4. Funzioni
4.2. Rappresentazioni grafiche
In sostanza per assegnare una funzione f : A → B occorre assegnare un sottoinsieme del prodotto cartesianoA× B, costituito da coppie (x, y) con la caratteristica che tutti gli elementi di A compaiano esattamente una volta come primo elemento della coppia. A questo proposito si dà la seguente definizione.
Definizione 4.3(Grafico). Si chiama grafico di una funzione f : A → B, l’insieme (4.3) Γ ( f ) = { (x, y) ⊂ A× B | y = f (x), x ∈ A} .
Sarebbe addirittura possibile identificare una funzione con il suo grafico, e molti lo fanno: noi preferiamo, seguendo la tradizione, mantenere distinti i due concetti. Ci preme in ogni caso segnalare che il concetto di grafico di una funzione non deve essere confuso con quello di rappresentazione grafica, che consiste di tecniche “grafiche” atte a rendere immediatamente evidenti alcune caratteristiche delle funzioni. Torneremo ancora su questo problema.
La prima tecnica grafica che viene utilizzata per visualizzare le funzioni è quella deidiagrammi a frecce, come quello della figura4.1.
x1 x2 x3
x4
y1
y2 y3
y4 y5
A B
Figura 4.1.:Diagramma “a frecce” per visualizzare una funzione (tra insiemi finiti)
Si noti cheè obbligatorio che da ogni punto (elemento) dell’insieme A parta esattamente una freccia, mentre sui punti dell’insiemeB possono anche arrivare più frecce, oppure nessuna freccia. Si potrebbe dire, usando un linguaggio figurato, cheA è l’insieme degli arcieri, B l’insieme dei bersagli e che ogni arciere ha a disposizione nella propria faretra solo una freccia che è costretto a lanciare, mentre non ci sono limitazioni sui bersagli da colpire: ci possono essere bersagli colpiti da più frecce, e anche bersagli non colpiti da alcuna freccia.
Matematica di base - 1 4.2. Rappresentazioni grafiche Nella rappresentazione della figura4.1si vede chiaramente che l’immagine della funzione è costituita dall’insieme { y1,y3,y5}, che è un sottoinsieme proprio di B.
È chiaro che rappresentazioni grafiche come quella appena vista hanno senso solo se gli insiemi in questione sono finiti: in caso contrario si dovrebbero disegnare infinite frecce, cosa chiaramente impossibile.
Si usano anche altri tipi di rappresentazione per le funzioni. Per esempio se si considera la funzione che a ogni numero naturale compreso tra 1 e 5 fa corrispondere la sua metà (funzione che ha come dominio i numeri naturali citati e come codominio i numeri razionali), si può usare unatabella a doppia entrata, in cui nella prima colonna si scrivono i numeri naturali 1, 2, ..., 5 e nella seconda colonna le corrispondenti metà di questi numeri; vedi la tabella4.1.
Tabella 4.1.:Rappresentazione “tabulare” di una funzione x x/2
1 1/2
2 1
3 3/2
4 2
5 5/2
Un altro tipo di rappresentazione è quello dei diagrammi a torta, molto significativo in casi speciali.
Consideriamo, ad esempio, un corso universitario dove si sono iscritti 120 alunni, provenienti da varie provincie, come nella tabella che segue:
Gorizia Pordenone Treviso Trieste Udine
5 70 15 10 20
Si comincerà con il calcolare le percentuali relative alle varie provincie:
Gorizia Pordenone Treviso Trieste Udine
4.17 58.33 12.5 8.33 16.67
Successivamente si calcoleranno le ampiezze delle “fette di torta” da utilizzare per ciascuna provincia, tenendo conto che la torta totale ha un’apertura di 360◦:
Gorizia Pordenone Treviso Trieste Udine
15◦ 210◦ 45◦ 30◦ 60◦
Il grafico è a questo punto immediato ed è mostrato nella figura4.2.
