L’unità di apprendimento è propo-sta a metà del primo quadrimestre, dopo che gli alunni hanno avuto modo di affrontare il percorso sui numeri decimali limitati e periodi-ci e hanno imparato a trasformare una frazione in numero decimale e viceversa. Scopo di questa unità è far acquisire agli alunni una visio-ne complessiva dell’insieme dei nu-meri razionali che sarà successiva-mente ampliato con lo studio degli irrazionali.
Percorso didattico
L’acquisire il concetto di insieme dei numeri razionali e, successivamente, quello dei numeri irrazionali e dei numeri reali, è uno dei passaggi più impegnativi nel percorso didattico della classe seconda.
Il primo passo sarà quello di impara-re a collocaimpara-re corimpara-rettamente i numeri razionali sulla retta orientata, que-sto aiuterà l’alunno a vedere come ad uno stesso punto corrispondano diverse rappresentazioni di un dato
MATEMATICA
Unità 3
Competenze promosse nel percorso:
WE SVHMREVI I GPEWWM½GEVI ETTPMGERHS GVMXIVM STTSVXYRM IPIQIRXMGSQTPIWWMHIPPEVIEPXkMRHMZMHYERHSRIPIVIPE^MSRM
Traguardi disciplinari:
VMGSRSWGIVIIGSRJVSRXEVIRYQIVMIKVERHI^^I _____________________________________________ Gli obiettivi di apprendimento che evidenziano le cono-WGIR^IIPIEFMPMXkGLIGMWMEWTIXXEZIRKERSEGUYMWMXI SVHMREVIIGSRJVSRXEVIRYQIVMIKVERHI^^I VEKMSREVIGSRRYQIVMISTIVE^MSRM
GPEWWM½GEVIKPMIPIQIRXMHIMHMZIVWMMRWMIQMRYQIVMGM YXMPM^^EVIJVE^MSRMIUYMZEPIRXMIRYQIVMHIGMQEPMTIVHIRS tare uno stesso numero razionale essendo consapevoli di vantaggi e svantaggi nelle diverse rappresentazioni. HIWGVMZIVIVETTSVXMIUYS^MIRXMXVEQMXIJVE^MSRM
Finalità
___________________
Obiettivi formativi
numero oltre che a rifl ettere sull’or-dinamento dei numeri stessi. Cominciamo con il disegnare la ret-ta orienret-taret-ta, fi ssiamo l’origine A e il verso di percorrenza, osserviamo che l’origine è l’immagine del numero 0 e che, per il momento, prendiamo in considerazione solo la semiretta che ci consente di rappresentare i nume-ri maggionume-ri di 0, ma che l’insieme dei numeri razionali procede all’infi nito anche a destra dello 0 con i nume-ri negativi, concetto che gli alunni hanno già acquisito in prima lavo-rando con la rappresentazione dei numeri interi.
Proponiamo di rappresentare i nu-meri razionali 1 5, 3 5 e 7 5, e fi ssia-mo un segmento, AB, come unità di misura, u. Dividiamo l’unità di misura in cinque parti uguali, u’, e fi ssiamo altri segmenti consecutivi ad AB di lunghezza u’. Ragioniamo con gli alunni sul fatto che una unità
u’ corrisponde a 1
5, sarà facile così trovare anche i punti corrispondenti a 3
5 e 7
5 (fi g. 1).
La rappresentazione ci consente di rivedere alcuni concetti importanti:
s
cuola in attodell’unità AB per ragionare insieme sul modo migliore di suddividere tale unità, rifl ettendo anche sul fatto che le frazioni 1
3, 8
3 possono essere trasfor-mate nelle equivalenti 2
6, 16
6. Una vol-ta trovati i punti e collocate le frazioni si chiede di scrivere sotto il corrispon-dente numero decimale. Gli alunni già sanno che queste frazioni danno origine a numeri decimali periodici semplici o misti, ma la rifl essione im-portante, a questo punto, è osservare che un numero con una infi nita serie di cifre decimali, che sembra non ave-re una posizione esatta sulla linea dei numeri, in realtà lo abbiamo collocato con precisione (fi g. 4).
