2. Numeri: dai naturali ai reali
2.4. La rappresentazione decimale dei razionali
Matematica di base - 1 2.4. La rappresentazione decimale dei razionali primi avrei, in questa uguaglianza, un diverso numero di fattori uguali a 2 a sinistra e a destra dell’uguale (m2edn2devono avere, essendo quadrati, un numero pari di fattori uguali a 2, magari nessuno, dunque a destra c’è comunque un numero dispari di fattori uguali a 2).
È molto importante segnalare che il problema in questione è squisitamente teorico: da un punto di vista pratico è possibile trovare una frazione che esprima l’ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti uguali ad 1 con un’approssimazione “grande quanto si vuole”. Per esempio, come è ampiamente noto, 1414/1000 esprime la cercata ipotenusa con le prime tre cifre decimali esatte (il che è sufficiente per la maggior parte delle applicazioni).
Strettamente collegato a questo fatto (anche se a questo livello non è facile capire qual è il legame) è il fatto che un insieme superiormente limitato di razionali può non avere né massimo né estremo superiore.
La risoluzione corretta di questi problemi porta ad una nuova estensione dell’insieme di numeri che conduce all’insieme dei numeri reali. Questa estensione produrrà un insieme sostanzialmente più ricco e complesso rispetto a quelli finora considerati. Per avere un’idea almeno intuitiva di come si possa costruire questo insieme di numeri, trattiamo brevemente il problema, interessante di per sè, della rappresentazione decimale dei numeri finora introdotti.
segreto della notazione posizionale sta essenzialmente nella possibile presenza di zeri tra le cifre. In sostanza la scrittura usata evidenzia subito, in base allaposizione, a quale potenza della base ciascuna cifra si riferisce.
Per evitare confusione è opportuno usare per le cifre (cioè per i numeri naturali compresi tra 0 eb −1) simboli semplici e tali da non creare ambiguità quando sono scritti semplicemente uno di fianco all’altro.
Il caso b = X, che porta alla scrittura decimale, è di gran lunga il più comune, anche se l’avvento dei calcolatori ha portato in auge anche i casi b = II (scrittura binaria), b = VIII (scrittura ottale) e b = XVI (scritturaesadecimale). Si noti che b deve essere maggiore di 1, cioè un simbolo non è sufficiente.
È chiaro che seb ≤ X si usano come cifre le cifre arabe; nel caso b = XVI si aggiungono a queste le lettere A,B,C, D,E,F. Siccome la base X è la più comune, in questo caso si omette l’indicazione della base. Si osservi che la baseb della scrittura si scrive sempre (10)b: infatti si ha
b = 1b1+ 0b0. Esempio 2.3.
CLXXVII = 1 × XII+ 7 × X1+ 7 × X0= (177)X= 177
= 2 × IIIIV+ 0 × IIIIII+ 1 × IIIII+ 2 × III1+ 0 × III0= (20120)III
= B × XVI1+ 1 × XVI0= (B1)XVI
Si noti anche che, quanto più grande èb, tanto più “corta” è la scrittura posizionale di un numero.
2.4.2. Cenno al cambiamento di base
Ci limiteremo solo ad illustrare brevemente la tecnica da applicare per passare da una base qualunque alla base 10 e viceversa.
Il passaggio da una base qualunque alla base 10 si può fare in maniera elementare, ricordando il significato della scrittura posizionale e scrivendo anche la base in forma decimale. L’esempio seguente illustra la tecnica e può essere applicato in ogni caso.
(241)V= 2 × V2+ 4 × V1+ 1 × V0= 2 × 52+ 4 × 51+ 1 × 50= 71 .
Per fare il passaggio inverso basterà eseguire, nel sistema in base 10, delle successive divisioni con resto del numero dato per la baseb voluta fino ad ottenere quoziente 0: i resti successivi, scritti dall’ultimo al primo, daranno la scrittura nella baseb del numero dato in base 10. Si vedano i seguenti esempi.
