Equazioni in un ’incognita

5.1.1. Principi di equivalenza

Definizione 5.3. Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

La risoluzione di un’equazione richiede in genere una serie di passaggi preliminari atti a ridurre l’equazione stessa a una equazione equivalente e appartenente ad una delle forme canoniche che saranno esaminate in seguito. Questi passaggi si basano sulle seguenti note proprietà delle uguaglianze tra numeri, già considerate trattando le proprietà delle operazioni, vedi la pagina39.

1. Aggiungendo o sottraendo uno stesso numero ai due membri di un’uguaglianza, si ottiene ancora un’uguaglianza.

2. Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’uguaglianza per uno stesso numerodiverso da zero si ottiene ancora un’uguaglianza.

Da qui si ricavano i seguenti due teoremi detti ancheprincipi di equivalenza.

Teorema 5.4(Primo principio di equivalenza delle equazioni). Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione, di dominio D, uno stesso numero o una stessa funzione nell’incognita x, con dominio D, si ottiene un’equazione equivalente alla data, naturalmente sempre nel dominio D.

Esempio 5.2. Le equazioni:

x + 3 = 2x − 5 e x + 3 − 2x + 5 = 0, ovvero − 2x + 8 = 0

sono equivalenti: la seconda è stata ottenuta dalla prima aggiungendo ad ambo i membri la funzione

−2x + 5.

Esempio 5.3. Le equazioni:

x + 1

x − 1= 1 + 1

x − 1, e x + 1

x − 1− 1

x − 1= 1 + 1

x − 1− 1

x − 1, ovvero x = 1 non sono equivalenti: la prima non ha soluzioni, la seconda, ottenuta aggiungendo ad ambo i membri la funzione −¹/x − 1e poi semplificando, ha la soluzionex = 1. Esse sono però equivalenti se si tiene conto del dominio della disequazione, dato da R \ {1}: la funzione aggiunta ha in effetti proprio questo dominio.

Questo principio si suole di solito enunciare nella seguente forma semplificata: è possibile portare una quantità da un membro all’altro di un’equazione,cambiandola di segno.

Teorema 5.5(Secondo principio di equivalenza delle equazioni). Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione di dominio D per uno stesso numero diverso da zero, o per una stessa funzione che abbia sempre per dominio D e che non si annulli mai si ottiene un’equazione equivalente alla data.

Esempio 5.4. Le equazioni

x³+ x = x²+ 1 e x = 1

sono equivalenti: la seconda è stata ottenuta dalla prima dividendo ambo i membri per la funzione x²+ 1 che ha dominio R e non si annulla mai.

Esempio 5.5. Le equazioni

x³+ x = x²+ 2x e x²+ 1 = x + 2 non sono equivalenti: la prima ha la soluzionex = 0, la seconda no.

Matematica di base - 1 5.1. Equazioni in un ’incognita

5.1.2. Equazioni di primo grado

Un’equazione di primo grado in un’incognita si può sempre mettere nella forma

(5.1) ax + b = 0, a, b ∈ R, a 6= 0.

Essa hasempre una ed una sola soluzione (si presti attenzione al fatto che si è supposto a 6= 0) che si trova semplicemente “portando”b a secondo membro e dividendo per a:

(5.2) x = −b

a.

Nel caso in cuia e b sono numeri reali non c’è altro da dire; nel caso in cui a o b sono espressioni letterali occorrerà, in genere, una discussione preliminare, come si evince dagli esempi che seguono.

Esempio 5.6. Risolvere l’equazione

(a²− 1)x = 1.

Sea²−1 6= 0 l’equazione è di primo grado e ha l’unica soluzione x =¹/a²− 1. Se invecea²−1 = 0, ovvero a = ±1, l’equazione non è di primo grado è non ha nessuna soluzione.

Esempio 5.7. Risolvere l’equazione

ax − a + b = 0.

Sea 6= 0 l’equazione è di primo grado e ha l’unica soluzione x =^{a − b}/^a. Sea = 0 ∧ b 6= 0 l’equazione non è di primo grado e non ha nessuna soluzione. Sea = b = 0 si ha un’identità.

Esempio 5.8. Risolvere l’equazione

ax = b²− 1.