Ulteriori esercizi con frazioni di un tipo o dell’altro potranno servire a consolidare il procedimento visto. Sarà opportuno riproporre la rappre-sentazione con il diagramma di Venn dell’insieme dei numeri razionali ri-cordando agli alunni che il termine “razionale” deriva dalla parola latina
ratio che signifi ca rapporto, cioè il
ri-sultato di una divisione, il quoziente appunto, (da cui l’utilizzo della let-tera Q per indicare l’insieme), perciò i numeri razionali sono tutti i nume-ri che si possono rappresentare con una frazione. L’insieme N dei numeri naturali, che possono essere rappre-sentati dalle frazioni apparenti, è un sottoinsieme di Q.
La seconda parte di questa unità con-siste nella proposta di un gioco con i numeri razionali che ha lo scopo di esercitare i ragazzi nel calcolo men-tale e incrementare la sicurezza nella rappresentazione di numeri e frazio-ni. La prima versione del gioco è pre-parata dall’insegnante (vedi p. 86). MATEMATICA
il numero 0 la cui classe di equiva-lenza comprende tutte le frazioni con numeratore uguale a 0 e deno-minatore diverso da 0, il numero 1 come frazione apparente con nume-ratore e denominatore uguali, le fra-zioni proprie che sono comprese tra 0 e 1, mentre le improprie sono oltre il numero 1, il fatto che ogni nume-ro naturale corrisponde ad una clas-se di equivalenza che è formata da frazioni apparenti con numeratore multiplo del denominatore 10
5 .2 Proponiamo ora di ripetere lo stesso esercizio, ma con le frazioni 2
10, 6 10 e 14
10 utilizzando la stessa unità di misura AB che sarà però suddivisa in dieci u’ (fi g. 2).
Sarà facile confrontare con la retta precedente e vedere che i punti sono gli stessi, si tratta infatti di frazioni equivalenti. Il passaggio logico sarà poi sistemare, sulla retta dei
nume-Fig. 3 Fig. 2
ri, i numeri con una cifra decimale compresi tra 0 e 2 e osservare la cor-rispondenza tra frazioni e numeri (fi g. 3).
Si propongono altri esercizi simili utilizzando frazioni equivalenti tra-sformabili in frazioni decimali, utile, per esempio, lavorare con le frazio-ni 1
2, 1 4,
1
8 per visualizzare la po-sizione di frazioni che sono una la metà dell’altra e rendersi conto che si può procedere all’infi nito trovan-do sempre un punto a metà tra due punti. Vale la pena di confrontare con la linea dei numeri naturali dove tra un numero naturale e il suo suc-cessivo non ci sono altri numeri. Si passerà, quindi, ad analizzare le fra-zioni non decimali: l’esercizio, simile ai precedenti, consiste nel posiziona-re sulla posiziona-retta i punti corrispondenti alle frazioni 1 3, 5 6, 11 6, 8 3. Si chiede ai ragazzi di decidere la lunghezza
s
cuola in attoLa prima tabella è il tabellone del gioco: contiene 25 numeri tra natu-rali, decimali fi niti e periodici e an-che percentuali. La seconda tabella deve essere stampata due volte su due fogli di diverso colore e ciascun foglio deve essere ritagliato ricavan-do 25 tesserine di un colore e 25 tes-serine dell’altro. Si possono formare gruppi di 4/6 componenti a ciascuno dei quali si fornisce un tabellone di gioco e 25+25 tessere in modo che ogni gruppo si divida in due squadre di colore diverso. Giocando alternati-vamente le due squadre devono cer-care di mettere una tessera con una frazione sul corrispondente numero decimale, facendo attenzione alle frazioni che sono ridotte ai minimi termini o che sono rappresentate da frazioni equivalenti. Scopo del gioco è riuscire a porre cinque tessere del-lo stesso codel-lore o in orizzontale o in verticale o in diagonale, nel caso né una né l’altra delle due squadre rag-giunga l’obiettivo, vince quella che comunque ha posizionato di seguito il maggior numero di tessere. Si può rendere il gioco più impegnativo, magari solo per i ragazzi più sicuri nel calcolo, dividendo ciascuna tes-sera a metà e lasciando che siano gli alunni a ricostruire la frazione nella casella corretta (si consiglia, in tal caso, di ridurre le caselle di gioco a
