accostando poliedri regolari a poliedri non regolari, sfruttando il fatto che i tasselli base costituiscono un cubo e tassellano lo spazio; incollandoli in modo opportuno è possibile vederci altri solidi, che tassellano lo spazio a loro volta.
4.4
Laboratorio per la classe III: sezioni piane del
cubo
In terza abbiamo scelto un’attività che comportasse la scoperta di legami tra geometria piana e solida, perché la docente mi aveva riferito delle forti difficoltà che gli alunni manifestavano nel collegare fatti di geometria solida ad altri di geometria piana. Ad esempio, risultava per molti complesso visualizzare figure piane all’interno di un solido o passare da un solido al suo sviluppo piano o viceversa. Di conseguenza abbiamo deciso di farli riflettere su come trovare figure piane in un solido, nel modo più semplice da visualizzare, e come classificarle per poterci lavorare, anche nell’ottica delle prove INVALSI in cui spesso è richiesta la soluzione di quesiti che si risolvono cercando relazioni tra figure piane e figure solide o di costruire determinate figure piane all’interno di un solido.
Abbiamo quindi proposto come materiale di lavoro sia dei cubi trasparenti da riempire per metà d’acqua o di un qualche liquido colorato e poter muovere per vedere le forme che la superficie del liquido assume, sia dei cubi realizzati in spugna da fiori da poter tagliare. In una lezione abbiamo utilizzato anche l’ausilio della LIM con un software di geometria dinamica, ma per poco tempo. La spugna in figura è quella prima del taglio.
Come solido è stato scelto il cubo perché più facile da visualizzare e da gestire. Definizione 9. Un cubo è un poliedro con sei facce quadrate congruenti e perpendicolari a due a due. Si chiama diagonale il segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia.
L’inizio dell’attività consisteva nel ricordarne brevemente la definizione citata e le caratteristiche, riassumo nell’elenco quello che è venuto fuori nella discussione: • Tutte le facce sono quadrati di lato uguale e tutti gli spigoli sono uguali; • Ha 8 vertici, 12 spigoli e 6 facce;
• Tutti gli angoloidi sono uguali;
• Facce adiacenti sono perpendicolari, quindi tutti i diedri sono uguali; • Il cubo verifica la formula di Eulero (cioè che, se F è il numero delle facce,
V quello dei vertici e S quello degli spigoli vale F − S + V = 2) infatti 6 − 12 + 8 = 2;
• La superficie del cubo è 6 volte quella di una faccia e quindi, se il lato misura l, è 6l2;
• Il volume del cubo dipende dal lato e nelle notazioni precedenti è l3;
• Un cubo ha 4 diagonali uguali e, conoscendo la misura dello spigolo, posso calcolare quella della diagonale che vale l√3
Arrivati a questo punto, in classe è spontaneamente partita un’altra piccola discussione su che cosa volesse dire sezionare un cubo (o, più in generale, un poliedro). Uno degli alunni ha proposto di tradurre matematicamente l’atto di tagliare con quello di condurre un piano e vedere che cosa si formasse su questo piano dove "toccava" (intersecava, cioè) il poliedro stesso, idea che è stata accolta dalla classe positivamente, portando la discussione su quando le sezioni potessero essere significative e su che tipo di figura si potesse formare. Quanto segue è quanto è emerso:
• nessun punto, vertici, spigoli e facce non costituivano sezioni significative, in quanto corrispondevano all’idea di condurre dei piani rispettivamente esterni al poliedro, che ne contenevano solo un vertice, solo uno spigolo o solo una faccia;
• la sezione deve essere necessariamente una figura piana, visto che la si ottiene su un piano;
• un piano "messo bene" (cioè che eviti i casi non significativi) interseca una faccia in un segmento e uno spigolo in un punto e tali segmenti e punti sono rispettivamente lati e vertici di un poligono;
• al minimo, un piano taglia tre spigoli e tre facce del poliedro, perché meno di tre comporterebbe ricadere in un caso già escluso;
• in ogni caso, il piano incontra tante facce quanti spigoli del poliedro. A questo punto, è stato seguito un approccio operativo in un primo momento, usando un cubo trasparente o un cubo di spugna e procedendo in base al numero di lati, e poi più critico, giustificando e motivando quanto visto. Questa attività in una scuola primaria si può fermare ad una descrizione qualitativa oppure alla realizzazione dello sviluppo di particolari poliedri derivanti dalle sezioni o ancora alla semplice osservazione dei vari casi. In ogni caso non sono citate qui le definizioni degli altri solidi studiati perché non sono state ripetute, se non per motivare particolari affermazioni e comunque non in maniera precisa e formale. Invece quelle dei poligoni sì perché costituivano programma degli anni precedenti e non tutti gli studenti le ricordavano in modo preciso. Anzi, ripeterle ha anche prodotto discussioni interessanti, portando alla luce anche alcuni misconcetti. Visto che al minimo un piano deve tagliare tre spigoli, abbiamo rivisto la definizione di triangolo insieme e poi cercato di descrivere le sezioni triangolari.