Sea 6= 0 l’equazione è di primo grado e ha l’unica soluzione x =^{b2− 1}/a. Sea = 0 ∧ b 6= ±1 l’equazione non è di primo grado e non ha nessun soluzione. Sea = 0 ∧ b = ±1 si ha un’identità.

È chiaro che risolvere l’equazioneax + b = 0 equivale a trovare l’unica radice del polinomio di primo gradoP(x) = ax + b, che, come già noto, è proprio −^b/a.

Dal punto di vista grafico la risoluzione dell’equazioneax+b = 0 equivale a determinare l’intersezione della rettay = ax + b con l’asse delle ascisse: poiché si è supposto a 6= 0, esiste una sola intersezione di ascissa, appunto, −^b/a.

5.1.3. Equazioni di secondo grado

Un’equazione di secondo grado in un’incognita si può sempre mettere nella forma (5.3) ax²+ b x + c = 0, a, b , c ∈ R, a 6= 0.

Risolvere quest’equazione equivale a determinare gli eventuali zeri del polinomio di secondo grado P(x) = ax²+ b x + c e possiamo dunque riportare semplicemente quanto già detto nella pagina90:

— se ∆ = b²− 4ac < 0 l’equazione (5.3) non ha, nei reali, alcuna soluzione;

— se ∆ = b²− 4ac = 0 l’equazione ha, nei reali, una sola soluzione x = −^b/2a, o come si usa dire, una soluzione doppia;

— se ∆ = b²− 4ac > 0 l’equazione ha, nei reali, due soluzioni distinte

x_1,2= −b ±p

b²− 4ac

2a .

Dal punto di vista grafico risolvere l’equazione (5.3) equivale a determinare le eventuali intersezioni della parabolay = ax²+ b x + c con l’asse delle ascisse: se ∆ < 0 la parabola sta tutta sopra (a > 0) o sotto (a < 0) l’asse delle ascisse e dunque l’equazione non ha soluzioni; se ∆ = 0 la parabola ha il vertice sull’asse delle ascisse in corrispondenza all’unica soluzione dell’equazione; se ∆ > 0 la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti con ascissa uguale alle soluzioni dell’equazione. Ritorneremo su questo argomento estesamente nel capitolo sulla geometria analitica.

Sea, b, c sono numeri non c’è altro da dire; se invece a, b, c contengono lettere occorrerà un’analisi dettagliata delle situazioni che si possono presentare, come si evince dagli esempi che seguono.

Esempio 5.9. Risolvere l’equazione

ax²+ 2x − 1 = 0.

Sea = 0 l’equazione è di primo grado e ha l’unica soluzione x =¹/². Sea 6= 0, si ha ∆ = 4 − 4a: dunque sea = 1 si ha ∆ = 0 e l’equazione ha l’unica soluzione x = −²/2 · 1= 1; se a < 1 si ha ∆ > 0 e l’equazione ha due soluzioni reali e distinte (date dalla già citata formula); sea > 1 si ha ∆ < 0 e l’equazione non ha soluzioni.

Esempio 5.10. Risolvere l’equazione

(a − 1)x²− ax + 1 = 0.

Sea = 1 l’equazione è di primo grado e ha l’unica soluzione x = 1; se a 6= 1 si ha ∆ = a²−4a+4 = (a−2)²: dunque sea = 2 l’equazione ha la sola soluzione x = 1, se a 6= 2 l’equazione ha le due soluzioni

x_1,2= a ± (a − 2) 2(a − 1) =

* 1

1 a − 1

.

Nel caso particolare in cuib è pari è tradizione imparare una “formula ridotta” per risolvere l’equazione di secondo grado (5.3). Riteniamo inutile la memorizzazione di questa ulteriore formula anche perché spesso fonte di errori. Se proprio si vogliono semplificare i calcoli, quando b è pari si possono dividere ambo i membri dell’equazione (5.3) per 2 e applicare poi la solita formula. Si veda l’esempio che segue.

Esempio 5.11. Risolvere l’equazione

3x²− 4x − 5 = 0, ovvero, dividendo per 2 ambo i membri, 3

2x²− 2x −5 2= 0.

Applicando la formula nota si ha

∆ = 4 + 15 = 19, quindi x1,2= 2 ±p 19

3 .

