5. Equazioni e sistemi
5.2. Equazioni e sistemi in più incognite
Matematica di base - 1 5.2. Equazioni e sistemi in più incognite
esse siano presenti con coefficiente 0. Per questo è bene che sia sempre precisato il numero di incognite di un sistema.
Esempio 5.30. Sia dato il sistema in tre incognite
x + y = 0 2x − y + z = 0 y + 3z = 1 :
nella prima e nella terza equazione si può sempre pensare che compaiano anche laz e la x rispettivamente, con coefficiente nullo.
x + y + 0z = 0 2x − y + z = 0 0x + y + 3z = 1
Una delle tecniche più importanti per la risoluzione di un sistema si basa sull’uso delle combinazioni lineari: se a ciascuna equazione di un sistema si sostituisce una combinazione lineare, con almeno un coefficiente non nullo, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
5.2.1. Sistemi lineari
Come già osservato, un sistema lineare è tutto costituito da equazioni di primo grado. Esso si dice in forma normale se in ciascuna delle equazioni le incognite compaiono a primo membro, mentre gli eventuali termini noti compaiono a secondo membro. Il sistema dell’esempio precedente è in forma normale. Esistono tecniche standard per risolvere i sistemi lineari, che saranno studiate in dettaglio nei corsi universitari. Qui accenniamo solo alle più importanti.
Il metodo di sostituzione
Questa tecnica, applicabile, come vedremo, anche a sistemi di grado superiore, prevede di “ricavare”
un’incognita da una delle equazioni per poi “sostituirla” nelle altre, ottenendo così un sistema con un minor numero di incognite. Illustriamo il metodo con un esempio.
Esempio 5.31. Per risolvere il sistema in tre incognite
2x + y − 3z = −12 x − 2y + z = −1 x + 3y + z = 9 si può procedere come segue.
y = −2x + 3z − 12
x − 2(−2x + 3z − 12) + z = −1 x + 3(−2x + 3z − 12) + z = 9 ⇒
y = −2x + 3z − 12 x − z = −5
x − 2z = −9 ⇒
y = −2x + 3z − 12 x = z − 5
(z − 5) − 2z = −9 .
Dalla terza equazione dell’ultimo sistema si ricava oraz = 4 che, sostituito nella seconda, porge x = −1;
infine, per sostituzione di questi valori nella prima equazione si trovay = 2. L’unica soluzione di questo sistema è dunque la terna (−1,2,4).
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Può naturalmente succedere che il sistema sia indeterminato, come nell’esempio che segue.
Esempio 5.32. Risolvere il sistema in tre incognite
x + 2y − 3z = −4 2x − 3y + z = −1 3x − y − 2z = −5 ⇒
x = −2y + 3z − 4
2(−2y + 3z − 4) − 3y + z = −1 3(−2y + 3z − 4) − y − 2z = −5 ⇒
x = −2y + 3z − 4
−y + z = 1
−y + z = 1 .
A questo punto la seconda equazione è identica alla terza che dunque può essere eliminata: il sistema si riduce a due sole equazioni. Dalla seconda si ricavay = z −1 che, sostituito nella prima, porge x = z −2.
Il valore diz rimane indeterminato, nel senso che, qualunque sia z, la terna (z − 2, z − 1, z) è soluzione del sistema.
Può anche succedere che il sistema sia irresolubile, come mostra l’esempio che segue.
Esempio 5.33. Risolvere il sistema in tre incognite
x + z = 1 x − 2y + z = 0 x + y + z = 1 ⇒
x + z = 1 x − 2y + z = 0 x + y + z = 1 ⇒
x = 1 − z
1 − z − 2y + z = 0 1 − z + y + z = 1 ⇒
x = 1 − z y =1/2 y = 0
.
L’ultimo sistema non ha palesemente soluzioni, in quanto le seconda e la terza equazione sono incompa-tibili.
Si noti che, nell’applicare il metodo di sostituzione conviene valutare accuratamente da quale equazione partire per ricavare un’incognita e quale incognita ricavare, onde evitare inutili calcoli.
Esempio 5.34. Si debba risolvere il sistema in tre incognite.
2x − 4y + 4z = 1 x + y − 2z = 1 3x + 2y − 4z = 3 .
Conviene ricavarex (andrebbe bene anche y) dalla seconda equazione e sostituire nelle altre due:
x = 1 − y + 2z
−6y + 8z = −1
−y + 2z = 0 .
A questo punto conviene ricavarey dalla terza equazione e sostituire prima nella seconda e, successiva-mente, nella prima. Si ottiene facilmente la terna di soluzioni: (1,1/2,1/4).
