6. Disequazioni
6.6. Le funzioni irrazionali
Si chiamano irrazionali quelle funzioni in cui la variabile figura sotto il segno di radice. Per esempio è irrazionale f (x) =p
x + 2, non è irrazionale f (x) =p 2x +p
3 (si tratta di un binomio di primo grado).
Noi ci occuperemo in questo capitolo solo di funzioni irrazionali il cui radicando sia una funzione
3Naturalmente bisogna evitare qualunque semplificazione che possa modificare il dominio. Per esempio se è data la disequa-zionex2+ x/x> 0 e si semplifica il primo membro fino a ottenere x + 1 > 0, si conclude con x > −1, che è errato, in quanto 0 non fa parte del dominio e va escluso.
razionale, intera o fratta. Tuttavia le tecniche che useremo rimangono valide anche per altri tipi di funzioni irrazionali.
È importante mettere subito in evidenza il fatto chenon esistono regole generali per risolvere le disequazioni irrazionali o per trovare il segno di funzioni irrazionali. In molti testi sono proposte alcune regole che si applicano in casi semplici, e che riporteremo in seguito solo per ragioni di completezza:
tuttavia, a nostro avviso, non vale la pena di memorizzare queste regole o altre simili, proprio perché di applicazione limitata (e anche perché di difficile memorizzazione). Consiglieremo una strategia che funziona sempre, anche se, lo ripetiamo, non è possibile garantire in ogni caso la risolubilità di questo tipo di problemi coinvolgenti le funzioni irrazionali.
6.6.1. Disequazioni irrazionali - la via algebrica
La strategia risolutiva si basa sull’idea di trasformare la disequazione irrazionale in un’altra, ad essa equivalente, e che sia razionale, da risolvere con i metodi già considerati. Per fare questo occorrerà, di norma, elevare ambo i membri ad una opportuna potenza. Purtroppo, come già osservato, l’elevazione a potenza pari non è in genere consentita: bisognerà valutare caso per caso. Inoltre l’elevazione a potenza può complicare il problema anziché risolverlo. Chiariamo questo fatto con un esempio.
Esempio 6.12. Sia data la disequazione px − 2 > x. Se, dopo avere trovato il dominio ( cioè x ≥ 0) si eleva al quadrato (trascurando, per il momento, i problemi connessi con questa operazione) si ottiene x − 4p
x + 4 > x2, che contiene ancora un radicale ed è più complessa della precedente. Se invece si riscrive la disequazione nella forma px > x + 2 e poi si eleva al quadrato (ancora trascurando, per il momento, i problemi connessi con questa operazione) si ottienex > x2+ 4x + 4, che è di secondo grado e quindi di facile risoluzione
La strategia risolutiva standard
Consigliamo di procedere nel seguente modo.
1. Trovare il dominio.
2. Valutare la miglior forma possibile della disequazione in modo che l’elevazione ad una opportuna potenza semplifichi i calcoli.
3. Se si deve elevare ad una potenza dispari procedere direttamente. Se si deve elevare ad una potenza pari, esaminare il segno dei due membri.
— Se sono entrambi positivi, si può elevare ambo i membri allo stesso esponente pari.
— Se sono entrambi negativi, cambiare il segno e quindi il verso e poi elevare ambo i membri allo stesso esponente pari.
— Se sono uno negativo e uno negativo, si può concludere facilmente (un numero positivo è sempre maggiore di una negativo).
Alcuni esempi chiariranno il metodo.
Esempio 6.13. Risolvere la disequazionep
x2− 9x + 14 − x + 8 > 0.
1. Dominio: x ≤ 2 ∨ x ≥ 7.
2. Chiaramente conviene riscrivere la disequazione nella forma p
x2− 9x + 14 > x − 80: una elevazione al quadrato trasforma la disequazione in una razionale (di secondo grado).
Matematica di base - 1 6.6. Le funzioni irrazionali 3. Consideriamo dunque disequazionep
x2− 9x + 14 > x − 8. Il primo membro, quando ha senso, è sempre maggiore o uguale a 0, il secondo può essere minore di 0 oppure maggiore o uguale a 0:
nel primo caso la disequazione è sicuramente vera, nel secondo caso si può elevare al quadrato. Si dovranno dunque distinguere due casi.