Matematica di base - 1 5.1. Equazioni in un ’incognita È anche tradizione usare dei nomi particolari (che qui non riportiamo neppure!) per le equazioni di secondo grado nei casi in cuib oppure c o entrambi siano zero: anche in questo caso ci pare assolutamente inutile fare un ulteriore sforzo mnemonico e riteniamo preferibile o utilizzare comunque la formula risolutiva (che funziona sempre!) o servirsi dei ragionamenti elementari che seguono.

— Seb = 0 ∧ c 6= 0, si ha ax²+ c = 0 ovvero ax²= −c o ancora x²= −^c/a: se dunque −^c/a< 0 non si hanno soluzioni, se −^c/a> 0 si hanno le due soluzioni distinte x_1,2= ±p

−^c/a.

— Seb 6= 0 ∧ c = 0, si ha ax²+ b x = 0 ovvero x(ax + b ) = 0 da cui x₁ = 0 e x₂= −^b/a (legge dell’annullamento del prodotto).

— Seb = 0 ∧ c = 0, si ha ax²= da cui si trova l’unica soluzione x = 0.

Relazioni tra coefficienti e soluzioni in un’equazione di secondo grado Se l’equazione (5.3) ha ∆ ≥ 0 si ha, facilmente,

(5.4) x₁+ x₂=−b −p

∆

2a +−b +p

∆ 2a = −b

a, e

(5.5) x₁· x2= −b −p

∆

2a ·−b +p

∆

2a = c

a.

Le formule (5.4) e (5.5) valgono anche se ∆ < 0, ma in questo caso le radici sono complesse e questo argomento esula dagli scopi di questo testo.

Tenendo conto delle formule (5.4) e (5.5) si ha (5.6) ax²+ b x + c = 0 ⇒ x²+ b

ax +c

a= 0 ⇒ x²− s x + p = 0,

avendo postos = x₁+ x₂e p = x₁· x₂. Si tratta di una forma di scrittura di un ’equazione di secondo grado utile in molte situazioni. Naturalmente, lavorando sui reali, si deve tenere conto che la formula vale solo se ∆ ≥ 0.

Esempio 5.12. Si voglia scrivere un’equazione di secondo grado avente per soluzioni { −¹/²,²/³}. Essendo s =¹/⁶e p = −¹/³, l’equazione cercata sarà

x²−1 6x −1

3= 0 ovvero 6x²− x − 2 = 0.

Si poteva anche procedere osservando che l’equazione deve essere, in base al teorema fondamentale dell’algebra, della forma

 x +1

2

‹  x −2

3

‹

= 0 , da cui si ottiene lo stesso risultato.

Utilizzando le formule (5.4) e (5.5) si possono ricavare anche altre relazioni tra i coefficienti dell’equa-zione (5.3) e le soluzioni (sempre nell’ipotesi ∆ ≥ 0 se si vuole lavorare sui reali). Riportiamo alcune delle formule di uso più comune.

— x₁²+ x₂²= (x₁+ x₂)²− 2x₁x₂.

— x₁³+ x₂³= (x₁+ x₂)³− 3x1x₂(x₁+ x₂).

— 1

x₁+ 1

x₂= x₁+ x₂ x₁x₂ . Regola dei segni di Cartesio

In un’equazione di secondo gradoax²+ b x +c = 0, si dice che si ha una permanenza se due coefficienti consecutivi (a e b oppure b e c) hanno lo stesso segno, una variazione se due coefficienti consecutivi hanno segno opposto.

Vale la seguenteRegola dei segni di Cartesio: in un’equazione di secondo grado scritta in forma normale e con discriminante positivo, ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva, ad ogni permanenza una soluzione negativa. Se l’equazione ha una permanenza e una variazione le due soluzioni di segno opposto hanno valore assoluto diverso: se la permanenza precede la variazione è maggiore il valore assoluto della soluzione negativa, se la variazione precede la permanenza è maggiore il valore assoluto della soluzione positiva.

5.1.4. Equazioni di grado superiore al secondo

Un’equazione di gradon, scritta in forma normale, è un’equazione del tipo (5.7) a_nxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+ · · · + a₁x + a₀= 0 .