MATEMATICA
4×4). Per quanto riguarda gli alunni con diffi coltà di calcolo si possono affi ancare ai compagni più compe-tenti oppure si può concedere l’uso della calcolatrice, eventualmente facendo loro assumere un ruolo di controllo dei calcoli dei compagni. Si può ipotizzare una successiva evoluzione del gioco nella quale ciascun gruppo prepari un nuovo tabellone con diversi numeri e cor-rispondenti tessere con frazioni che verrà utilizzato nel gioco da un altro gruppo. Questa evoluzione sarà un ulteriore esercizio di calcolo affron-tato con maggior interesse data la fi nalità ludica, inoltre metterà alla prova le competenze di ciascuno in ambito progettuale, pur se impiegate non singolarmente, ma nel lavoro di gruppo.
Percorso valutativo
La valutazione è riferita al percorso proposto che prende avvio dopo la conclusione dell’unità sui numeri decimali con relativa verifi ca. L’in-segnante avrà perciò in mente i casi più fragili per i quali questa attività può essere stata un’occasione di rin-forzo.
Oltre alla valutazione in itinere ba-sata sullo svolgimento degli esercizi proposti e sull’osservazione della partecipazione nelle attività di
grup-Esercizi di ordinamento che conten-gano solo frazioni, o solo numeri decimali o entrambe le rappresenta-zioni.
Per il livello essenziale si richiede che gli alunni sappiano individuare, su una retta data, i punti corrispon-denti alle frazioni indicate, con par-ticolare attenzione alle frazioni de-cimali, che sappiano distinguere tra frazioni che rappresentano numeri naturali e quelle che danno origine a numeri decimali, che sappiano ordi-nare frazioni o numeri decimali. Per il livello esperto si richiede che, dato un insieme di frazioni, sappiano scegliere l’unità di misura più corret-ta e sappiano costruire corretcorret-tamente la linea dei numeri, che riconoscano le frazioni che danno origine ai nu-meri decimali limitati da quelle che originano periodici semplici e misti, che sappiano ordinare numeri e fra-zioni, che sappiano collocare corret-tamente nel diagramma di Venn ogni tipo di numero razionale.
4 0,3 3,–6 15 2,1–6 0,–3 0,–2 3,8 0,04 50% 1,41–6 1,—36 25 4,8–3 1,5 1,5 25% 1,–7 0,0–8 16,77 0,–6 2,1–3 4,5 20% 0,3 12 3 3 10 11 3 60 4 13 6 4 12 2 9 19 5 1 25 1 2 17 12 15 11 50 2 29 6 3 2 9 6 1 4 16 9 4 25 1677 100 2 3 32 15 41 9 1 5 6 20
po, viene somministrata una verifi ca fi nale nella quale sono proposti eser-cizi con la retta dei numeri sia con la retta già disegnata e le frazioni da collegare al punto fi ssato sia eserci-zi in cui sia l’alunno a costruire la retta, esercizi di classifi cazione dei numeri razionali utilizzando il dia-gramma di Venn, esercizi tipo:
La frazione 3 2 è: maggiore di 3 compresa tra 2 e 3 compresa tra 1 e 2
Quanti numeri decimali sono compresi tra 0 e 1 2? 10 nessuno infi niti 2
s
cuola in attoMATEMATICA
Classe terza
-KVERHMTIVWSREKKMHIPPEWXSVME )YGPMHI
Unità 3
Le competenze promosse nel percorso:
WE VM¾IXXIVI IH MRXIVMSVM^^EVI HEXM JYR^MSRM I VIPE^MSRM rielaborandoli e formulando ipotesi di soluzione;
WE GSQYRMGEVI QIWWEKKM GSIVIRXM EVXMGSPEXM I TIVWSRE lizzati adeguandoli al contesto e al referente, utilizzando con consapevolezza linguaggi disciplinari complessi, codici e tecniche comunicative diverse;
WEEWGSPXEVIIHMRXIVEKMVIMRQSHSTIVXMRIRXIIGSWXVYX tivo, mettendo a disposizione le proprie risorse e ricono-scendo l’importanza del contributo personale al lavoro di gruppo.