1. 71 : 5 = 14 con resto di 1;
2. 14 : 5 = 2 con resto di 4;
3. 2 : 5 = 0 con resto di 2:
si ha dunque (71)X= (241)V.
1. 2014 : 12 = 167 con resto di 10, cioè A;
2. 167 : 12 = 13 con resto 11, cioè B;
3. 13 : 12 = 1 con resto di 1;
4. 1 : 12 = 0 con resto di 1:
si ha dunque (2014)X= (11BA)XII.
Matematica di base - 1 2.4. La rappresentazione decimale dei razionali
2.4.3. Il caso dei razionali
Nel caso dei razionali ci limiteremo a considerare solo la scrittura decimale, con virgola. Consideriamo un numero razionalem/n, e supponiamo che la frazione usata per rappresentarlo sia ridotta ai minimi termini, cioè senza divisori comuni tra il numeratore e il denominatore; potremo anche limitarci a considerare solo i razionali positivi, per gli altri basterà aggiungere il segno “−”.
Per capire meglio il senso di quanto diremo, richiamiamo il classico procedimento della divisione con virgola tra due naturali, considerando alcuni esempi.
Esempio 2.4. Nell’eseguire la divisione 19 : 4, relativa alla frazione19/4, il processo di divisione ha termine perché ad un certo punto si ottiene come resto 0:
19 4
30 4.75 20
0 In questo caso si scrive, come è ben noto,
19 4 = 4.75 e il significato di questa scrittura è il seguente:
19
4 = 4 × 100+ 7 × 10−1+ 5 × 10−2,
con una chiara estensione della scrittura già adottata per i naturali nella formula (2.10). Si è in particolare introdotto il punto(6)per separare le cifre che si riferiscono alle potenze di 10 con esponente maggiore o uguale a zero da quelle che si riferiscono alle potenze di 10 con esponente negativo.
Un numero decimale ottenuto da una divisione in cui ad un certo punto di ottiene come resto zero si chiama numerodecimale finito.
Esempio 2.5. Consideriamo la divisione relativa alla frazione19/6:
19 6
10 3.16...
40 4
In questo caso il processo ha termine perché un resto si ripete: continuando la divisione si otterrebbe esattamente, all’infinito, la stessa cifra dopo la virgola. Come è ben noto si esprime questo fatto dicendo che la rappresentazione decimale èperiodica e la cifra, o il gruppo di cifre, che si ripete (in questo caso 6) è dettoperiodo, mentre la cifra, o il gruppo di cifre, che precede il periodo, subito dopo la virgola, si
6Come dichiarato anche nell’elenco delle notazioni, abbiamo deciso di usare il punto come separatore decimale, anziché la virgola come prescriverebbero le regole. Continueremo comunque a paralre di “divisione con la virgola”, oppure di “cifre dopo la virgola”, ecc.
chiamaantiperiodo. Se non c’è antiperiodo il decimale si chiama periodico semplice, altrimenti periodico misto. Si usa la ben nota scrittura
19
6 = 3.16 , e il significato di questa scrittura è il seguente:
19
6 = 3 × 100+ 1 × 10−1+ 6 × 10−2+ 6 × 10−3+ · · ·
= 3 × 100+ 1 × 10−1+ 6 × 10−2× 1 + 10−1+ 10−2+ · · ·
= 3 × 100+ 1 × 10−1+ 6 × 10−2×+∞X
i=0
10−i.
La somma di infiniti addendi che compare nell’espressione precedente si chiamaserie: la trattazione di questo argomento esula dagli scopi di questo testo, ma non è difficile provare che, nonostante gli infiniti addendi, tutti positivi, il suo valore è10/9. Per rendersene conto a livello elementare si può verificare direttamente che
19
6 = 3 × 100+ 1 × 10−1+ 6 × 10−2×10 9 . Una verifica ancora più diretta si ha dal seguente calcolo formale:
+∞X
i=0
10−i= 1 + 10−1+ 10−2+ · · · = 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + · · · = 1.111 . . . = 1.1 =10 9 . Esempio 2.6. Come ulteriore esempio consideriamo la divisione 40 : 33 relativa alla frazione40/33:
40 33
70 1.21...