Definizione 10. Un triangolo è un poligono di tre lati. Se un triangolo ha una coppia di lati uguali, è detto isoscele; se li ha tutti e tre uguali è detto equilatero; se li ha tutti diversi è detto scaleno.
Come hanno detto gli studenti, tali sezioni si ottengono sezionando le tre facce che si intersecano in un vertice fissato e i loro vertici sono i punti in cui il piano incontra gli spigoli che concorrono in quel vertice. In particolare abbiamo osservato e motivato, almeno in modo intuitivo, che
1. si possono ottenere triangoli scaleni, isosceli o equilateri a seconda della distanza dei vertici del triangolo dal vertice del cubo fissato: in particolare se queste sono tutte diverse il triangolo sarà scaleno, se solo due sono uguali il triangolo sarà isoscele, se sono uguali tutte e tre il triangolo sarà equilatero;
2. l’area della sezione è massima se il piano passa per i tre vertici del cubo che sono gli altri estremi degli spigoli con in comune il vertice fissato e la sezione è un triangolo equilatero che ha per lati le diagonali delle facce. Queste affermazioni sono state motivate in modo molto ingenuo ed informale, nonostante le idee chiave siano venute fuori, per non appesantire l’attività. Una dimostrazione di queste affermazioni però potrebbe costituire un interessante adattamento in classi della scuola superiore in possesso di nozioni di geometria solida e di trigonometria se si vogliono studiare i triangoli più approfonditamente, magari cercando di capire se si possono ottenere triangoli ottusangoli, acutangoli o rettangoli, o anche del solo teorema di Pitagora per dimostrare le affermazioni.
Sezioni di questo tipo dividono il cubo in due poliedri: una piramide a base triangolare e un poliedro più complesso.
Un quadrilatero lo posso ottenere tagliando quattro spigoli e quindi quattro facce. Almeno due facce sono tra loro parallele, perché le facce del cubo sono parallele a due a due, quindi ho due possibilità: o il piano taglia due coppie di facce parallele o tre facce con un vertice in comune e la quarta parallela a una delle tre.
Nel primo caso, i ragazzi hanno osservato che se, un piano taglia due piani paralleli, le rette che determina sono parallele perché c’è un piano che le contiene entrambe (quello secante) e non hanno punti in comune (visto che sono indivi- duate su piani paralleli; di conseguenza, tagliando due coppie di facce parallele, si ottiene un quadrilatero che ha necessariamente due coppie di lati paralleli (e cioè è un parallelogramma). Abbiamo quindi rivisto insieme la definizione di parallelogramma, così come i casi particolari di rombo, di rettangolo e di quadrato.
Definizione 11. Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli. Un rombo è un parallelogramma con tutti i lati uguali, un rettangolo è un parallelogramma con i lati consecutivi perpendicolari. Un quadrato è un parallelogramma con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali.
Su questo è venuto fuori un interessante misconcetto che la maggior parte degli studenti possedeva fino dalle elementari, ovvero la maggior parte degli studenti attribuiva il nome romboide ad un rombo disegnato in maniera diversa da come usualmente viene disegnato:
in riferimento alla figura, infatti, quello sulla sinistra viene chiamato romboide, mentre quello sulla destra rombo. La docente mi ha spiegato che l’abitudine di chiamarli in modo diverso spesso nasce alle scuole primarie, in cui gli insegnanti spesso insistono più sul fatto che nel rombo le diagonali siano perpendicolari e i lati siano uguali che sul fatto che il rombo sia un particolare parallelogramma.
