Seguono le schede delle attività, nell’ordine in cui esse sono riportate nelle descrizioni precedenti. Per ciascuna delle tre serie, la prima è quella del docente, la seconda quella per lo studente.
Le schede sono riportate nella loro versione "base", così come sono state proposte in classe, senza gli adattamenti descritti nel paragrafo precedente. Inoltre, sono relative all’attività in classe che può essere svolta a prescindere dalla visita a una mostra: del resto, al giorno d’oggi sono molte mostre di materiale didattico in cui gli organizzatori mettono a disposizione dei docenti del materiale aggiuntivo per estendere il contenuto a un’attività in classe, che può essere di rielaborazione oppure di approfondimento, oppure ancora di espansione di quanto esperito con nuove esperienze. Tale materiale può consistere in diversi supporti, sia fisici sia digitali sia cartacei.
Gli studenti di prima hanno reagito alla consegna delle schede come se fossero abituati ad avere del materiale extra su cui lavorare, anche se magari non necessariamente per una didattica laboratoriale. In seconda, invece, un po’ di stupore c’è stato, ma soprattutto perché l’insegnante spesso assegna come compito una relazione da compilare man mano sulle attività che, quindi, funge essa stessa da scheda. Così anche in terza, visto che la docente preferisce redigere una scheda per l’attività in forma collaborativa e condivisa con gli studenti per via telematica.
Scheda per il docente
Scopo: studio di figure geometriche, riconoscimento di relazioni, comprensione
dell'esistenza di legami aritmetica-geometria.
Strumenti: un certo numero di geopiani per costruire diversi poligoni regolari, carta
e penna, le schede per studenti, materiali per misurazioni di lunghezze e angoli.
Tempi consigliati: A seconda del livello di approfondimento che si vuole ottenere e
del livello scolastico di riferimento, nella sperimentazione in una prima della secondaria di primo grado l'attività è durata 8 ore non consecutive. Al di fuori delle ore dedicate all'attività, però, sarebbe meglio riprendere alcuni aspetti e discuterne anche nelle ore istituzionali, se opportuni.
Metodo: Lavoro in gruppi di 4-5 persone, con discussione sia all'interno del gruppo
di lavoro che all'interno del gruppo classe. È consigliabile chiedere ai ragazzi di scrivere un piccolo resoconto proprio durante tutta l'attività in cui segnarsi
misurazioni, osservazioni, congetture, fasi della discussione, descrizioni anche sotto forma di disegni sia di tenerne uno di gruppo. Se ne può chiedere uno di gruppo se i gruppi di lavoro rimangono invariati.
Funzione dell'insegnante: L'insegnante ha la funzione di coordinare il lavoro,
guidando gli alunni nella scoperta degli strumenti, fornendo spunti di riflessione e problemi nuovi e mediando le discussioni interna ai gruppi e quella di classe con il fine di istituzionalizzare le conoscenze.
Attività: L'attività si compone dei seguenti passi, che possono essere eventualmente
saltati o riformulati o presi singolarmente a seconda del livello scolastico e di che cosa si vuole fare osservare:
1. Presentazione del geopiano e guida alla scoperta dello strumento, eventualmente con qualche cenno storico all'uso del filo per racchiudere superfici;
2. Studio dei poligoni regolari: problema della determinazione degli angoli interni, discussione di soluzioni e di eventuali generalizzazioni;
3. Esperimenti con gli stellati: scomposizioni notevoli, osservazione di simmetrie rispetto ad alcuni assi di simmetria, osservazione di analogie e differenze tra figure, raccolta dei dati;
4. Eventuale fase di scoperta che può muovere i passi (o essere fatta da sola) da quanto detto sulla sezione aurea o su rapporti tra diagonale e lato del poligono di partenza;
5. Formulazione di congetture e ricerca di relazioni per formare poligoni stellati; 6. Verifica di tali congetture e loro eventuale motivazione, guidata o tramite il
