probabilità, concetti che verranno ora ripresi anche al fine di introdurre e descrivere la terminologia adottata nel seguito.
6.2 Fondamenti di statistica per il tracciamento delle curve di fragilità
Quello che ci apprestiamo ora a fare è dell’inferenza statistica, al fine di definire i parametri statistici necessari per tracciare le curve di fragilità del nostro sistema strutturale, sfruttando i risultati ottenuti dall’analisi dinamica incrementale pre-cedentemente realizzata. Per prima cosa dobbiamo quindi capire qual è l’oggetto della nostra inferenza statistica, ovvero qual è la grandezza che assume il ruolo di variabile aleatoria del problema. Per farlo facciamo un passo. Quando abbiamo descritto le curve IDA nel paragrafo 4.1 abbiamo detto che una qualunque analisi dinamica incrementale richiede la definizione di un parametro di DM che possa essere associato al raggiungimento di un determinato stato limite e quindi anche al collasso. Il parametro di DM ideale per i nostri scopi è risultato essere il ∆OOP , ovvero la differenza tra lo spostamento fuori piano subito dal nodo centrale del tamponamento e lo spostamento fuori piano subito dai nodi del telaio.
6.2 – Fondamenti di statistica per il tracciamento delle curve di fragilità
Così facendo, una volta tracciate le curve IDA relative ad un dato sistema strutturale, è possibile definire, per ogni accelerogramma, il valore di IM che, per quel dato accelerogramma, porta al raggiungimento si un dato stato limite. Questi valori di IM rappresentano proprio la variabile aleatoria del nostro problema di inferenza statistica. In questa tesi verrà fatto riferimento solo allo stato limite ultimo, ovvero al collasso del tamponamento, che può essere raggiunto in due modi: per fallimento dell’analisi numerica o per raggiungimento del valore di DM limite (fissato pari allo spessore t del pannello).
Nel caso in cui si volessero tracciare le curve di fragilità relative ad altri stati limite è necessario ricalcolare questi valori di IM. Per farlo è sufficiente tracciare una retta verticale passante per il valore di DM associato allo stato limite che vogliamo descrivere, individuare i punti di intersezione tra questa retta e le curve IDA e leggere le ordinate di questi punti, le quali rappresentano proprio i valori di IM cercati.
L’obiettivo di una inferenza statistica è quello di definire i parametri necessari a descrivere la distribuzione assunta dalla variabile aleatoria in oggetto. Supponendo che i valori di IM associati al collasso siano caratterizzati da una distribuzione lognormale (così come fatto in [4]) è possibile definire la funzione di fragilità come:
P (C|IM = x) = Φ ln (x/θ) β
!
(6.2) dove:
• P (C|IM = x) è la probabilità che un dato evento sismico caratterizzato da una IM pari a x provochi i collasso strutturale C;
• Φ è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria con distribuzione normale standard;
• θ è la mediana della funzione di fragilità, ovvero quel valore di IM caratteriz-zato da una probabilità di collasso pari al 50%;
• β è la deviazione standard del ln IM e può essere visto come la dispersione di IM.
Per capire bene il significato di queste definizioni è necessario fare un piccolo richiamo delle nozioni di base statistica e calcolo delle probabilità.
Innanzitutto la nostra variabile aleatoria IM è una variabile aleatoria continua, in quanto può assumere un qualunque valore reale (nel nostro caso esso è compreso tra 0 e 7 g, dove 7 g rappresenta il valore massimo di IM utilizzato per l’analisi IDA). Se IM è una variabile continua allora esiste una funzione f, definita su tutto R, avente la proprietà che, per ogni insieme B di numeri reali:
P(IM ∈ B) =Z
B
f(x) dx (6.3)
dove x è il valore assunto dalla variabile aleatoria. Tale funzione f rappresenta la funzione di densità di probabilità (sinteticamente indicata come PDF, acronimo inglese di Probability Desnsity Function).