— x −8 < 0, cioè x < 8. In questo caso il primo membro (non negativo) è sicuramente maggiore del secondo, per cui la disequazione è verificata (all’interno del dominio!).
— x − 8 ≥ 0, cioè x ≥ 8. Elevando al quadrato e semplificando si ottiene 7x − 50 > 0. Si può dunque considerare il sistema
x ≥ 8
7x − 50 > 0 , che ha come soluzionex ≥ 8.
Riunendo le soluzioni dei due casi, e tenendo conto del dominio, si trovaS =]−∞,2] ∪ [7,+∞[.
Esempio 6.14. Risolvere la disequazione −p
3 − 2x + 6 + x > 0.
1. Dominiox ≤3/2.
2. Chiaramente non conviene elevare al quadrato direttamente. Si può trasformare in −p
3 − 2x >
−6 − x o, ancora meglio, inp
3 − 2x < 6 + x. La seconda forma è da preferire perché in essa il primo membro, quando ha senso, è sempre positivo.
3. Consideriamo dunque la disequazionep
3 − 2x < 6 + x. Il primo membro, come già osservato, è sempre maggiore o uguale a zero, quando ha senso; il secondo può essere < 0, oppure ≥ 0. Se < 0 la disequazione non è certamente vera. Si può dunque considerare un unico caso:
— 6 + x ≥ 0. Elevando al quadrato e semplificando si ottiene x2+ 14x + 33 > 0. Si può considerare il sistema(4)
x + 6 ≥ 0
x2+ 14x + 33 > 0 , che ha come soluzionex > −3.
Tenendo conto del dominio, si trova l’insieme di soluzioniS =] − 3,3/2].
Esempio 6.15. Risolvere la disequazionep x +p
x − 2 >p x − 1.
1. Per il dominio si devono imporre le tre condizioni seguenti:
x − 2 ≥ 0 x +p
x − 2 ≥ 0
x − 1 ≥ 0 .
Per risolvere questo sistema, anziché partire subito con i calcoli, conviene osservare che dalla prima si ottienex > 2; quindi la seconda disequazione è la somma tra un numero ≥ 2 e un numero
4Alcuni testi pretendono che si ripeta la condizione trovata per il dominio ad ogni passaggio: anche se la cosa è naturalmente corretta, la riteniamo un’inutile perdita di tempo: basta tenerne conto al momento opportuno, e non scrivere cose errate:
in questo esempio la disequazionenon è equivalente al sistema che abbiamo scritto, ma la risoluzione del sistema, tenendo conto del dominio, consente comunque di risolvere la disequazione. È per questo che abbiamo scritto: “si può considerare il sistema” e non “la disequazione è equivalente al sistema”. Ma forse stiamo troppo cercando il pelo nell’uovo!
≥ 0, per cui è sicuramente vera; se poi x ≥ 2 anche la terza disequazione è vera. Dunque il dominio èx ≥ 2.
2. Quando i due membri hanno senso essi sono positivi e l’elevazione al quadrato semplifica la disequazione, dunque la forma scritta è la migliore possibile per elevare al quadrato.
3. Trattandosi di una disequazione fra numeri positivi si può elevare al quadrato; semplificando si ottiene:p
x − 2 > −1, banalmente vera perché il primo membro, quando ha senso, è non negativo, il secondo è negativo. Si ha dunqueS = [2,+∞[.
Esempio 6.16. Risolvere la disequazionep
x + 2 −p
x − 3 > 1.
1. Dominio: x ≥ 3.
2. In qualunque forma si scriva la disequazione una elevazione al quadrato non elimina tutti i radicali, ma in ogni caso dopo l’elevazione ne resta uno solo. Si può però osservare che nella forma assegnata non è immediato constatare che il primo membro è sempre positivo e, in ogni caso, che nel doppio prodotto compaiono termini inx2, sotto la radice residua. Se si scrive invece nella formap
x + 2 >p
x − 3 + 1, è immediato constatare che i due membri, quando hanno senso, sono non negativi e inoltre, nell’elevazione al quadrato, non compaiono termini di secondo grado.