Una variante ovvia è il diagramma a semitorta, che funziona sullo stesso principio, con un semicerchio anziché con un cerchio: è usato per esempio per esempio nella rappresentazione della distribuzione dei seggi nel parlamento, visto che l’aula di riunione ha proprio la forma di un emiciclo.
Ancora un’altra possibilità è quella di un diagramma a barre, che proponiamo nella figura4.3: qui si tratta di disegnare dei rettangoli, di base costante e altezza proporzionale alle percentuali relative a ciascuna provincia.
È evidente che, sia in questo diagramma che nel diagramma a torta, l’ordine in cui sono situati i vari elementi del dominio non ha alcun interesse.
Gorizia (5)
Udine (20)
Trieste (10) Treviso (15)
Pordenone (70)
Figura 4.2.:Provenienza degli studenti del Corso ..., ripartiti per Provincia, diagramma “a torta”
Gorizia Pordenone Treviso Trieste Udine 5
70
15 10
20
Figura 4.3.:Provenienza degli studenti del Corso ..., ripartiti per provincia, diagramma “a barre”
La rappresentazione più conveniente nel caso delle funzioni tra due insiemi di numeri reali è però quella dei diagrammi o grafici cartesiani, in particolare nel caso in cui gli insiemi siano infiniti, quando le rappresentazioni precedenti non sono utilizzabili. L’idea è di considerare un piano in cui si sia fissato un sistema di coordinate cartesiane (ortogonali per semplicità)Oxy e rappresentarvi tutte le coppie (x, y) in cui x è un punto (numero) del dominio della funzione e y = f (x) è il corrispondente valore nel codominio della funzione. Riprendendo in esame l’esempio proposto nella tabella4.1, dobbiamo rappresentare i punti
A= (1,1/2),B= (2, 1),C= (3,3/2),D= (4, 2),E= (5,5/2) , ottenendo il grafico della figura4.4.
Matematica di base - 1 4.2. Rappresentazioni grafiche
−1 1 2 3 4 5 6
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 A
B C
D E
Figura 4.4.:Esempio di grafico cartesiano
Il grafico della figura4.4è in realtà un grafico a frecce “compattato”: siccome i valori del dominio sono punti dell’assex e quelli del codominio punti dell’asse y, possiamo sempre pensare di tracciare delle frecce che colleghino i punti del dominio con i corrispondenti del codominio, come quelle della figura4.1, solo che è opportuno che le frecce “passino” per i puntiA, B, ..., come nella figura4.5.
−1 1 2 3 4 5 6
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
A B
C D
E
Figura 4.5.:Esempio di grafico cartesiano, con frecce
Il grafico4.4“compatta” il grafico4.5nel senso che ne prende solo gli elementi essenziali, cioè gli
“spigoli delle frecce”: è evidente che dalla conoscenza degli spigoli si possono facilmente ricostruire le frecce.
Se si confronta la figura4.4con la tabella4.1, ci si rende immediatamente conto dei notevoli vantaggi che il grafico presenta: da esso si può per esempio capire, “a colpo d’occhio”, che al crescere di x nel dominio la corrispondentey del codominio cresce, e che tale crescita è costante. La cosa diventa ancora più significativa se si vuole considerare la funzione che a ogni numero realex faccia corrispondere la sua metà: a differenza di quanto succedeva con la funzione rappresentata nella tabella4.1, questa volta lax non varia più in un insieme finito e quindi una rappresentazione tabulare non ha alcun senso(2). Un diagramma cartesiano è decisamente più significativo.
2Si noti comunque che la regola (legge) che collega lax alla y è la stessa del caso precedente: il valore di f (x) è la metà di quello dix. Questo rende evidente che per assegnare una funzione non è sufficiente assegnare la regola di calcolo, occorre anche fissare il dominio e il codominio.