7. Analisi autonoma di un altro caso.
Scendendo più nel dettaglio: l'insegnante può muovere i passi dalla grande quantità di motivi decorativi a stella, facendo vedere anche delle immagini e ponendo il
problema della loro costruzione, a partire da poligoni regolari o da circonferenze a seconda del background di conoscenze già in possesso degli alunni. A seguire, può mostrare il geopiano, appunto facendo riferimento alla tradizione che risale ai tempi dell'antico Egitto di suddividere i terreni tirando corde che quindi fa vedere che la matematica dello spago è una matematica che si vede fin dalle origini. Dopo ciò, divide gli alunni in gruppi di 4-5 persone e distribuisce un certo numero di geopiani per gruppo. Sta attento alle osservazioni degli allievi, in modo da porre, al momento opportuno, la questione sugli angoli (e monitorare la ricerca dei gruppi). Se viene fuori durante la discussione, può porre l’accento sul fatto che il risultato sulla somma degli angoli interni di un poligono non dipende dal fatto che il poligono sia regolare. A seconda del livello scolastico, può anche far notare che non è necessario che il poligono sia concavo o richiedere una maggiore generalità negli argomenti. A questo stadio, proporrà di provare a saltare vertici e ad analizzare le figure che vengono fuori, anche qui tenendo conto del livelloscolastico e del programma svolto; nel caso i ragazzi non osservino la presenza di assi di simmetria, cercherà di farceli arrivare con l’analisi di figure simmetriche. Incoraggerà anche i ragazzi a raccogliere i dati sulle osservazioni per poi fare opportune congetture. Queste saranno poi discusse in seguito e argomentare e l’insegnante potrà utilizzare questa fase per eventualmente fare collegamenti anche con altri concetti, sempre a seconda del percorso scolastico seguito.
Valutazione: Ai fini della valutazione del percorso, si possono considerare i
resoconti di cui è stata consigliata la scrittura, insieme alla partecipazione nelle discussioni sia durante l’attività che fuori, a un piccolo test basato su prove standardizzate (e opportunamente modificate a seconda del livello scolastico e dell’obiettivo che si vuole raggiungere) e all’analisi autonoma di un caso nuovo, che può fare parte dell’attività oppure essere un momento di verifica.
Scheda per lo studente
Cosa succede se unite con il filo, in successione, i vertici chiodati? C’è una caratteristica comune alle figure? Se sì, quale?
Quanto vale l’angolo interno di un poligono regolare? (considerare vari poligoni)
Cosa succede se, invece, anziché collegare i vertici in successione, ne saltiamo qualcuno?
Possiamo descrivere la forma del poligono stellato partendo non da un poligono esterno ma da quello che si forma dentro: come? Quali caratteristiche hanno le figure in gioco?
Viene sempre fuori un poligono stellato?
Ma, se ne ottengo, quanti diversi ne ottengo dallo stesso poligono?
Per ogni poligono di partenza: è possibile capire quanti controlli fare usando le proprietà?
Saranno importanti le successioni dei vertici. Scrivile sul tuo quaderno. Per riassumere, costruisci una tabella sul quaderno con un’intestazione come questa: Numero vertici (n) Salto (k) Numero di giri È un poligono convesso? È un poligono stellato? Quante punte ha? Come lo chiamiamo?
Che dipendenza c’è tra il salto e la formazione di poligoni convessi? E stellati? Può succedere che ci siano meno punte di quanti sono i lati del poligono di partenza?
Abbiamo 100 carte numerate da 1 a 100 e sette giocatori A, B, C, D, E, F, G messi intorno a un tavolo rotondo in modo che procedendo in senso orario partendo da A si arrivi a G in ordine alfabetico. Un giocatore comincia a dare le carte da C in senso orario e senza saltare nessuno. Ad A capita come prima carta la numero 6. Che relazione c’è tra i numeri che sono sulle carte di A?
Riscrivendolo come nel quesito precedente (ogni volta che è compiuto un giro l’etichetta del vertice aumenta di n), come diventano tutte le successioni scritte prima?
Scheda per il docente
Scopo: studio di figure geometriche, riconoscimento di relazioni.
Strumenti: figure magnetiche, carta e penna, le schede per studenti, materiali per
misurazioni di lunghezze e angoli, cartoncino, forbici e colla.
Tempi consigliati: A seconda del livello di approfondimento che si vuole ottenere e
del livello scolastico di riferimento, nella sperimentazione in una seconda della secondaria di primo grado l'attività è durata 6 ore non consecutive. Al di fuori delle ore dedicate all'attività, però, sarebbe meglio riprendere alcuni aspetti e discuterne anche nelle ore istituzionali, se opportuni.
