Riassumo qui le osservazioni riguardo i possibili adattamenti delle attività a livelli scolari diversi da quelli in cui è avvenuta la sperimentazione, fornendo anche qualche eventuale dettaglio in più.
4.6.1
L’attività con i geopiani
La parte di esplorazione geometrica può costituire alla scuola primaria una parte di introduzione al concetto di simmetria assiale, attraverso i poligoni regolari. È possibile infatti con i geopiani osservare che le figure hanno assi di simmetria (oppure se non si hanno abbastanza geopiani anche far ricostruire la figura ottenuta su un foglio di carta in modo che possa essere ritagliata e piegata) e introdurre in questo modo all’idea di utilizzarla per prevedere anche fatti geometrici sui poligoni in gioco: avere una buona padronanza del concetto di simmetria è molto utile in matematica per diversi aspetti e non è solo una scorciatoia per fare meno verifiche.
Oltre a questo può servire anche o a livello di primaria o a livello di inizio secondaria di primo grado per far intuire quanto valga la somma degli angoli interni di un poligono, mentre all’inizio di scuola secondaria può aiutare a suggerire una possibile idea di dimostrazione, da collegare poi a qualche attività per cui serva sapere quanto valgano gli angoli (ad esempio, dimostrare che le punte sono congruenti).
Nella scuola secondaria di secondo grado, l’analisi del pentagono stellato (o meglio, del pentagramma, ovvero il pentagono stellato ottenuto tracciando le diagonali di un pentagono regolare, costruendolo cioè all’interno) può costituire, con la dimostrazione che il lato del pentagono esterno è la sezione aurea della diagonale (lato del pentagono stellato), un interessante punto di avvio allo studio della sezione aurea e, successivamente, alle equazioni di secondo grado o ai valori delle funzioni goniometriche di certi angoli particolari come 18◦, e 36◦; altrimenti, i poligoni stellati in generale costituiscono anche uno spunto per ricavare relazioni tra le diagonali e i lati, in classi dove è nota la trigonometria.
La parte di collegamento all’aritmetica, con la scrittura delle successioni e il problema delle carte, invece può introdurre a livello di scuola secondaria qualche cenno di aritmetica modulare e, successivamente, il processo di divisione euclidea e l’algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore. Il conteggio dei possibili poligoni stellati può introdurre la funzione ϕ di Eulero.
4.6.2
L’attività sulle tassellazioni
Come tipo di problema, quello di tassellare lo spazio può essere fatto scaturire da un collegamento con Scienze sulla forma dei cristalli.
Questo tipo di attività a livello di primaria o secondaria di primo grado può servire anche a riflettere su altre differenze tra lo spazio e il piano, come una costruzione manuale della perpendicolare ad un piano passante per un suo punto e il concetto di rette sghembe, nell’ottica di un apprendimento unitario di geometria piana e solida. Difatti, può essere utile per capire che una retta e un piano sono perpendicolari quando la retta è perpendicolare a tutte le rette che passano per il punto in cui retta e piano si intersecano e per introdurre il teorema delle tre perpendicolari.
Nel caso in cui una classe non abbia affrontato il problema delle tassellazioni del piano in precedenza, è possibile analizzarlo e ampliare l’attività. A seconda del livello scolastico, può differire il livello di approfondimento con cui affrontare il problema. In una scuola superiore, per esempio, si potrebbe partire dal fatto che ogni angolo interno di un poligono regolare di n ha un’ampiezza fissata, che vale n − 2
n · 180
◦, e dimostrare che tale ampiezza è un divisore esatto di 360◦
solo per n ∈ {3; 4; 6}
A livello di scuola secondaria di secondo grado (ma anche già di primo, se non altro per la prima parte), può provocare utili riflessioni sulla congruenza di diedri e angoloidi, per ampliare la fase di confronto tra i due concetti, e anche confronti sulle sezioni piane dei due oggetti. Nel caso degli angoloidi quest’analisi delle sezioni può anche portare a costruire poligoni (sul piano sezione) e poliedri (considerando sia il piano sezione sia la parte di angoloide tra il vertice e il piano) simili e quindi a riflettere sul concetto di similitudine nello spazio e sui legami di proporzionalità che questo comporta, ma anche a vedere che certe costruzioni sull’angoloide portano ad avere oggetti simili tra loro ma non se fatte su altri
solidi (cioè ad esempio, studiando cosa succede sezionando una piramide con un piano parallelo alla base e, invece, facendo lo stesso su un prisma con un piano parallelo alle basi).