Risolvere un’equazione di questo tipo sarà dunque equivalente a determinare gli zeri del polinomio a primo membro. Come già accennato nella pagina3.4, esistono formule per trovare le radici di un polinomio di terzo e quarto grado, formule che naturalmente forniranno le radici di equazioni di terzo e quarto grado scritte in forma normale, ma queste formule utilizzano i complessi e quindi esulano dagli scopi di questo testo. Per equazioni di grado superiore al quarto non esiste invece alcuna formula risolutiva e questo tipo di equazioni può essere risolto solo in casi particolari, di alcuni dei quali faremo un breve cenno, senza pretendere di essere esaustivi, per la varietà dei casi che si possono presentare.

Scomposizione in fattori

La prima e più importante tecnica applicabile alla risoluzione di equazioni di grado superiore al secon-do è quella della scomposizione del polinomio a primo membro in fattori, con successiva applicazione della legge di annullamento del prodotto. Si possono applicare le tecniche viste nel paragrafo3.3 e il teorema3.12sugli zeri razionali di un polinomio. Non insistiamo oltre su questo argomento, già ampiamente trattato.

Equazioni binomie

Sono così chiamate le equazioni del tipo

axⁿ+ b = 0, a 6= 0, n ∈ N, n > 2.

Matematica di base - 1 5.1. Equazioni in un ’incognita

La loro risoluzione è immediata:

axⁿ+ b = 0 ⇒ xⁿ= −b a.

A questo punto è sufficiente applicare la definizione di radicen-esima: se n è dispari si ha un’unica soluzione

x = ⁿ v u t−b

a;

se invece n è pari, se −^b/^a< 0 non si hanno soluzioni, se−^b/^a = 0 si ha la sola soluzione x = 0, se

−^b/a> 0 si hanno le due soluzioni

x_1,2= ±ⁿ v u t−b

a. Equazioni trinomie

Sono così chiamate le equazioni del tipo

ax²ⁿ+ b xⁿ+ c = 0, a 6= 0, n ∈ N, n > 2.

Per la loro risoluzione basta porrexⁿ= t e risolvere l’equazione at²+ b t +c: se questa ha le soluzioni t₁et₂basterà risolvere poi le equazionixⁿ= t₁exⁿ= t₂, con le osservazioni fatte a proposito delle equazioni binomie.

Il cason = 2 è particolarmente frequente e in questo caso l’equazione di chiama anche biquadratica.

Equazioni reciproche

Sono così chiamate le equazioni, ridotte a forma normale, in cui il polinomio a primo membro ha i coefficienti equidistanti dagli estremi uguali (equazionireciproche di prima specie) o opposti (equazioni reciproche di seconda specie). Notare che le equazioni reciproche di seconda specie di grado pari devono avere il coefficiente del termine centrale nullo, in quanto deve essere l’opposto di se stesso. Le equazioni di prima specie di grado dispari hanno la radice −1, tutte le equazioni di seconda specie hanno come radice il numero 1: in questi casi è possibile applicare la scomposizione in fattori. Le equazioni reciproche di prima specie e di grado pari si riducono ad un’equazione di gradoⁿ/²mediante la sostituzione

x + 1 x= t .

Se l’equazione ottenuta è risolubile la tecnica permette la risoluzione anche dell’equazione iniziale. Il metodo funziona ovviamente nel cason = 4, perché l’equazione ottenuta in t è di secondo grado. Si veda l’esempio che segue per capire come procedere.

Esempio 5.13. Si debba risolvere l’equazione 12x⁴+4x³−41x²+4x +12 = 0. Dividiamo ambo i membri perx², ottenendo

12x²+ 4x − 41 + 41 x + 121

x²= 0 ⇒ 12 x²+ 1

x²

‹ + 4

 x + 1

x

‹

− 41 = 0.

Posto orax +¹/x= t, si ha x +1

x = t ⇒ 

x +1 x

‹

= t² ⇒ x²+ 1

x²= t²− 2.

Dunque

12(t²− 2) + 4t − 41 = 0 ⇒ t_1,2=

* −5 132 6 Risolvendo ora

x + 1 x= −5

2 e x + 1 x= 13

6 si trova che l’insieme di soluzioni dell’equazione data è

§

−2, −1 2, 2

3, 3 2

ª .

Tenendo conto della eventuale presenza delle radici ±1 e della sostituzione indicata per le equazioni di prima specie e di grado pari, si riescono sempre a risolvere le equazioni fino al quinto grado.

Le equazioni in questione si chiamano reciproche perché, come è facile provare, se hanno una radice α, hanno anche la radice reciproca¹/α.