Metodo: Lavoro in gruppi di 4-5 persone, con discussione sia all'interno del gruppo
di lavoro che all'interno del gruppo classe. È consigliabile chiedere ai ragazzi di scrivere un piccolo resoconto proprio durante tutta l'attività in cui segnarsi
misurazioni, osservazioni, congetture, fasi della discussione, descrizioni anche sotto forma di disegni sia di tenerne uno di gruppo. Se ne può chiedere uno di gruppo se i gruppi di lavoro rimangono invariati.
Funzione dell'insegnante: L'insegnante ha la funzione di coordinare il lavoro,
guidando gli alunni nella scoperta degli strumenti, fornendo spunti di riflessione e problemi nuovi e mediando le discussioni interna ai gruppi e quella di classe con il fine di istituzionalizzare le conoscenze.
Attività: L'attività si compone dei seguenti passi, che possono essere eventualmente
saltati o riformulati o presi singolarmente a seconda del livello scolastico e di che cosa si vuole fare osservare:
1. Se non è già stato fatto, partire dalla tassellazione del piano e vedere che nei vertici dei poligoni “tassello” la somma degli angoli interni deve essere sempre 360°:
2. Notare che , se si parte da una configurazione in cui la somma degli angoli in un vertice è minore di un angolo giro, è possibile incollare i tasselli uscendo dal piano costruendo un angoloide;
3. Parallelamente, introdurre il concetto di diedro operativamente e confrontare i due oggetti;
4. Analizzare le due coppie di oggetti in solidi delimitati da poligoni e nel cubo, che è il solido più facile da visualizzare, per introdurre il problema di tassellare lo spazio;
5. Tramite il cubo, portare l’attenzione sul fatto che il cubo soddisfa delle proprietà che altri solidi non verificano per introdurre il problema della regolarità;
6. Definire i poliedri regolari e dimostrare che sono solo di cinque tipi, al contrario dei poligoni;
7. Vedere che l’unico poliedro regolare che tassella da solo lo spazio è il cubo. Scendendo più nel dettaglio: l'insegnante può partire dalle pavimentazioni e dal problema di stabilire se è possibile riempire un dato spazio con solidi di un certo tipo o una data regione di piano con tessere di un certo tipo, a seconda del background dei ragazzi. A seguire, è possibile analizzare oggetti solidi costruiti partendo da
configurazioni che non sono tassellazioni o da tassellazioni del piano ottenute levando tasselli e descriverne le proprietà. L’attività dei gruppi può appunto essere quella di costruirli e in questo l’insegnante deve stare attento alle osservazioni degli allievi, in modo da porre, al momento opportuno, la questione sugli angoli (e monitorare la ricerca dei gruppi). Se viene fuori durante la discussione, può porre l’accento sul fatto che il risultato sulla somma degli angoli interni delle facce di un angoloide non dipende dalla scelta dei poligoni facce. A seconda del livello scolastico, può anche far notare che non è necessario che le facce siano poligoni regolari o richiedere una maggiore generalità negli argomenti. A questo stadio, potrebbe proporre di provare a sezionare due semipiani che si incontrano in una retta con un piano perpendicolare a tale retta e ad analizzare e confrontare le figure che vengono fuori, anche qui tenendo conto del livello scolastico e del programma svolto; Incoraggerà anche i ragazzi a raccogliere i dati sulle osservazioni per poi fare opportune congetture. Queste saranno poi discusse in seguito e argomentare e l’insegnante potrà utilizzare questa fase per eventualmente fare collegamenti anche con altri concetti, sempre a seconda del percorso scolastico seguito. Infine proporrà di studiare il caso dei poliedri regolari e eventualmente di tagliarli per costruire altre tassellazioni.
Valutazione: Ai fini della valutazione del percorso, si possono considerare i
resoconti di cui è stata consigliata la scrittura, insieme alla partecipazione nelle discussioni sia durante l’attività che fuori, a un piccolo test basato su prove standardizzate (e opportunamente modificate a seconda del livello scolastico e dell’obiettivo che si vuole raggiungere) e/o alla soluzione autonoma di un caso nuovo, che può fare parte dell’attività oppure essere un momento di verifica a parte.