Altrimenti, sempre in una scuola superiore, la si può usare per scopi com- binatorici e introdurre così l’identità di Eulero, fornendo esempi in cui vale e esempi in cui invece non vale e ricercando condizioni opportune in cui valga, eventualmente anche cercando di dimostrarla e di usarla per provare che certe caratteristiche non si possono ottenere (ad esempio, non è possibile costruire un poliedro con sette spigoli) o che si ottengono sempre (ad esempio, che ogni poliedro ha un vertice in cui arrivano tre spigoli o una faccia triangolare). Nel caso dei poliedri, inoltre, ci sono delle relazioni derivanti dalla formula di Eulero che si possono ottenere (tra il numero medio p di spigoli per faccia e il numero medio q di spigoli per vertice, infatti, vale che 1
p+ 1 q >
1
2; tra il numero F di facce e il numero V di vertici valgono contemporaneamente i vincoli F ≤ 2V − 4 e V ≤ 2F − 4). Infine, tale formula può essere utilizzata per stabiire collegamenti con i grafi piani (per vedere altri approcci), per studiare problemi di costruibilità di poliedri e per esplorare cosa succede eliminando la condizione di isometria dei poliedri, ovvero con tassellazioni combinatorie.
4.6.3
L’attività sulle sezioni del cubo
In una scuola primaria questo tipo di attività può sfociare in descrizioni qua- litative dei comportamenti, che portino a realizzare sviluppi piani dei poliedri ottenuti con le sezioni e a osservare differenze e analogie cercando di giustificare e visualizzare cosa succede variando di poco, come approccio all’idea di variare con continuità rispetto a qualcosa. Seguendo infatti la formazione delle sezioni triangolari così come descritta nell’analisi dell’attività, se si fissano due vertici del triangolo sezione in modo che siano gli estremi della diagonale di una faccia e si fa variare il terzo vertice lungo uno degli spigoli perpendicolari alla faccia in questione e che non passano per i primi due vertici del triangolo, la sezione è un triangolo isoscele che diventa equilatero se il terzo vertice va a coincidere con il vertice del cubo che non appartiene alla stessa faccia dei primi due sullo spigolo in esame; inoltre la lunghezza dei lati congruenti del triangolo varia con continuità in funzione della distanza che il terzo vertice ha dal piano del lato fissato. Con l’aiuto di un software di geometria dinamica o costruendo un modellino fisico, questo fenomeno si può osservare bene, come si può intuire dalle seguenti immagini.
In una scuola superiore, può servire, soprattutto la fase esplorativa, a introdurre l’idea di continuità nel senso specificato sopra ma anche la ricerca di opportune condizioni per avere determinate configurazioni o lo studio di massimi o minimi in situazioni con vincoli, come introduzione al problema dell’ottimizzazione. A questo livello si possono anche dimostrare formalmente tutte le osservazioni che in classe sono state motivate ma in modo ingenuo o informale, come per esempio che prendendo un piano che tagli i tre spigoli che concorrono in uno stesso vertice in punti equidistanti da quel vertice la sezione è un triangolo equilatero, per citarne una. Se la classe conosce la trigonometria, è anche possibile caratterizzare i triangoli sezione dimostrando che non se ne possono costruire di rettangoli o di ottusangoli.
È possibile anche cercare di capire come costruire il piano secante (e quindi i poligoni) e vedere nel dettaglio che nessuno tra i pentagoni ottenibili è regolare mentre è possibile costruire un esagono regolare. Questo tipo di attività avrebbe aperto la strada al problema del contare quanti poligoni di un certo tipo che si trovano nel cubo ed eventualmente generalizzare ai poliedri.
Un’altra scelta può essere quella di osservare cosa succede prendendo piani secanti perpendicolari a una diagonale, passanti per un punto di essa, e come queste si modifichino facendo scorrere il piano secante con continuità. Sul modello di spugna ciò consisterebbe nel tagliare a fette il cubo, attività che dovrebbe essere supportata anche eventualmente dall’utilizzo di software di geometria dinamica su una LIM. Infine, un’altra possibilità è quella di studiare le sezioni di un altro poliedro, come ad esempio il tetraedro o l’ottaedro.