È questa la forma da preferire.
3. Considerata dunque la disequazionep
x + 2 >p
x − 3 + 1, quadrando e semplificando si ottiene px − 3 < 7, che può essere nuovamente risolta quadrando. Si ottiene x < 7,
tenendo conto del dominio se ne deduce cheS = [3,7[.
Esempio 6.17. Risolvere la disequazionep3
x − 2 ≤ −x. In questo caso non ci sono problemi né con il dominio, né con l’elevazione al cubo (che è sempre lecita: x3è una funzione strettamente monotona).
Si ottienex3+ x − 2 ≤ 0. Scomponendo in fattori il primo membro si ottiene (x − 1)(x2+ x + 2) ≤ 0.
Poichéx2+ x + 2 è strettamente positivo, può essere semplificato ottenendo facilmente x − 1 ≤ 0 e quindiS =] − ∞,1].
6.6.2. Disequazioni irrazionali - risoluzione grafica
Per le disequazioni irrazionali la risoluzione per via grafica è particolarmente utile, sia come metodo proprio, sia per controllare i risultati ottenuti per via algebrica (dove non è difficile sbagliare i calcoli).
Nei casi che interessano i grafici relativi possono essere sempre ottenuti con i metodi dell’analisi (ma questo esula dagli scopi del presente testo) e, spesso, anche con metodi elementari, anche se è normal-mente richiesta la conoscenza della geometria analitica, che tratteremo nel capitolo8. Solo per un controllo dei risultati(5)si può naturalmente usare uno dei numerosi software di calcolo disponibili (anche gratuitamente).
Esempio 6.18. Riprendiamo in esame la disequazione già considerata p
x2− 9x + 14 − x + 8 > 0. Il grafico della funzione a primo membro permette di ritrovare subito lo stesso risultato sopra trovato, vedi la figura6.6.
5Fin quando l’uso di questi software non sarà consentito nei test e nelle prove d’esame!
Matematica di base - 1 6.6. Le funzioni irrazionali
2 4 6 8 10
2 4 6 8
0 7
Figura 6.6.:Grafico di f (x) =p
x2− 9x + 14 − x + 8 Se si vogliono usare metodi elementari, riscriviamo la disequazione nella formap
x2− 9x + 14 > x−8, possiamo considerare il seguente sistema
y1=p
x2− 9x + 14 y2= x − 8
y1> y2
.
Risolvere la disequazione equivale a trovare per qualix il primo grafico sta sopra il secondo. Il secondo grafico è una retta, tracciabile per via elementare. Per quanto riguarda il primo si può osservare che y =p
x2− 9x + 14 è equivalente a
y ≥ 0
y2= x2− 9x + 14 , ovvero
y ≥ 0
x2− y2− 9x + 14 = 0
La seconda equazione rappresenta dunque la parte della conicax2− y2− 9x + 14 = 0 che sta sopra l’asse delle ascisse. Si tratta (e non entriamo qui nei dettagli) di un’iperbole equilatera di centro (9/2,0) e semiassi di lunghezza5/2. Il grafico della figura6.7fornisce ancora una volta il risultato già noto.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1 1 2
0
Figura 6.7.:Grafici di y =p
x2− 9x + 14 e y = x − 8
6.6.3. Regole per due casi standard
Riportiamo qui le regole per due casi standard e frequenti nelle applicazioni: le ricaveremo dalla strategia generale indicata e, come già detto, non riteniamo utile una loro memorizzazione indipendente.
La disequazionep
f (x) > g(x)
Consideriamo una disequazione del tipo
(6.3) Æ f (x) > g(x),
e applichiamo la regola generale per le disequazioni irrazionali.
1. Intanto deve essere f (x) ≥ 0 per il dominio.
2. La forma della disequazione è tale che un’elevazione al quadrato elimina la radice ed è dunque la migliore possibile.
3. Poiché il primo membro, quando ha senso, è sempre non negativo, basterà distinguere due casi, a seconda che il secondo membro sia < 0 o ≥ 0. Nel primo caso la disequazione è sicuramente vera, nel secondo caso si potrà elevare al quadrato. Ripetendo anche la condizione per il dominio, si trova che la risoluzione della disequazione può essere ricondotta all’unione delle soluzioni dei seguenti due sistemi
(6.4)
f (x) ≥ 0 g(x) < 0 ∪
f (x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f (x) > g2(x)
.