Scheda per lo studente
Ricordiamo alcune proprietà delle tassellazioni del piano:
Che cosa si intende per “tassellazione” del piano? Il tassello deve essere per forza un poligono regolare? Qual è la proprietà chiave sui vertici?
Nel caso di tasselli con un solo poligono, con quali poligoni sicuramente viene rispettata? Ci sono altre configurazioni con più poligoni regolari ma diversi? Prova con due e poi con tre.
Cerchiamo adesso di capire cosa succede se facciamo la stessa cosa uscendo dal piano. Lavoriamo su una configurazione che costituisce già una tassellazione del piano e immaginiamo di tagliare lungo i lati dei poligoni. Cosa succede se tento di unire i poligoni uscendo dal piano e facendo attenzione a non fare
sovrapposizione? Si riesce a cominciare a creare un solido?
E se invece fossimo partiti da una configurazione che non è una tassellazione (per esempio, tre pentagoni), sarebbe possibile “incollare” i poligoni in modo che due poligoni diversi non abbiano in comune più di un lato? (Cioè, senza fare sovrapporre le parti interne). Come descriveresti la figura che ottieni?
Se ne consideri le facce (cioè i poligoni che la delimitano e prendi gli angoli di queste facce nel vertice di questa figura, com’è la somma di questi angoli rispetto all’angolo giro? Perché? (Studiare vari solidi)
Supponiamo di sezionare un certo solido con un piano perpendicolare a due facce adiacenti. Sopra tale piano, che tipo di figura che hai già trovato si incontra? Qual è la differenza fondamentale tra le due?
Adesso focalizziamo la nostra attenzione su un solido che conosciamo molto bene: il cubo. Descriviamolo: Come sono fatte le facce? Quante sono? Quanti spigoli ha? Quanti vertici ha? (Spigoli e vertici sono rispettivamente i lati delle facce e i vertici di una faccia) Quanto vale l’angolo diedro tra due facce? (Sono tutti della stessa ampiezza?) Da quante facce è delimitato un angoloide qui? Quanto misura la somma degli angoli che concorrono in un angoloide? (È coerente con quanto avevi detto prima?
Puoi tassellare lo spazio usando solo cubi il cui spigolo ha data misura?
Ci sono altri solidi le cui facce sono poligoni regolari? Questi tassellano lo spazio? Anche i parallelepipedi tassellano lo spazio?
Introduciamo adesso i poliedri regolari: sarà sufficiente che le facce siano poligoni regolari? Qual è la proprietà che devono avere gli angoloidi di un poliedro regolare? Quanti possono essercene?
Classifichiamoli per tipo in una tabella, che puoi rifare sul tuo quaderno: Tipo di poligono Quante facce in un vertice Somma angoli in quel vertice Può essere un angoloide? Quante facce ha il solido? Nome del solido
Possiamo quindi vedere che, nonostante esistano infiniti poligoni regolari, i poliedri regolari sono solo…
Scheda per il docente
Scopo: studio di figure geometriche, riconoscimento di relazioni.
Strumenti: modelli di cubo trasparenti o in spugna, carta e penna, le schede per
studenti, materiali per misurazioni di lunghezze e angoli, forbici.
Tempi consigliati: A seconda del livello di approfondimento che si vuole ottenere e
del livello scolastico di riferimento, nella sperimentazione in una terza della secondaria di primo grado l'attività è durata 6 ore non consecutive. Al di fuori delle ore dedicate all'attività, però, sarebbe meglio riprendere alcuni aspetti e discuterne anche nelle ore istituzionali, se opportuni.
Metodo: Lavoro in gruppi di 4-5 persone, con discussione sia all'interno del gruppo
di lavoro che all'interno del gruppo classe. È consigliabile chiedere ai ragazzi di scrivere un piccolo resoconto proprio durante tutta l'attività in cui segnarsi
misurazioni, osservazioni, congetture, fasi della discussione, descrizioni anche sotto forma di disegni sia di tenerne uno di gruppo. Se ne può chiedere uno di gruppo se i gruppi di lavoro rimangono invariati.
Funzione dell'insegnante: L'insegnante ha la funzione di coordinare il lavoro,
guidando gli alunni nella scoperta degli strumenti, fornendo spunti di riflessione e problemi nuovi e mediando le discussioni interna ai gruppi e quella di classe con il fine di istituzionalizzare le conoscenze.