40 7 In questo caso la scrittura che si adotta è
40
33= 1.21 , con il seguente significato:
40
33= 1 × 100+ 2 × 10−1+ 1 × 10−2+ 2 × 10−3+ 1 × 10−4+ · · ·
= 1 × 100+ 2 × 10−1+ 1 × 10−2 + 2 × 10−3+ 1 × 10−4 + ···
= 1 × 100+ 21
100 1 + 10−2+ 10−4+ · · · = 1 × 100+ 21 100×+∞X
i=0
10−2i,
dove compare di nuovo una somma simile alla precedente il cui valore è, questa volta,100/99(se ne può fare una verifica con la stessa tecnica già indicata prima).
Matematica di base - 1 2.4. La rappresentazione decimale dei razionali Esempio 2.7. È chiaro che, dovendo essere il resto minore del denominatore, ci potrà essere solo un numero finito di passi prima che uno dei resti si ripeta: precisamente se il denominatore èn si avrà una ripetizione al massimo dopon passi. Consideriamo come esempio la divisione relativa alla frazione15/7:
15 7
10 2.142857...
30 20
60 40
50 1
In questo caso il processo termina esattamente al 7◦passo perché il resto “1” si ripete: con denominatore 7 è il massimo consentito, e poiché tutte le 6 cifre ottenute fanno parte del periodo si parla didecimale periodico massimale. Si ha la scrittura
15
7 = 2.142857 .
Si noti che il processo di divisione termina quando si ripete un resto,non quando si ripete una delle cifre dopo la virgola, come mostrano gli esempi che seguono.
Esempio 2.8. Consideriamo la divisione 2249 : 1125, relativa alla frazione2249/1125:
2249 1125
11240 1.9991...
11150 10250
1250 125 da cui la scrittura
2249
1125 = 1.9991 .
Esempio 2.9. Consideriamo la divisione 1 : 9900 relativa alla frazione1/9900:
1 9900
10 0.0001...
100 1000 10000
9900 100 da cui la scrittura
1
9900 = 0.0001 .
Una scrittura del tipo di quelle considerate negli esempi si chiama unallineamento decimale, rispettiva-mente finito o periodico. Possiamo convenire, per questioni di uniformità, di scrivere un allineamento decimale finito come un allineamento decimale periodico con periodo 0.
Riguardo agli allineamenti decimali vale il seguente importante teorema.
Teorema 2.15. Nell’eseguire la divisione con virgola tra due naturali non si può mai ottenere un allinea-mento decimale con periodo 9.
Tenendo conto di questo teorema e delle osservazioni fatte negli esempi trattati possiamo concludere con il seguente teorema.
Teorema 2.16. Ogni numero razionale può essere rappresentato con un unico allineamento decimale periodico, eventualmente con periodo 0, ma mai con periodo 9.
Vale anche il viceversa: ad ogni allineamento decimale con periodo diverso da 9 corrisponde un unico numero razionale, dettofrazione generatrice, che si può trovare con un ragionamento facilmente deducibile dal seguente esempio.
Esempio 2.10. Consideriamo l’allineamento decimale 3.21973 e proponiamoci di ricavare la frazione generatrice, che chiameremox :
x = 3.21973.
Si ha, successivamente,
100x = 321.973 1000 × 100x = 321973.973.
Sottraendo la prima dalla seconda si ottiene:
99900x = 321973 − 321,
in quanto tutte le cifre dopo la virgola si eliminano nella sottrazione, essendo esattamente identiche nelle due righe. Da qui si ricava subito
x =321973 − 321
99900 = 321652
99900 =80413 24975.