I traguardi disciplinari, ossia come la disciplina concorre al raggiungimento delle competenze:
YXMPM^^EVIIMRXIVTVIXEVIMPPMRKYEKKMSQEXIQEXMGS ETTPMGEVIRIPPEVIEPXkKPMWXVYQIRXMQEXIQEXMGMETTVIWM VM¾IXXIVIWYPPIGSRSWGIR^ITSVXERHSIWIQTMIGSRXVS esempi adeguati; GPEWWM½GEVIPIJSVQIRIPTMERSIRIPPSWTE^MS VETTVIWIR tazioni e relazioni). _____________________________________________ 7EMRXIVVSKEVWMITSVVIHSQERHIWYMHEXMTVSTSWXM 7EGSKPMIVIMRIWWMIPIVIPE^MSRMXVEMHEXMTVSTSWXM %TTPMGEIXVEWJIVMWGIMRGSRXIWXMHMZIVWMPIVIKSPIEGUYMWMXI )WTVMQIZIVFEPQIRXIMRQSHSGSVVIXXSVEKMSREQIRXMI argomentazioni. 6MTVSHYGI½KYVIIHMWIKRMKISQIXVMGMYXMPM^^ERHSMRQSHS appropriato e con accuratezza opportuni strumenti, anche in base ad una descrizione fatta da altri.
6MWTIXXEPIVIKSPIHIPKVYTTS 1IXXIEHMWTSWM^MSRIPIVMWSVWIHIPKVYTTS Finalità ___________________ Obiettivi di apprendimento
Il percorso si snoda partendo dalla fi gura di un grande personaggio del-la matematica, Euclide, ed è pensato per la classe terza, infatti si fa riferi-mento a fi gure geometriche presen-tate durante quest’anno e soprattut-to è necessario rigore nel linguaggio, che dovrà essere acquisito in vista del passaggio alle superiori.
Sarà interessante proporre la fi gura di Euclide nel percorso di orienta-mento, nel quale vengono presentati diversi personaggi e i loro contributi signifi cativi in vari ambiti, e quello che è conseguito dal libro Gli
ele-menti, base della geometria
eucli-dea, quella che stanno imparando a conoscere a scuola.
Successivamente si farà un breve
ex-cursus sulle geometrie non euclidee.
L’idea di mostrare le geometrie nate dalla negazione del quinto postulato, quelle cioè non euclidee, nasce per incuriosire e appassionare i ragazzi, approfondendo alcuni aspetti della matematica che non conoscono, sco-prendo così che la matematica che si studia a scuola è solo un aspetto, molto limitato, di una disciplina più ampia e affascinante.
Percorso didattico
Inizialmente si presenta la fi gura di Euclide, sulla cui vita non ci sono molte informazioni, come spesso ac-cade per i matematici dell’antichità. Raccontiamo quindi che è vissuto approssimativamente tra gli anni 325 e 265 a.C., e sembra che abbia studiato ad Atene, con i discepoli di Platone, mentre visse ad Alessandria dove fondò la sua celebre scuola. Scrisse un libro chiamato Elementi di
geometria in cui raccolse tutto il sapere
matematico dell’epoca, probabilmente uno dei libri più diffusi dopo la Bibbia.
s
cuola in atto MATEMATICA Ci sono due aneddoti che riguardanoEuclide e che possono essere mo-strati anche in risposta a domande che spesso gli alunni pongono a noi insegnanti.
