprio le proprietà formali delle potenze con esponente naturale.

2.5.8. Verso i numeri complessi

L’introduzione dei numeri reali risolve tutti i problemi che abbiamo via via incontrato e mette a disposizione un insieme numerico dotato di notevoli proprietà. Rimane ancora un problema: l’equazione

x²+ 1 = 0

Matematica di base - 1 2.6. Esercizi non si lascia proprio trattare, cioè non ha soluzioni nemmeno in R. In realtà la richiesta che essa abbia soluzioni è proprio strana, in quanto richiede di trovare un numero il cui quadrato sia negativo e questo è un problema decisamente più complesso rispetto a quelli finora incontrati. La ricerca però di un insieme numerico che sia un’estensione dei reali e in cui un’equazione come questa abbia soluzioni ha successo e anzi permette di costruire un insieme che ha molte straordinarie proprietà: l’insieme dei numericomplessi. Ci occuperemo brevemente di questo insieme numerico solo nella parte seconda, in quanto normalmente non compreso nei programmi dei corsi di scuola secondaria.

Nel documento MATEMATICA DI BASE (pagine 87-99)