La prima equazione del secondo sistema nella (6.4) è sovrabbondante, in quanto contenuta nella terza.
Possiamo concludere che
(6.5) Æ f (x) > g(x) ⇔
f (x) ≥ 0 g(x) < 0 ∪
g(x) ≥ 0 f (x) > g2(x) . Per la disequazione
(6.6) Æ f (x) ≥ g(x)
si conclude, senza bisogno di ulteriori considerazioni, che
(6.7) Æ f (x) ≥ g(x) ⇔
f (x) ≥ 0 g(x) < 0 ∪
g(x) ≥ 0 f (x) ≥ g2(x) .
Si noti che il passaggio dalla disuguaglianza stretta (“>”) a quella larga (“≥”) comporta una variazione solo nella seconda disequazione del secondo sistema.
Può anche essere utile memorizzare le formule (6.5) e (6.7), ma secondo noi è meglio memorizzare la strategia usata per ottenerle, strategia che è quella generale per risolvere le disequazioni irrazionali.
La disequazionep
f (x) < g(x)
Consideriamo una disequazione del tipo
(6.8) Æ f (x) < g(x)
e applichiamo la regola generale per le disequazioni irrazionali.
Matematica di base - 1 6.6. Le funzioni irrazionali 1. Intanto deve essere f (x) ≥ 0 per il dominio.
2. La forma della disequazione è tale che un’elevazione al quadrato elimina la radice ed è dunque la migliore possibile.
3. Poiché il primo membro, quando ha senso, è sempre non negativo, basterà distinguere due casi, a seconda che il secondo membro sia < 0 o ≥ 0. Nel primo caso la disequazione è sicuramente falsa, nel secondo caso si potrà elevare al quadrato. Ripetendo anche la condizione per il dominio, si trova che
(6.9) Æ f (x) < g(x) ⇔
f (x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f (x) < g2(x)
.
Per la disequazione
(6.10) Æ f (x) ≤ g(x)
si conclude, senza bisogno di ulteriori considerazioni, che
(6.11) Æ f (x) ≤ g(x) ⇔
f (x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f (x) ≤ g2(x)
.
Come prima, segnaliamo che può anche essere utile memorizzare le formule (6.9) e (6.11), ma secondo noi è meglio memorizzare la strategia usata per ottenerle, strategia che è quella generale per risolvere le disequazioni irrazionali.
6.6.4. Il segno di una funzione irrazionale
Per determinare il segno di una funzione irrazionale si deve seguire il metodo generale indicato per trovare il segno di una funzione. Bisogna prestare particolare attenzione con le funzioni irrazionali:
non è affatto detto che la risoluzione della disequazione f (x) > 0 sia sufficiente per concludere, come spesso succede nel caso delle funzioni razionali. Per chiarire il problema proponiamo un esempio.
Esempio 6.19. Trovare il segno della funzione f (x) = x2+p
x4− 2x2+ 1 − 1. È facile provare che la funzione ha come dominio tutto R: x4− 2x2+ 1 = (x2− 1)2≥ 0. Se si risolve la disequazione f (x) > 0 si trovax < −1 ∨ x > 1. Per concludere bisogna anche risolvere l’equazione f (x) = 0 che fornisce
−1 ≤ x ≤ 1. Dunque la funzione data ha il segno rappresentato nel seguente grafico.
+/−
f (x)
−∞ −1 1 +∞
+ 0 0 0 +
Il grafico di f conferma il risultato trovato, vedi la figura6.8.
In realtà, questa funzione può essere scritta, facendo uso del valore assoluto, senza utilizzare radicali (e il suo grafico può essere tracciato in via elementare), ma nulla cambia nella sostanza.
−3 −2 −1 1 2 3 1
2
0
Figura 6.8.:Grafico di f (x) = x2+p
x4− 2x2+ 1 − 1