Introduzione delle molle k f

3.3 – Adattamento del modello per le analisi dinamiche

più grandi del previsto). Per questo motivo l’analisi modale delle piastre è stata svolta nuovamente utilizzando un modulo elastico dimezzato. In tabella 3.12 e in tabella 3.13 sono stati riassunti i risultati ottenuti.

Tabella 3.12: Confronto T1,1con Em dimezzato: Piastra appoggiata vs Modello travi in serie 80% mtot vs Modello OpenSees 80% mtot

Campione T1,1 (s)

Piastra Modello travi in serie Modello OpenSees

appoggiata 80% mtot 80% mtot

2 0.077 0.081 0.086

3 0.095 0.107 0.091

4 0.036 0.036 0.035

5 0.024 0.019 0.017

6 0.072 0.088 0.068

Tabella 3.13: Confronto T1,1con Emdimezzato: Periodo medio piastre vs Modello travi in serie 70% mtot vs Modello OpenSees 70% mtot

Campione

T_1,1 (s)

Periodo medio Modello travi in serie Modello OpenSees

piastre 70% mtot 70% mtot

2 0.058 0.076 0.080

3 0.072 0.100 0.086

4 0.027 0.034 0.033

5 0.018 0.017 0.016

6 0.055 0.083 0.064

I risultati più convincenti sono quelli che fanno riferimento alla tabella 3.12, pertanto sia la piastra appoggiata che il modello a travi collegate in serie, con una massa pari all’80% di mtot, sono in grado di riprodurre la dinamica del modello a quatto bielle equivalenti. Per questo motivo, d’ora in poi, per ragioni di semplicità, ogniqualvolta sarà necessario definire la rigidezza del sistema o il periodo fonda-mentale di oscillazione dello stesso, si farà riferimento al modello a travi collegate in serie con massa pari all’80% della massa totale del pannello.

libertà), in cui si ha una massa mi, rappresentata dalla massa del tamponamento, collegata ad un sistema di riferimento fisso mediante una molla di rigidezza ki(dove la i a pedice sta sempre per infill). Tale rigidezza ki è quella che in precedenza è stata chiamata ktot, dunque di questo sistema conosciamo già tutto.

Figura 3.27: Schematizzazione del telaio tamponato come sistema ad 1 gdl Per simulare il posizionamento del pannello all’interno di un telaio tamponato multipiano, si è pensato di introdurre delle molle in corrispondenza dei quattro vertici del telaio. La rigidezza di queste molle rappresenta la rigidezza del telaio in corrispondenza di un determinato piano dell’edificio. A rigor di logica, più si sale verso i piani alti, più gli spostamenti del telaio si fanno importanti, quindi più basso sarà il valore di rigidezza che dovrà essere attribuito alle molle al fine di coglierne correttamente il comportamento.

Con l’introduzione di questa ulteriore molla il sistema passa dall’essere quello schematizzato in figura 3.27 a quello riportato in figura 3.28 dove di fatto veniamo ad avere due molle che lavorano in serie: la prima molla simula la rigidezza del telaio ed è caratterizzata da una rigidezza kf (dove la f sta per frame), mentre la seconda molla simula la rigidezza del tamponamento e come già detto ha una rigidezza ki. Questo sistema di molle in serie sono collegate ad una massa mi che rappresenta la massa del pannello e che, per quanto visto nel paragrafo 3.3.1, viene imposta pari all’80% della massa totale del pannello.

Figura 3.28: Schematizzazione del telaio tamponato come sistema a 1 grado di libertà e due molle

Per implementare le molle kf nel modello di OpenSees sono stati utilizzati nuo-vamente gli elementi Zero-Length. Come abbiamo già detto, si tratta di elementi che collegano due nodi con le stesse coordinate, ai quali possono essere assegnati materiali diversi in corrispondenza dei diversi gradi di libertà. Nel nostro caso il materiale da assegnare in modo opportuno è solo quello duale allo spostamento nella direzione fuori dal piano (che per noi è il grado di libertà numero 3).

La lunghezza e l’area della sezione che viene assegnata di default a questi ele-menti è unitaria. Nel nostro caso l’unità di misura usata per le lunghezze sono i millimetri, pertanto gli elementi Zero-Length avranno lunghezza pari ad 1 mm e sezione pari a 1 mm². Per definizione, la rigidezza assiale k di un elemento di questo tipo è calcolabile come:

k= EA

l (3.24)

dove E rappresenta il modulo elastico del materiale, A l’area della sezione dell’e-lemento ed l la lunghezza dell’edell’e-lemento stesso. Volendo imporre un dato valore di

3.3 – Adattamento del modello per le analisi dinamiche

k, ovvero volendo imporre la rigidezza della molla, l’unico parametro su cui pos-siamo agire è il modulo elastico E, pertanto dobbiamo definire l’espressione di E in funzione di k, A ed l:

E = kl

A = k ·1 mm

1 mm² = k (3.25)

Questo significa che numericamente la rigidezza k della molla è pari al modulo elastico E del materiale che deve essere applicato nella direzione fuori piano. Si è optato per la definizione di un materiale di tipo Elastic, caratterizzato da una legge costitutiva di tipo elastico-lineare sia in trazione che in compressione, ciò significa che per questo materiale l’unica informazione necessaria è il modulo elastico E, parametro che definisce la pendenza della retta nel piano σ-ε.