Se ne deduce la (famosa!) regola: “per ottenere la frazione generatrice di un decimale periodico si scrive al numeratore la differenza fra il numero ottenuto allineando tutte le cifre fino al primo periodo compreso e quello ottenuto allineando tutte le cifre fino al primo periodo escluso, e al denominatore il numero ottenuto allineando tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo”. Questa regola funziona anche per i decimali finiti (cioè con periodo 0), ma in questo caso conviene più semplicemente scrivere una frazione che ha al numeratore l’allineamento di tutte le cifre del numero (escluso il periodo 0) e al denominatore la potenza 10n, doven è il numero di cifre che seguono la virgola (senza il periodo 0).
4.75 = 475 100=19
4 .
Matematica di base - 1 2.4. La rappresentazione decimale dei razionali Per capire, almeno a livello elementare, il perché del teorema2.16, cioè l’impossibilità di ottenere allineamenti decimali con periodo 9, osserviamo che la scrittura 0,9, sulla base delle convenzioni adottate, significa
9 × 10−1+ 9 × 10−2+ · · · = 9 10×X∞
i=0
10−i= 9 10×10
9 = 1 .
Del resto questo risultato si ottiene anche applicando la regola per la frazione generatrice, più sopra richiamata. Gli allineamenti decimali con periodo 9 si chiamano ancheallineamenti decimali impropri.
Essi in realtà possono essere pensati come una seconda scrittura degli allineamenti decimali finiti. Si ha, per esempio, 23.759 = 23.76, come è facile provare.
Per concludere questi richiami sulla rappresentazione decimale dei razionali ricordiamo i seguenti fatti relativi al tipo di allineamento decimale che corrisponde ad un dato numero razionalem/n, dove si suppone che la frazione sia ridotta ai minimi termini e doven > 0.
1. Se il denominatore è 1 oppure se, scomposto in fattori, contiene solo i numeri 2 e 5, il numero può essere rappresentato con due allineamenti decimali di cui uno finito e uno improprio, cioè con periodo 9. Il numero razionale si dice anche numero razionale decimale (in considerazione del fatto che si può ridurre ad una frazione equivalente avente per denominatore una potenza di dieci, eventualmente 100= 1, se il numero stesso è un intero).
2. Se il denominatore, scomposto in fattori, contiene solo fattori diversi da 2 e da 5, il numero può essere rappresentato con un unico allineamento decimale periodico semplice, cioè senza antiperiodo.
3. Se il denominatore, scomposto in fattori, contiene sia uno dei fattori 2 o 5, che altri fattori, il numero può essere rappresentato con un unico allineamento decimale periodico misto (cioè con antiperiodo).
2.4.4. Operazioni con i decimali
La rappresentazione dei razionali mediante allineamenti decimali è molto utile in diverse circostanze, in particolare in tutte le applicazioni tecnico-pratiche. In particolare i calcolatori utilizzano normal-mente rappresentazioni decimali, addirittura anzi solo rappresentazioni decimali finite, arrotondando o troncando opportunamente quelle illimitate. Tra l’altro gli allineamenti decimali consentono di trattare molto facilmente tutti i problemi relativi all’ordine. Le difficoltà nascono quando si considerano le operazioni di somma e prodotto. Per gli allineamenti finiti si possono applicare le tecniche note fin dalla scuola primaria, ma esse sono di difficile realizzazione pratica nel caso in cui il numero delle cifre decimali è molto grande, e in ogni caso esse non sono applicabili per gli allineamenti periodici se non in alcuni semplici casi. Per capire il problema consideriamo alcuni esempi.
Esempio 2.11. Essendo1/3= 0.3 si ha, facilmente,
3 × 0.3 = 0,9 = 1,
come è giusto. In questo caso la moltiplicazione è stata facile, perché non esiste il problema dei riporti.