Attività: L'attività si compone dei seguenti passi, che possono essere eventualmente
saltati o riformulati o presi singolarmente a seconda del livello scolastico e di che cosa si vuole fare osservare:
1. Partendo dai modelli, per prima cosa riprendere la definizione di cubo e le proprietà di base;
2. Riflettere sull’idea di sezione piana, specificando quanti spigoli e facce può tagliare (almeno e al più) e che relazione c’è tra il numero di spigoli tagliati e il numero delle facce tagliate;
3. Vedere intanto quali sono le configurazioni interessanti, cioè quali danno sezioni non banali;
4. Cominciare individuando i piani con sezioni triangolari, osservando che tipi di triangoli formano e che tipi di solidi otteniamo immaginando di non vedere la sezione;
5. Lo stesso con i quadrilateri, analizzando le possibili posizioni in cui il piano taglia il cubo e le possibili casistiche sui quadrilateri che si formano;
6. Passando alle sezioni pentagonali, vedere che il piano taglia due facce parallele e quindi dedurre come può essere inteso il pentagono (e che non può essere regolare);
7. Concludere con un’occhiata agli esagoni che si ottengono e anche al fatto che è possibile variare le figure con continuità.
Scendendo più nel dettaglio, l’insegnante può partire dall’analisi di decorazioni con solidi tagliati e dal concetto di sezione, per introdurre il problema di capire cosa si può ottenere sezionando un certo solido. Il solido più semplice da cui cominciare è il cubo, perché è più facile da visualizzare: di questo è meglio ripercorrerne definizione e proprietà. Fatto ciò, è necessario capire cosa vuol dire sezionare un cubo con un piano, quindi la discussione potrebbe partire dal capire il numero minimo di facce e spigoli (così come quello massimo) e che relazione esiste tra questi due numeri, proseguendo poi nell’osservazione dell’esistenza di sezioni “banali” (ovvero con piani passanti per una faccia, piani che non intersecano il cubo, piani che passano solo per uno spigolo o per un vertice) che non sono interessanti. A questo punto, dalla discussione dovrebbe essere emerso che si possono ottenere triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni. A seconda del livello scolastico è possibile fare esibire le varie casistiche, giustificare con un minimo di considerazioni su come è messo il piano o far studiare come variano le sezioni dimostrandone le proprietà. Nel dettaglio, questa parte dell’attività comincia con lo studio delle sezioni triangolari cercando di vedere come deve essere messo il piano, che tipi di triangoli si possono formare, come variano le aree delle sezioni, per poi continuare aumentando il numero di lati. Contestualmente si possono studiare anche i poliedri in cui viene diviso il cubo, descrivendoli e realizzandone sviluppi piani. Ovviamente, con più strumenti a disposizione, si possono fare più tipi di esplorazione e differenziare i gruppi di lavoro per scopi, rendendo quindi necessario un momento di intergruppo in cui ogni gruppo spiega il proprio lavoro agli altri.
Valutazione: Ai fini della valutazione del percorso, si possono considerare i
resoconti di cui è stata consigliata la scrittura, insieme alla partecipazione nelle discussioni sia durante l’attività che fuori, a un piccolo test basato su prove standardizzate (e opportunamente modificate a seconda del livello scolastico e dell’obiettivo che si vuole raggiungere) e/o alla soluzione autonoma di un caso nuovo, che può fare parte dell’attività oppure essere un momento di verifica a parte.
Scheda per lo studente
Cominciamo quest’attività ricordando cosa vuol dire sezionare un cubo con un piano e quali sono le caratteristiche di un cubo.
Consideriamo alcuni dei modelli di cubo che abbiamo a disposizione. Quali figure potranno venire fuori sezionando il cubo? Quanti vertici almeno devono avere? E al più?
Cominciamo con i poligoni a tre lati. Come li posso ottenere?
Quali triangoli posso ottenere? Scrivi qui sotto o sul quaderno tutto quello che osservi.
Riusciresti a descrivere i solidi che ottieni “non vedendo” la sezione? Provaci.
E se volessimo dei quadrilateri, quanti spigoli deve incontrare il piano e come