Utilizzando il cubo trasparente abbiamo cercato di vedere insieme quali casi particolari si realizzassero:
1. prendendo un piano per due vertici opposti che tagliava a metà gli altri due spigoli, il parallelogramma che si ottiene ha i lati uguali e quindi è un rombo;
2. si può ottenere un rettangolo se, partendo con il cubo appoggiato su un banco, lo si ruota rispetto ad uno degli spigoli appoggiati sul banco di modo che il piano individui una coppia di vertici consecutivi (ovvero sulla stessa faccia) alla stessa distanza da una delle facce perpendicolari agli spigoli su cui ci sono i due vertici, ma tagli sempre due coppie di facce parallele;
3. se invece si lascia il cubo sul banco l’acqua forma la superficie di un quadrato.
In una scuola superiore, questa attività può essere proseguita ricercando le condizioni che il piano secante deve soddisfare per avere una particolare figura, sia sul piano algebrico che su quello puramente geometrico.
Abbiamo anche esaminato cosa succedeva facendo effettivamente il taglio, cioè quali poliedri risultassero. Nel caso del rombo o del parallelogramma generico, abbiamo osservato che non si ottenevano solidi notevoli mentre, invece, negli altri due casi i poliedri in cui il cubo era diviso erano una coppia di prismi retti, tagliando lungo il rettangolo, o di parallelepipedi retti, tagliando lungo il quadrato.
Nell’altro caso, per l’osservazione fatta prima, il quadrilatero che si ottiene ha sicuramente una coppia di lati paralleli quindi o ne ha una sola ed è un trapezio o ne ha due ed è un parallelogramma. Dopo aver fatto quest’osservazione, abbiamo ripreso la definizione di trapezio.
Definizione 12. Un trapezio è un quadrilatero che ha una sola coppia di lati paralleli. Un trapezio è isoscele se i lati non paralleli sono uguali, è scaleno se essi sono diversi ed è rettangolo se uno di questi lati è perpendicolare ai due paralleli.
Un po’ di manipolazione ha permesso di intuire e successivamente motivare che
1. si può ottenere un trapezio scaleno o isoscele ma non uno rettangolo: (a) per ottenere un trapezio basta che il piano secante non sia perpendi-
colare alle facce parallele;
(b) perché questo trapezio sia isoscele è sufficiente che, oltre a ciò, il piano tagli le facce parallele in modo che, su ognuna di queste facce, il segmento sezione formi un angolo di 45◦ con gli spigoli toccati; (c) per ottenere un trapezio rettangolo dovrei tagliare con un piano
perpendicolare alle facce parallele che però non individua un trapezio. 2. se il piano secante è perpendicolare alle facce parallele, entrambi i lati della
sezione sulle facce incidenti sono perpendicolari a quelli tagliati sulla coppia di facce parallele, pertanto sono anch’essi paralleli e, di conseguenza, il quadrilatero è un rettangolo, che è un particolare tipo di parallelogramma; 3. se, partendo dal cubo sul banco, si ruota il cubo intorno ad un suo spigolo
di modo che l’acqua arrivi a toccare le facce nella configurazione in esame, si può ottenere anche un quadrato, se la lunghezza del segmento su una delle facce parallele è pari al lato.
Abbiamo anche notato che le sezioni rettangolari di questo tipo spezzano il cubo in due prismi, mentre quelle trapezoidali in tronchi di piramide.
Questa parte dell’attività può essere ampliata a livello di scuola superiore, aggiungendo vere e proprie dimostrazioni.
L’esplorazione si è conclusa in modo naturale aumentando il numero di lati e vedendo quanti spigoli potesse incontrare al massimo il piano secante e che tipi di poligono si potessero formare. Il cubo ha 6 facce, quindi non è possibile
ottenere sezioni con più di 6 lati, però è possibile ottenere pentagoni ed esagoni. Si formano pentagoni se il piano secante incontra 5 facce ed esagoni se le incontra tutte. Con il cubo con l’acqua, tutta la classe si è accorta del fatto che le figure variassero con continuità.
Un possibile approfondimento di questa parte può essere costituito dalle attività seguenti:
• dimostrazione che non si possono ottenere pentagoni regolari; • costruzione dei due poligoni (ma anche degli altri casi) come sezioni; • esplorazione delle sezioni con piani perpendicolari alle diagonali;
• analisi dei poliedri ottenuti con sezioni piane del cubo pentagonali o esagonali ed eventuale costruzione di altri poliedri particolari;
• sezione di altri poliedri regolari, ad esempio il tetraedro.