Non è affatto detto che il numero di incognite debba essere uguale a quello delle equazioni, anche se questo succede nella maggior parte dei casi a livello elementare.
Esempio 5.35. Risolvere il sistema in tre incognite
3x − y + 6z = 1 6x + 3y + 10z = 3 .
Ricavandoy dalla prima e sostituendo nella seconda si trova
y = 3x + 6z − 1 = 0 15x + 28z = 6 .
A questo punto dalla seconda equazione si può ricavarex in funzione di z e sostituirlo nella prima; si trova
x =6 − 28z
15 , y = 3 + 6z 15 ,
mentre il valore diz rimane arbitrario. Il sistema ha dunque le seguenti, infinite, terne di soluzioni:
6 − 28z
15 , 3 + 6z 15 ,z
, ∀z ∈ R.
Se si fosse invece ricavato z in funzione di x si sarebbero trovate le seguenti, infinite terne di soluzioni:
x,4 − 3x
14 , 6 − 15x 28
, ∀x ∈ R.
Anche se le terne sono scritte in forma diversa, i due insiemi di terne coincidono. Per esempio la terna (2/5,1/5,0) si ottiene per z = 0 dalla prima scrittura e per x =2/5dalla seconda.
Esempio 5.36. Risolvere il sistema in due incognite:
7x + 3y = 2 x − 2y = −3 4x + 9y = 11
.
Ricavandox = −3 + 2y dalla seconda equazione e sostituendo nelle altre due si ottiene:
x = −3 + 2y 17y = 23 17y = 23
,
da cui l’unica coppia soluzione: (−5/17,23/17).
Il metodo di Cramer
Il metodo di sostituzione, soprattutto per sistemi con poche equazioni, è efficiente e rapido e, a nostro avviso, vale la pena di applicarlo sempre. Accenniamo tuttavia al metodo di Cramer, limitatamente al caso di due equazioni in due incognite, perché diventa importante per sistemi più grandi, come si apprenderà nei successivi corsi universitari, e come vedremo anche nel capitolo15della seconda parte.
Occorre premettere alcune definizioni.
Definizione 5.6(Matrice quadrata di ordine due e suo determinante). Dati quattro numeri reali a, b, c, d si chiama matrice quadrata di ordine 2 la tabella
(5.8)
a b c d
.
Matematica di base - 1 5.2. Equazioni e sistemi in più incognite
Si chiama determinante della matrice (5.8)il numero ad − b c, che si indica con (5.9)
a b c d
. Vale il seguente teorema.
Teorema 5.7(Regola di Cramer). Sia dato il sistema lineare di due equazioni in due incognite
ax + b y = α c x + d y = β , e poniamo
D =
a b c d
, Dx=
α b β d
, Dy =
a αc β . Allora:
— se D 6= 0 il sistema ha la sola soluzione
x =Dx
D , y = Dy D ;
— se D = Dx= Dy= 0 il sistema è indeterminato;
— se D = 0, ma Dx6= 0 oppure Dy6= 0, il sistema non ha soluzioni.
Metodo delle combinazioni lineari
Anche questo metodo diventa di grande importanza per sistemi con un gran numero di equazioni e di incognite e viene formalizzato nella tecnica della “riduzione a scala” di Gauss. Molto grossolanamente si può dire che l’idea è quella di trasformare il sistema in uno equivalente in cui una equazione contenga una sola incognita, un’altra due, e così via. Senza insistere troppo, proponiamo solo un esempio, segnalando che anche questo argomento sarà approfondito nei successivi corsi universitari e sommariamente trattato anche nel capitolo15della seconda parte.
Esempio 5.37. Sia dato il sistema in tre incognite
2x + y − z = 1 x + y + z = 0 2x + y + 2z = 2 .
Se sostituiamo la seconda equazione con la somma tra la prima e la seconda moltiplicata per −2 e successivamente la terza con la differenza tra la prima e la terza otteniamo il sistema equivalente:
2x + y − z = 1
−y − 3z = 1
−3z = −1 .
Da qui si ricava facilmente la terna di soluzioni (5/3, −2,1/3).
Esistono anche altre tecniche per risolvere i sistemi lineari, ma non ci pare opportuno insistere ulteriormente: la tecnica di sostituzione, nei casi di poche equazioni, funziona sempre ed è, a nostro avviso, da preferire.
Come già per le equazioni, qualche attenzione in più andrà posta nel caso di sistemi i cui coefficienti siano letterali. Proponiamo un esempio per chiarire il metodo.
Esempio 5.38. Risolvere il sistema nelle incognite(2)x, y, z:
ax + b y − 2z = 0 ax + z = 2
2ax − b y = 1 .