Il primo racconta di uno studente che, iniziando a studiare la geome-tria, chiese al maestro: “Cosa ci gua-dagno a studiare queste cose?”. Si dice che Euclide chiamò un servo e gli ordinò: “Dagli una moneta, per-ché vuol lucrare della conoscenza”. Nell’altro si racconta del re Tolomeo I (generale di Alessandro Magno, ca-postipite di una dinastia di regnanti greci in Egitto che terminò con Cleo-patra nel 30 a.C.) che gli chiese: “Esi-ste in geometria una strada più breve degli elementi?”. Euclide gli rispose: “Non esiste via regia alla geometria”. Proponiamo a questo punto una ri-fl essione in piccoli gruppi sulla fi gu-ra di Euclide, sul messaggio di questi due brevi aneddoti che dovranno essere rappresentati su cartelloni e comprenda anche una piccola ricer-ca sull’argomento trattato negli Ele-menti (facendo in modo che i gruppi si occupino solo di alcuni libri). Si procede quindi con l’osservazione dei postulati alla base della geome-tria euclidea, spesso non è necessa-ria una vera e propnecessa-ria spiegazione, proprio per la natura degli assiomi. È importante solo che li osservino e sappiano a cosa si riferiscono: 1. Per due punti passa una sola retta. Si può mostrare con l’aiuto di Ge-ogebra che in effetti per un punto passano infi nite rette, ma perché la retta passi per entrambi i punti non ci sono possibilità oltre quella evi-denziata (fi g. 1).
2. Si può prolungare un segmento
in-fi nitamente.
In questo caso si possono utilizzare oggetti come ad esempio le matite o le penne, come rappresentazione dei segmenti, e accostandole l’una all’al-tra (facendo attenzione che manten-gano la stessa direzione) sperimen-teranno che potrebbero continuare con quest’operazione all’infi nito. 3. Dato un punto e una lunghezza
si può sempre descrivere una circon-ferenza.
Anche in questo caso sarà utile una rappresentazione in Geogebra che mostri loro che fi ssato un punto si può sempre tracciare un cerchio con quel punto come centro e con il rag-gio di qualsiasi dimensione (fi g. 2). 4. Tutti gli angoli retti sono
congruen-ti tra loro.
In questo caso è utile chiedere ai ra-gazzi di riconoscere degli angoli retti nell’aula che li circonda e di provare a sovrapporre alcuni di essi, diven-terà evidente che tutti gli angoli retti sono congruenti.
5. Se una retta che taglia altre due
rette determina dallo stesso lato an-goli interni minori di due anan-goli ret-ti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.
Fig. 1 Fig. 2
Rispetto ai primi quattro assiomi è chiaro che il quinto è quello meno immediato, anche in questo caso proponiamo un’immagine costruita con Geogebra (fi g. 3).
Fig. 3
Fig. 4
Mostriamo quindi prima il caso in cui abbiamo due rette parallele ta-gliate da una trasversale e osservia-mo che la somma degli angoli evi-denziati è 180° (fi g. 4).
s
cuola in attoMATEMATICA
È interessante notare che in questa geometria la proprietà che dice che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180° non vale più, avremo infatti triangoli con la somma degli angoli interni sempre minore di 180°. Introduciamo quindi la geome-tria ellittica, che si ottiene con l’ipote-si dell’angolo ottuso (fi g. 10). In questo caso invece si vede che
le due rette si incontrano, non sono quindi parallele, e la somma degli angoli evidenziati è 160,01°< 180°. Dopo questa parte introduttiva ci oc-cuperemo di mostrare ai ragazzi che negando il quinto postulato sono nate altre geometrie, accenneremo a quella iperbolica e quella sferica. Intuitivamente se dagli estremi di un segmento disegniamo due seg-menti congruenti e perpendicolari al segmento di partenza e uniamo gli estremi si ottiene un rettangolo. Questo è vero solo se è vero il quinto postulato (fi g. 5).