5.1.5. Equazioni razionali fratte

Per risolvere un’equazione razionale fratta, ridotta in forma normale, basterà determinare le radici del numeratore e controllare che esse non siano, contemporaneamente, radici del denominatore.

Esempio 5.14. Si debba risolvere l’equazione

x⁴− 3x²+ 2 x²− 3x + 2 = 0.

Le radici del numeratore sono: −p

2,−1,1,p

2. Poiché 1 è anche radice del denominatore, se ne deduce che l’insieme delle soluzioni è¦ −p

2,−1,p 2©.

5.1.6. Equazioni irrazionali

Si chiamanoirrazionali le equazioni contenenti uno o più radicali e nelle quali l’incognita compare sotto il segno di radice. Non esistono tecniche standard per la risoluzione di questo tipo di equazioni:

il procedimento risolutivo consiste comunque nel trasformare l’equazione stessa in una equazione razionale, mediante opportuni elevamenti a potenza, ed è chiaro che l’equazione irrazionale è risolubile se tale è l’equazione razionale ottenuta.

L’applicazione di questo procedimento tuttavia richiede la massima attenzione. Bisogna anzitutto tenere conto che, elevando a potenza ambo i membri di un’equazione, non è detto che si ottenga un’equazione equivalente: occorrerà dunque controllare se le soluzioni ottenute dopo l’elevazione erano anche radici dell’equazione originale. Qualche esempio chiarirà il problema.

Matematica di base - 1 5.1. Equazioni in un ’incognita Esempio 5.15. L’equazione x = 1 è di primo grado e ha la sola radice 1; elevando al quadrato ambo i membri si ottiene l’equazionex²= 1 che ha le due radici ±1. In questo caso l’elevazione al quadrato ha introdotto una soluzione estranea.

Esempio 5.16. L’equazionep

x²+ 1 = −2 non ha radici (il primo membro è positivo, il secondo negativo);

elevando al quadrato e semplificando si ottiene l’equazionex²= 3 che ha le due radici ±p

3. In questo caso l’elevazione al quadrato ha introdotto due soluzioni estranee.

Esempio 5.17. Elevando al quadrato ambo i membri dell’equazionep

x²= x si ottiene l’equazione x²= x²che è un’identità. Solo i reali non negativi sono però soluzioni anche dell’equazione di partenza.

In questo caso l’elevazione al quadrato ha introdotto infinite soluzioni estranee

Un’altra difficoltà è data dal fatto che l’elevazione a potenza può complicare il problema anziché semplificarlo, come mostra l’esempio che segue.

Esempio 5.18. Si debba risolvere l’equazione px + 2 = x. Se si eleva direttamente al quadrato si ottiene l’equazionex + 4p

x + 4 = x², che è ancora irrazionale e più complessa della precedente. Se invece la si riscrive in px = x − 2 e poi si eleva al quadrato si ottiene x = x²− 4x + 4 che ha le radici 1 e 4. La prima non soddisfa l’equazione di partenza, da cui si deduce che l’equazione ha la sola radicex = 4.

Bisogna dunque procedere con la massima cautela, valutando accuratamente le varie possibilità. In genere se l’equazione contiene un solo radicale conviene isolarlo in uno dei due membri: l’elevazione di ambo i membri all’indice della radice rende l’equazione stessa razionale. Se l’equazione contiene due radicali conviene riscrivere l’equazione con un radicale per ogni membro ed elevare ad un’opportuna potenza ambo i membri, eventualmente ripetendo l’operazione. In altre situazioni (abbastanza rare!) bisogna valutare caso per caso.

Esempio 5.19. Per risolvere l’equazione x − 1 −p³

x³− 1 = 0 la si riscrive in x − 1 =p³

x − 1; elevando al cubo si ottiene 3x²− 3x = 0 che ha come radici 0 e 1, che sono anche⁽¹⁾soluzioni dell’equazione data.

Esempio 5.20. Per risolvere l’equazionep

x + 2 =p³

3x + 2 si elevano ambo i membri alla sesta potenza, ottenendo l’equazionex³− 3x²+ 4 = 0, che ha come radici −1 e 2. Solo 2 è radice anche dell’equazione di partenza.