Sea = b = 0 dalla terza equazione si ricava 0 = 1, dal che si deduce che il sistema non ha soluzioni. Se a = 0 ∧ b 6= 0, dalla seconda equazione si ricava z = 2, successivamente dalla prima y =4/bche non è compatibile con la terza: il sistema non ha soluzioni. Sea 6= 0 ∧ b = 0 dalla terza equazione si ricava x =1/2a, successivamente dalla seconda z =3/4che non è compatibile con la prima: il sistema non ha soluzioni. Se si supponea 6= 0 ∧ b 6= 0, si ottiene, partendo dalla seconda equazione e sostituendo nella terza e infine nella prima:
ax = 2 − z
b y = 2ax − 1 = 3 − 2z 2 − z + 3 − 2z − 2z = 0 . Dunquez = 1, x =1/a,y =1/b.
5.2.2. Sistemi di grado superiore al primo
Un sistema di secondo grado deve comprendere una sola equazione di secondo grado e le altre di primo grado. La tecnica normale di soluzione è quella di ricavare una o più incognite dalle equazioni di primo grado per poi sostituirle in quella di secondo che, nei casi di interesse, diventa un’equazione di secondo grado in una incognita, risolubile con la nota formula. Proponiamo un esempio nel caso di due equazioni in due incognite (è il caso di maggior interesse a livello di questo testo).
Esempio 5.39. Risolvere il sistema
x − 2y = 1 x2+ y2= 2 ⇒
x = 2y + 1
(2y + 1)2+ y2= 2 ⇒
x = 2y + 1
5y2+ 4y − 1 = 0 .
Dalla seconda equazione si ricavano due valori perx che sostituiti nella prima porgono due valori per x.
Si ottengono due coppie di soluzioni: (−1,−1) e (7/5,1/5).
Per i sistemi di grado superiore al secondo non esistono tecniche specifiche ed occorre analizzare caso per caso: di solito la loro risoluzione è abbastanza complessa. Faremo solo qualche esempio, senza pretendere di essere esaustivi (cosa che, del resto, sarebbe impossibile).
2Abitualmente in un sistema le letterex, y, x, t sono riservato alle incognite, le prime lettere dell’alfabeto ai cosidetti parametri, ma non è sempre così e sarebbe quindi sempre opportuno precisare quali sono le incognite, in caso di sistemi con coefficienti letterali.
Matematica di base - 1 5.2. Equazioni e sistemi in più incognite
Esempio 5.40. Risolvere il sistema in due incognite
x + y = 1 x3+ y3= 7 .
Essendox3+ y3= (x + y)(x2− xy + y2), si può riscrivere il sistema nella forma
x + y = 1
x2− xy + y2= 7 ,
che è di secondo grado e si può risolvere per sostituzione. Si può, alternativamente, osservare che x2+ y2= (x + y)2− 2xy; la seconda equazione diventa allora (x + y)2− 3xy = 7 e, tenendo di nuovo conto della prima xy = −2. Si potrebbe di nuovo operare per sostituzione, oppure osservare che, a questo punto, il sistema richiede di trovare due numeri reali che hanno per somma 1 e per prodotto −2.
Tenendo conto della formula (5.6) nella pagina137si trova subito che si hanno due coppie soluzioni (−1, 2) e (2, −1).
Esempio 5.41. Risolvere il sistema in due incognite
x2+ 3xy = −2 y2− xy = 3 .
Sostituendo alla prima equazione la somma tra la prima e la seconda si ottiene il sistema equivalente
x2+ y2+ 2xy = 1
y2− xy = 3 ⇒
(x + y)2= 1 y2− xy = 3 ⇒
x + y = ±1 y2− xy = 3 .
Il sistema si spezza allora in due sistemi di secondo grado risolubili con la tecnica di sostituzione. Si ottengono le 4 coppie di soluzioni:
(−2, 1), (2, −1),
1 2, −3
2
,
−1 2, 3
2
. Esempio 5.42. Risolvere il sistema in tre incognite:
x2+ y2+ z2= 14 z2+ 2xy = −11 x + y = 1
.
Sottraendo la seconda equazione dalla prima, si ottiene: x2+ y2− 2xy = 25, ovvero (x − y)2= 25, da cuix − y = ±5. Il sistema si spezza allora nei due sistemi:
x − y = 5 x + y = 1 z2+ 2xy = −11
e
x − y = −5 x + y = 1 z2+ 2xy = −11
.
La risoluzione è ora immediata; si ottengono le quattro terne di soluzioni (3, −2, 1), (3, −2, −1), (−2, 3, 1), (−2, 3, −1).