Fig. 5
Se neghiamo il quinto postulato pos-sono esserci due possibilità (fi g. 6):
Fig. 6
Ipotesi dell’angolo acuto
Si ottiene così l’ipotesi per una geometria detta iperbolica.
Le geometrie non euclidee sono cu-riose perché defi niscono come rette qualcosa che per noi non è una retta, come nel disegno capita al segmento CD.
Si può quindi mostrare ai ragazzi l’a-spetto di una semisfera, solido di cui hanno conoscenza, nella geometria iperbolica (fi g. 7).
Fig. 7
E far loro notare che assomiglia ad un oggetto che hanno già visto, ad esempio la tromba (fi g. 8).
Fig. 8
Inoltre possiamo disegnare una fi gu-ra che conoscono bene, il triangolo, nella geometria iperbolica, vedremo che non si possono usare segmenti che conoscono, ma che anche quelli vanno ridefi niti (fi g. 9).
Fig. 9
Fig. 10
Ipotesi dell’angolo ottuso
Si ottiene così l’ipotesi per una geo-metria detta ellittica.
Per questa geometria ci limiteremo alla semplice introduzione perché sarà compito poi dei ragazzi trova-re le caratteristiche dei triangoli e di altre fi gure.
In questa fase si dividono i ragazzi in gruppo, si fornirà loro una sfera di polistirolo, degli spilli e dei nastri. L’obiettivo è far costruire loro delle fi gure sulle sfere, in modo che rie-scano poi a fare un confronto tra la stessa fi gura nella geometria piana e in quella sferica, trovando analogie e differenze.
È prevista infi ne un’ora in cui si confronteranno le osservazioni dei diversi gruppi e si sottolineeranno alcuni punti che aiutino i ragazzi a fi ssare le differenze tra queste geo-metrie, che facciano riferimento ad esempio alle proprietà dei triangoli, che ben conoscono.
Percorso valutativo
La valutazione in questo tipo di percorso si baserà principalmente sull’osservazione durante il lavoro di gruppo e sugli interventi dei ragazzi durante la spiegazione.
s
cuola in attoPer quanto riguarda il lavoro di gruppo saranno valutate: la capacità di rispettare le regole del gruppo e di mettere a disposizione le risorse all’interno del gruppo.
Dalla qualità degli interventi dei ra-gazzi potremo valutare la loro ca-pacità di cogliere i nessi tra i dati proposti e dal prodotto del lavoro di gruppo potremo osservare la capaci-tà di applicare e trasferire in contesti diversi le regole acquisite.
Infi ne si può saggiare il grado di comprensione sul percorso svolto, tramite alcune domande aperte, tipo:
s #HE COSA SI INTENDE PER POSTULATO Quale differenza si individua tra la for-mulazione del V postulato e i precedenti? s)LLUSTRACONUNACOSTRUZIONELEVIDENZA del primo postulato: “Per due punti passa una sola retta”.
s1UALÒSTATALIPOTESICHECIHAPERMESSO di osservare la geometria iperbolica? E quella sferica?
s$ADOVEVIENELADENOMINAZIONEhEUCLI dea” della geometria tradizionale? s#OSTRUISCIUNTRIANGOLONELLETREGEOME trie studiate e illustra nelle tre situazioni come varia la proprietà che descrive la somma degli angoli interni.
Elisa Abeni
Gli autori sono insegnanti di Matematica e Scienze, Istituto secondario di I grado “Madonna della Neve”, Adro (Bs).
Luigi Larocchi Clara Manenti Maria Cristina Vacatello MATEMATICA Stefano Grazioli