Esempio 5.21. Per risolvere l’equazionep

7 − x +p

4 − x = 3 si eleva al quadrato ottenendo, dopo semplificazione, p(7 − 4x)(4 − x) = x − 1. Una successiva elevazione al quadrato porta alla soluzione x = 3, che è anche soluzione dell’equazione di partenza.

Esempio 5.22. Per risolvere l’equazionep

2x − 1 +p

2x + 1 = 1 +p

4x − 1 si elevano al quadrato ambo i membri ottenendop

4x²− 1 =p

4x − 1. Da un successivo elevamento al quadrato si ottengono le soluzioni 0 e 1, di cui solo la seconda è anche soluzione dell’equazione data.

5.1.7. Equazioni con valori assoluti

La soluzione di equazioni con valori assolutinon richiede nessuna nuova strategia rispetto a quelle finora considerate: basterà solo ricordare la definizione di valore assoluto data nel paragrafo4.8.3, nella pagina120, e distinguere tutti i casi che si possono presentare. Per fare questo occorrerrà valutare il segno dell’argomento del valore assoluto: poiché tratteremo in dettaglio questo argomento nel capitolo 6, torneremo su questo argomento nel paragrafo6.7, nella pagina170. Per ora ci limitiamo a qualche semplice esempio per chiarire il metodo.

1In genere l’elevazione a una potenza dispari non introduce soluzioni estranee.

Esempio 5.23. Risolvere l’equazione x²− 3|x| + 2 = 0. Poiché

|x| =

 −x, se x < 0 x, sex ≥ 0 , dovremo considerare due casi

1. x < 0. Allora l’equazione diventa x²+3x +2 = 0 che ha le soluzioni x₁= −2 e x₂= −1, entrambe accettabili.

2. x ≥ 0. Allora l’equazione diventa x²− 3x + 2 = 0 che ha le soluzioni x3= 1 e x₄= 2, entrambe accettabili.

L’equazione data ha dunque 4 soluzioni: S = {−2,−1,1,2}.

Si noti che l’equazione non muta se sostituisco −x al posto di x: dunque se ha una soluzione deve avere anche la sua opposta: questo osservazione avrebbe permesso di considerare uno solo dei due casi (anche se, questa volta, la trattazione di due casi non è poi stata tanto faticosa!).

Si noti altresì che l’equazionex²+ 3|x| + 2 = 0 non ha invece alcuna soluzione, e questo può essere deciso senza alcun calcolo, in quanto il primo membro non può assumere valori inferiori a 2.

È buona regola, in qualunque tipo di problema, vedere se è possibile trovare qualche scorciatoia prima di partire con le tecniche standard!

Esempio 5.24. Risolvere l’equazione |x| − |x − 1| + 1 = 0. Poiché

|x| =

 −x, se x < 0

x, sex ≥ 0 e |x − 1| =

 −x + 1, se x < 1 x − 1, sex ≥ 1 , dovremo considerare 3 casi.

1. x < 0. Allora l’equazione diventa (−x) − (−x + 1) + 1 = 0 che si riduce ad una identità: tutti gli x < 0 sono soluzioni dell’equazione.

2. 0 ≤ x < 1. Allora l’equazione diventa x − (−x + 1) + 1 = 0 che ha come soluzione x = 0.

3. x ≥ 1. Allora l’equazione diventa x − (x − 1) + 1 = 0, che non ha soluzioni.

L’insieme delle soluzioni è dunqueS =] − ∞,0].

Un caso semplice

Un’equazione del tipo |f (x)| = a può essere trattata in maniera più semplice, sempre tenendo conto della definizione e delle proprietà del valore assoluto. Precisamente:

1. |f (x)| = a, con a < 0, non ha nessuna soluzione;

2. |f (x)| = 0, equivale a f (x) = 0;

3. |f (x)| = a, con a > 0, equivale a f (x) = a ∨ f (x) = −a.

Esempio 5.25. Risolvere l’equazione |x²− 2x| = 1. Basterà risolvere le due equazioni x²− 2x = ±1 ottenendoS =¦ 1 −p

2,1,1 +p 2©.

Come già detto, torneremo con maggior dettaglio su questo tipo di equazioni nel prossimo capitolo.

Matematica di base - 1 5.2. Equazioni e sistemi in più incognite

Nel documento MATEMATICA DI BASE (pagine 161-171)