É facile immaginare una semplificazione del sistema riportato in figura 3.28: per esso, infatti, è possibile sostituire le due molle collegate in serie con un’unica molla di rigidezza equivalente ks data da:

k_s= 1 1 ki + 1

kf

(3.26)

Figura 3.29: Schematizzazione del telaio tamponato come sistema a 1 grado di libertà e una molla di rigidezza equivalente

Per verificare che il modello implementato in OpenSees funzioni esattamente come lo schema riportato in figura 3.29, sono stati svolti dei test che si compongono dei seguenti step:

1. si definisce la rigidezza ki della molla che simula il comportamento del tam-ponamento (questa grandezza è già stata calcolata in precedenza quando è stato definita la rigidezza del sistema di travi collegate in parallelo, si veda la formula (3.18));

2. si definisce il periodo Tn che vogliamo che il sistema venga ad avere;

3. si calcola ks in funzione del Tn impostato, come:

T_n= 2π

ω_s = 2π

sk_s m_i

= 2π

sm_i

k_s → k_s = mi

2π T_n

2

(3.27)

4. noti ki e ks, si calcola kf come:

k_f = 1 1 k_s − 1

k_i

(3.28)

5. si implementano queste molle di rigidezza kf nel modello OpenSees, modi-ficando il modulo elastico del materiale assegnato agli elementi Zero-Lenght nella direzione fuori piano;

6. si monitora l’accelerazione del nodo centrale del sistema, nodo a cui viene assegnata la massa mi;

7. sulla base di questa time-history si rappresenta la risposta del sistema nel dominio della frequenza e si definisce il periodo di oscillazione fondamentale del sistema ad 1 gdl (quest’ultima operazione viene svolta con lo stesso script implementato in Matlab e già descritto nel paragrafo 3.3.1).

Se il periodo del sistema così ottenuto risulta analogo al periodo Tn imposto, allora il telaio tamponato si comporta effettivamente come il sistema ad 1 gdl riportato il figura 3.29.

In tutta questa procedura è però importante osservare un aspetto. La rigidezza k_f così calcolata non è quella utilizzata per definire il modulo elastico del materiale assegnato agli elementi Zero-Length: infatti quella così definita è la rigidezza di una sola molla, mentre nel nostro caso le molle da applicare sono quattro, una per ogni vertice. Per questo motivo il modulo elastico E del materiale da assegnare agli elementi Zero-Length nella direzione fuori piano è kf/4, questo perché le molle lavorano in parallelo e quindi la loro rigidezza si somma (vedi figura 3.30).

Figura 3.30: Schematizzazione del telaio tamponato con le molle di rigidezza kf/4 sui vertici

Per tracciare la risposta del sistema nel dominio della frequenza e per calcolarne il periodo fondamentale di oscillazione è stato utilizzato lo stesso script scritto in Matlab adottato in precedenza. Per ovvie ragioni sono state effettuate solo alcune prove con riferimento a dei valori di Tnscelti a caso all’interno di un range compreso tra 0.1 e 1.5 s.

In tabella 3.14 sono stati riassunti i risultati ottenuti dall’analisi in questione applicata sul campione di telaio tamponato numero 2, caratterizzato da un valore di ki = 2297.80 N/mm e da una massa mi = 0.383 Ns²/mm.

3.3 – Adattamento del modello per le analisi dinamiche

Tabella 3.14: Dati e risultati dell’analisi che ha portato alla validazione del modello come descritto in figura 3.28

T_n obiettivo k_s k_f k_f/4 f_n OpenSees Tn OpenSees

(s) (N/mm) (N/mm) (N/mm) (Hz) (s)

0.3 167.832 181.057 45.264 3.333 0.3

0.6 41.958 42.738 10.685 1.667 0.6

0.9 18.648 18.801 4.700 1.133 0.9

1.2 10.490 10.538 2.634 0.867 1.2

1.5 6.713 6.733 1.683 0.667 1.5

I risultati ottenuti sono coerenti con quelli che ci aspettavamo, pertanto possia-mo affermare che il tamponamento, possia-modellato su OpenSees, lavora effettivamente come un sistema ad 1 grado di libertà collegato ad un sistema di riferimento fisso mediante una coppia di molle collegate in serie.