Sempre per definizione, la funzione di ripartizione F (sinteticamente indicata come CDF, acronimo inglese di Cumulative Distribution Function) della variabile aleatoria IM è data, per ogni numero reale x, da:
F(x) = P (IM ≤ x) (6.4)
Pertanto F (x) esprime la probabilità che la variabile aleatoria IM assuma un valore minore o uguale a x.
La relazione che lega la funzione di ripartizione F alla densità f è la seguente:
F(a) = P (IM ∈ (−∞, a]) =Z a
−∞f(x) dx (6.5)
dalla quale si ricava che la funzione di densità di probabilità f è la derivata della funzione di ripartizione F .
Quando la funzione di densità di probabilità di una data variabile aleatoria è nota si dice che ne conosciamo la distribuzione o legge. L’esempio più semplice di distribuzione di una variabile aleatoria continua è la distribuzione normale, o gaussiana, la cui funzione di densità di probabilità è definita come:
f(x) = 1 σ√
2πexp
(
−(x − µ)2 2σ2
)
, ∀x ∈ R (6.6)
dove µ e σ2 rappresentano rispettivamente la media e la varianza della distribu-zione normale e sono i due parametri che ne permettono la definidistribu-zione (essi sono rispettivamente il momento del primo ordine e il momento centrale del secondo ordine).
Una considerazione importante che si può fare a proposito della distribuzione normale è che se X è una variabile con distribuzione normale (proprietà sintetica-mente indicata anche come X ∼ N (µ, σ2)) e Y è una trasformazione lineare di X, allora anche Y è una gaussiana.
Un corollario importante che si ricava da questa osservazione (facilmente dimo-strabile) è che se X ∼ N (µ, σ2), allora:
Z = X − µ
σ (6.7)
è una variabile aleatoria normale di media 0 e varianza 1. Una variabile aleatoria con queste caratteristiche è nota con il nome di normale standard. La sua funzione di ripartizione occupa un ruolo importante in statistica, pertanto ad essa è stato attribuito un simbolo specifico che è Φ. La sua definizione è la seguente:
Φ (z) = √1 2π
Z z
−∞exp
(
−t2 2
)
dt ∀z ∈ R (6.8)
Il fatto che Z sia caratterizzata da una distribuzione normale standard quando la variabile X che rientra nella sua definizione sia caratterizzata da una distribu-zione normale, ci permette di esprimere le probabilità relative ad X in termini di probabilità relative a Z. Ecco quindi spiegato il motivo per il quale nella definizione di funzione di probabilità riportata in formula (6.2) compare la CDF della normale
6.3 – Rappresentazione delle curve di fragilità con Matlab
standard. Avendo supposto che la variabile aleatoria IM sia caratterizzata da una distribuzione lognormale (che come vedremo altro non è che un caso particolare di distribuzione normale), la probabilità congiunta P (C|IM = x) è esprimibile in termini di CDF della variabile standardizzata Z, che in questo caso vale:
Z = ln (x/θ)
β = ln x − ln θ
β (6.9)
In precedenza abbiamo supposto ce la distribuzione statistica della variabile aleatoria IM sia di tipo lognormale. Una variabile aleatoria X = eN si dice che segue una distribuzione lognormale (ovvero X ∼ log X (µ, σ2)) se e solo se N = log X segue la distribuzione normale N (µ, σ2), ovvero:
se N = log X ∼ N µ, σ2⇒ X = eN ∼ log X
µ, σ2 (6.10) Della variabile aleatoria IM noi conosciamo solo la distribuzione, ma non co-nosciamo i parametri che la definiscono, in particolare non coco-nosciamo ln θ e β.
Questi parametri, però, possono essere stimati attraverso i metodi di inferenza statistica, metodi che permettono di definire tali parametri sulla base dei valori assunti dalla variabile aleatoria. Uno di questi è rappresentato dal metodo della massima verosimiglianza. Nel caso di distribuzione normale, sfruttando questo me-todo, è possibile pervenire alla definizione degli stimatori dei parametri di media µ e deviazione standard σ che caratterizzano questa distribuzione. Tali stimatori, indicati come ˆµ e ˆσ, sono definiti come:
ˆµ = 1 n
n
X
k=1
xi (6.11)
ˆσ =
v u u t
1 n −1
n
X
k=1
(xi−ˆµ)2 (6.12)
e corrispondono rispettivamente alla media e alla deviazione standard campionaria.