Ma come potremmo calcolare 4 × 0.3 ? La tecnica della moltiplicazione richiede di iniziare “sull’estrema destra”, ma in questo caso ciò non è possibile: “l’ultima cifra” del prodotto dovrebbe essere un 2 e poi tutte le altre dovrebbero diventare 3, per il riporto, ma qual è l’ultima cifra? Si può scommettere, in un caso così semplice, che il risultato sarà 1.3, come è giusto.
Esempio 2.12. Supponiamo ora di voler calcolare 0.3 × 0.3. Passando attraverso le frazioni il calcolo è molto semplice:
0.3 × 0.3 = 1 3×1
3=1 9= 0.1 .
Lavorare direttamente con gli allineamenti decimali non è altrettanto facile (anche se, forse, con un po’
di sforzo si potrebbe arrivare al risultato corretto, tenendo conto che si sa a priori che il risultato deve essere un decimale periodico).
Esempio 2.13. A proposito delle difficoltà di calcolo con gli allineamenti decimali è interessante un proble-ma proposto nell’aprile 2001 sul sito dell’Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathéproble-matiques dell’Unversité Louis Pasteur di Strasbourg. La domanda era:
Qual è il periodo del numero decimale (1.001)2?
Il problema non è per niente semplice, nemmeno con un buon software di calcolo su computer e men che mai con una calcolatrice tascabile. Poiché
1.001 = 1000
999 = 1000 33× 37,
se ne deduce che il decimale richiesto sarà periodico semplice (il denominatore non contiene né il fattore 2 né il fattore 5) e con non più di 998000 = 9992−1 cifre! Un software come Mathematica può fornire un valore approssimato della frazione data con un arbitrario numero di cifre decimali, ma con un periodo probabile così lungo non è facile fare un controllo. Si può, più proficuamente, utilizzare un software che ricerchi il periodo eseguendo la divisione e cercando la prima ripetizione: si trova il risultato seguente, con un periodo di 2997 cifre:
(1.001)2= 1.002 003 . . . 995 996 997 999 000 001.
Il risultato è abbastanza curioso: nello sviluppo compaiono tutti i numeri di tre cifre, da 002 a 997, più 999, 000, 001, cioè tutti i numeri di tre cifre escluso il 998, e questa stranezza giustifica il perché era stato proposto questo esercizio. Il risultato potrebbe essere ottenuto anche manualmente, ma con un bel po’ di fantasia e organizzazione, come dimostrato nella soluzione proposta sul citato sito dell’università di Strasburgo.
Normalmente, come già citato, i computer fanno i calcoli con un allineamento decimale finito, ottenuto troncando o approssimando lo sviluppo decimale esatto, ma questo può comportare gravi problemi, come prova l’esempio, elementare, che segue.
Esempio 2.14. Poiché
1
3× 4 − 1 =1 3,
ci si deve aspettare che moltiplicando nuovamente il risultato per 4 e sottraendo 1 si ottenga di nuovo, e all’infinito, sempre1/3. La cosa è certamente vera se operiamo con le frazioni. Supponiamo invece di approssimare la frazione1/3con, per esempio, 0.3333 (quattro cifre decimali esatte: l’errore è più piccolo di un decimillesimo), e di ripetere il calcolo indicato dieci volte:
((((((((((0.3333 × 4 − 1) × 4 − 1) × 4 − 1) × 4 − 1) × 4 − 1) × 4 − 1) × 4 − 1) × 4 − 1) × 4 − 1) × 4 − 1) .
Matematica di base - 1 2.5. I numeri reali Otteniamo come risultato −34.6192, cioè un valore completamente inaccettabile! Usando una migliore approssimazione avremmo ottenuto un risultato migliore, ma aumentando il numero di ripetizioni avremmo comunque ottenuto un valore sballato.
Si deve sempre tenere conto di questi fatti quando si opera con gli allineamenti decimali.