−1 1 2 3 4 5 6 0.5
1 1.5 2 2.5 3
0
Figura 4.6.:Grafico cartesiano della funzione f (x) =x/2
Naturalmente il diagramma della figura4.6contiene anche i punti già rappresentati nel diagramma della figura4.4, visto che il dominio di quella funzione è un sottoinsieme di quello della funzione ora in esame.
−1 1 2 3 4 5 6
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 A
B C
D E
Figura 4.7.:Grafico cartesiano della funzione f (x) =x/2, con evidenziati alcuni punti
In tutti i grafici cartesiani che abbiamo fatto abbiamo usato la stessa unità di misura sui due assi: sistemi cartesiani siffatti sono dettimonometrici. Di solito però nelle applicazioni la cosa non è possibile, e ne vedremo in seguito i motivi. È opportuno tenere presente che se un sistema cartesiano nel piano non è monometrico, le figure possono essere deformate. Per esempio i due grafici della figura4.8mostrano la circonferenza di centro l’origine e raggio 1, in due diversi sistemi di coordinate, di cui solo il primo è monometrico.
Discorso simile per la bisettrice del primo e terzo quadrante, rappresentata nella figura4.9negli stessi sistemi cartesiani della figura4.8.
Nelle funzioni che avremo modo di considerare in questo corso, i grafici cartesiani saranno costituiti normalmente da “curve”, nel senso intuitivo del termine. Occorre però tenere ben presente l’osservazione che segue.
Osservazione 4.4. La caratteristica delle funzioni di associare ad ogni x del dominio uno ed un solo y del codominio ha un’immediata interpretazione geometrica in termini di grafici cartesiani per le funzioni reali: una retta verticale (cioè parallela all’asse delle ordinate) condotta a partire da un punto x del
Matematica di base - 1 4.2. Rappresentazioni grafiche
−2 −1 1 2
−1 1
0 −1 −0.5 0.5 11
−1 1
0
Figura 4.8.:Circonferenza di centro l’origine e raggio 1, in due diversi sistemi di coordinate, il primo monometrico, il secondo no
−2 −1 1 2
−1 1
0 −1 −0.5 0.5 11
−1 1
0
Figura 4.9.:La bisettrice del primo e terzo quadrante, in due diversi sistemi di coordinate, il primo monometrico, il secondo no
dominio della funzione, incontra sempre il grafico in un solo punto: se così non fosse ad uno stesso valore dix potrebbero corrispondere più valori di y.
0
x y2
y1
Figura 4.10.:Curva che non è il grafico cartesiano di una funzione
I grafici cartesiani, per le funzioni reali, sono in grado di evidenziare anche chiaramente quali sono il dominio e l’insieme immagine di una funzione: il dominio coincide con la proiezione del grafico stesso sull’assex, l’insieme immagine con la proiezione del grafico sull’asse y. Si veda la figura4.11.
Un modo suggestivo di pensare alle funzioni è quello di immaginare una “scatola nera”, piena di rotelline ed ingranaggi, dotata di una porta di ingresso (input) e di una porta di uscita (output): se inserisco un elemento del dominio, cioè un dato (che nei casi di nostro interesse sarà un numero reale), diciamolox, attraverso la porta di ingresso, la funzione esegue delle elaborazioni su questo dato e ci restituisce, attraverso la porta di uscita, un risultato, cioè uny, che chiamiamo “immagine” di x tramite la funzione. La figura seguente illustra la situazione relativa alla funzione f (x) = x3− x.
−2 2 4
−4
−2 2
0
dominio
insieme immagine
Figura 4.11.:Dominio e immagine di una funzione reale, a partire dal grafico cartesiano
x3− x
Input Output
Se per esempio il dato in ingresso è il numero 5, gli “ingranaggi interni della scatola nera” calcoleranno il cubo di 5 e successivamente ne sottrarrano il numero 5 stesso, fornendo 120 come output.
x3− x
5 120