Confrontando la (6.9) con la (6.7) si vede bene come ln θ e β corrispondano rispettivamente alla media µ e alla varianza σ della distribuzione normale, pertanto possiamo affermare che gli stimatori di ln θ e β, indicati rispettivamente come ln ˆθ e ˆβ, si possano ottenere da quelli relativi alla distribuzione normale. Per farlo è sufficiente sostituire nelle espressioni (6.11) e (6.12) ln IMi al posto di xi, ln ˆθ al posto di ˆµ e ˆβ al posto di ˆσ ottenendo così:
ln ˆθ = 1 n
n
X
k=1
ln IMi (6.13)
ˆβ =
v u u
t 1
n −1
n
X
k=1
lnIMi/ˆθ2 (6.14)
6.3 Rappresentazione delle curve di fragilità con Matlab
Il calcolo degli stimatori dei parametri della distribuzione, e quindi il conseguente tracciamento delle curve di fragilità, è stato svolto per mezzo di uno script scritto in
linguaggio Matlab. Matlab, infatti, mette a disposizione dell’utente delle apposite funzioni che permettono di calcolare queste grandezze con grande semplicità. Le funzioni in questione sono:
• la funzione mean(X), che permette di calcolare la media dei valori nume-rici contenuti nel vettore X, ovvero restituisce il risultato della seguente espressione:
mean(X) = 1 n
n
X
i=1
xi (6.15)
dove gli xi sono i valori numerici contenuti nel vettore X. Essa pertanto è stata sfruttata per calcolare lo stimatore ln ˆθ riportato in formula (6.13);
• la funzione std(X), che permette di calcolare la deviazione standard dei valori numerici contenuti nel vettore X, ovvero restituisce il risultato della seguente espressione:
std(X) =
v u u t
1 n −1
n
X
k=1
(xi− mean(X))2 (6.16)
Essa pertanto è stata sfruttata per calcolare lo stimatore ˆβ riportato in for-mula (6.14).
Il vettore X che viene passato a queste due funzioni è rappresentato dal lo-garitmo naturale del vettore contenente le IM che per i vari terremoti (utilizzati per condurre l’analisi dinamica incrementale), hanno portato al collasso del tam-ponamento. Per questo motivo, a monte dello script, è stato necessario introdurre una serie di comandi che imponessero al calcolatore di caricare, entro opportune matrici o vettori, questi valori di IM. Per semplicità di programmazione essi sono stati preventivamente salvati all’interno di opportuni file di testo in formato .txt, così da rendere più semplice la fase di lettura e salvataggio operata dallo script.
A questo punto è stato possibile calcolare e tracciare sia la PDF che la CDF della funzione di fragilità (per quanto visto in precedenza la CDF coincide proprio con la curva di fragilità cercata). Anche in questo caso sono state sfruttate due funzioni messe a disposizione da Matlab, che sono:
• la funzione lognpdf, con la quale è stata calcolata la PDF. Essa è in grado di calcolare, in punti specifici, i valori assunti dalla funzione di densità di probabilità della distribuzione lognormale, previa passaggio all’algoritmo dei due parametri della distribuzione ln ˆθ e ˆβ;
• la funzione logcdf, con la quale è stata calcolata la CDF. Essa è in grado di calcolare, in punti specifici, i valori assunti dalla funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione lognormale, previa passaggio all’algoritmo dei soliti due parametri della distribuzione ln ˆθ e ˆβ.
Fatto ciò le curve di fragilità sono state plottate e messe a confronto con i valori di probabilità cumulata discreta. Il calcolo di questi ultimi valori di probabilità è molto semplice, in quanto è sufficiente: