Per quanto riguarda l’attività da proporre in seconda, io e la docente ne abbiamo scelta una che si ponesse in continuità didattica con un’altra attività conclusa da poco ma che potesse avvicinare i ragazzi a muoversi nello spazio, introducendo quindi un ente nuovo e cercando di mettere in luce le analogie e le differenze tra l’ambiente geometrico cui erano abituati, il piano, e quello nuovo, lo spazio. La scelta è quindi ricaduta sullo studio delle tassellazioni dello spazio come introduzione alla geometria solida, anche perché il materiale sulle tassellazioni del piano predisposto per la mostra era stato preparato dagli stessi studenti nel corso della precedente attività didattica e ciò avrebbe contribuito a far sentire agli studenti un maggiore coinvolgimento, anche personale, nella preparazione del materiale per la parte espositiva.
Avendo la classe concluso poche settimane prima l’argomento delle tassella- zioni del piano, abbiamo deciso di cominciare da quelle per verificare quanto avessero appreso, in primo luogo ripetendo la definizione di tassellazione del piano. In questa fase i ragazzi si sono espressi in modo unitario perciò non è partita una discussione vera e propria e il risultato emerso è la seguente Definizione 3. Una tassellazione del piano è un modo di ricoprire il piano utilizzando una o più figure geometriche (in genere chiamate tessere o tassel- li e possono essere poligoni o avere delle curve per lati) ripetute all’infinito senza buchi o sovrapposizioni. Una tassellazione dello spazio è un insieme di poliedri, se ripetuti all’infinito, riempiono lo spazio senza lasciare buchi e senza sovrapposizioni.
Il termine poliedro riassume qui il risultato dell’analisi che ha portato a formularne la definizione riportata più avanti.
Il passo successivo è stato quello di limitarsi alle tassellazioni del piano fatte da poligoni, riprendere il cartellone preparato dai ragazzi e ripercorrere le proprietà delle tassellazioni piane, facendo riferimento al fatto che non è necessario che il tassello sia fatto da poligoni regolari anche se, dal punto di vista artistico ed estetico, producano effetti migliori. Quindi abbiamo spostato l’attenzione sul
fatto che la somma degli angoli concorrenti in un vertice deve essere un angolo giro e, quindi, abbiamo visto nel caso di tasselli con un solo poligono regolare con quali poligoni è possibile tassellare il piano, generalizzando a più poligoni considerati insieme o a poligoni non regolari, sia con il materiale già predisposto anche dagli stessi ragazzi sia con le forme magnetiche già trasportate a scuola. Dalla discussione che ne è scaturita è emerso che, se i tasselli sono poligoni regolari dello stesso tipo, è possibile tassellare il piano quando l’ampiezza degli angoli interni del tassello divide esattamente 360◦. In una scuola secondaria di II grado (o in una di I in cui non è stato affrontato il problema) questa discussione può anche evolversi nella classificazione dei poligoni che tassellano da soli il piano, eventualmente dimostrando che gli unici poligoni regolari in grado di tassellare da soli il piano sono triangoli equilateri, quadrati ed esagoni regolari.
Abbiamo in seguito cercato di capire come sia possibile uscire dal piano partendo da una tassellazione del piano e notato come, per fare una cosa del genere senza sovrapposizioni, sia necessario eliminare almeno una mattonella esaminando il caso di una configurazione che non è una tassellazione in partenza. A questo stadio abbiamo cercato di descrivere le figure che abbiamo costruito, vedendo che in generale esse avevano una punta. Abbiamo pertanto introdotto il concetto di angoloide come possibile generalizzazione del concetto di angolo e formalizzazione del concetto di "punta" e abbiamo notato qual è la caratteristica chiave che devono avere gli angoli delle facce nel vertice dell’angoloide, ovvero che la somma di questi angoli sia minore di un angolo giro perché per costruzione maggiore non può essere e perché se fosse un angolo giro, in realtà l’angoloide giacerebbe su un piano.
Definizione 4. Si chiama angoloide ciascuna delle regioni dello spazio delimitata da tre o più angoli con lo stesso vertice a due a due consecutivi e non complanari. A questo punto, abbiamo spostato la nostra attenzione su un altro oggetto solido: il diedro, quindi non più su un vertice ma su due facce adiacenti. Veden- done vari esempi, gli studenti li hanno descritti informalmente come somiglianti a piegature ad apertura costante, individuando quindi un’altra possibile gene- ralizzazione del concetto di angolo. A questo punto è stato naturale verificare sezionando la figura con un foglio (piano) perpendicolare alle due facce messo a livelli diversi e confrontando le figure ottenute sui fogli che esse fossero angoli della stessa ampiezza. Quindi abbiamo dato la definizione seguente.
Definizione 5. Un diedro è ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi la stessa retta origine, compresi tali semipiani.
Abbiamo quindi confrontato le due generalizzazioni, mettendone in risalto analogie e differenze. Dalla discussione è emerso che
• il concetto di angoloide enfatizza la forma a "punta", mentre quello di dietro evidenzia l’ampiezza fissa;
• un diedro è definito da due facce (semipiani) con la stessa retta origine, un angoloide ha necessariamente almeno tre facce;
• sezionando un diedro con piani paralleli si ottengono sempre angoli della stessa ampiezza, sezionando un angoloide con piani paralleli e non passanti per il vertice invece si ottengono poligoni simili tra di loro.
A seguire abbiamo visto alcuni oggetti solidi, sia limitati da superfici curve che da poligoni, e abbiamo dato la definizione di poliedro.
Definizione 6. Un poliedro è una regione di spazio delimitata da più poligoni disposti su piani diversi e in modo che abbiano a due a due in comune soltanto un lato. Le facce del poliedro sono tali poligoni, i loro lati e i loro vertici sono rispettivamente gli spigoli e i vertici del poliedro.
Dall’analisi delle forme viste prima, abbiamo dedotto che
• non tutte le figure solide sono poliedri, avendo visto che ci sono figure che non sono piane ma non sono delimitate soltanto da poligoni;
• non è necessario che tutte le facce siano poligoni dello stesso lato né che in ogni vertice arrivi lo stesso numero di spigoli;
• non tutti i poliedri sono convessi, cioè non è sempre vero che il piano che contiene una faccia non ne intersechi un’altra.
Questo tipo di attività può essere riadattata anche per il primo biennio della scuola superiore, con osservazioni anche più profonde come problemi di costruibilità di poliedri con particolari proprietà. Introdotto il concetto di poliedro, ci si può porre la questione di cercare di definire il concetto di regolarità per i poliedri e quella di vedere se un dato poliedro o una data configurazione di poliedri riescono a tassellare lo spazio, cioè a riempirlo solo affiancando tra di loro i solidi senza lasciare spazi vuoti.
Il primo poliedro con cui abbiamo lavorato è stato quello più comune per tutti, il cubo, di cui abbiamo prima discusso le proprietà e poi dato insieme una definzione.
Definizione 7. Un cubo è un poliedro con sei facce quadrate congruenti e perpendicolari a due a due.
Ne abbiamo descritto e contato facce, spigoli e vertici ed è emerso che è un poliedro formato da 6 facce quadrate, 12 spigoli e 8 vertici, in cui gli 8 angoloidi sono uguali tra di loro, poiché in ciascuno concorrono 3 facce quadrate; in ogni vertice arrivano tre spigoli, e, per ciascun angoloide, la somma degli angoli che hanno in comune il suo vertice è 270◦, che è in accordo con quanto detto prima. Inoltre, se due facce sono adiacenti (hanno cioè uno spigolo in comune) sono anche perpendicolari, perciò tutti i diedri sono retti. Pur nella sua semplicità, ha perciò per facce poligoni regolari tutti uguali, diedri tutti uguali e angoloidi
tutti uguali. Ciò non accade per il parallelepipedo rettangolo, in generale, che può presentare facce rettangolari ma non quadrate. Non accade nemmeno per la piramide a base quadrata anche se la si considera con dei triangoli equilateri come altre facce. Pertanto abbiamo dato la seguente definizione:
Definizione 8. Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari uguali tra loro e tutti i diedri e gli angoloidi sono uguali tra loro
Inoltre dalle tassellazioni già fatte, emerge che, per avere una tassellazione dello spazio, comunque io scelga uno spigolo la somma delle ampiezze dei diedri che hanno come origine lo stesso spigolo deve essere 360◦. Il cubo, perciò, è un poliedro regolare e tassella lo spazio esattamente come il quadrato tassella il piano. Anche il parallelepipedo tassella lo spazio, mentre usando solo piramidi a base quadrata non ci si riesce. Uno studente ha osservato che è possibile, partendo da una tassellazione del piano, costruire dei prismi retti della stessa altezza aventi per basi i poligoni della tassellazione del piano utilizzata e, in questo modo, tassellare lo spazio. Non sono state date però definizioni formali di questi solidi, perché l’attività era un’introduzione alla geometria dello spazio. Ne abbiamo, tuttavia, dato una descrizione: un prisma è un poliedro che ha per facce due poligoni uguali posti su piani paralleli e raccordati da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni ed è detto retto se i parallelogrammi di raccordo sono tutti rettangoli; un parallelepipedo è un prisma in cui anche i poligoni "base" sono due parallelogrammi ed è rettangolo se è un prisma retto e i poligoni base sono rettangoli. Questa descrizione può aprire la strada allo studio della perpendicolarità tra retta e piano e delle posizioni reciproche tra due rette nello spazio, sempre nell’ottica dell’analisi delle differenze tra il piano e lo spazio.
L’attività è proseguita nella costruzione dei restanti poliedri regolari, dopo aver riassunto le caratteristiche che questi devono avere. Questa parte dell’attività è stata supportata dalle forme magnetiche che hanno permesso, insieme alle definizioni e osservazioni riviste, di vedere che
1. in ciascun vertice arrivano almeno tre facce, perché per formare un angoloide devono essere presenti almeno tre facce;
2. in ogni angoloide la somma degli angoli delle facce che lo delimtano non può raggiungere o superare 360◦, altrimenti è contenuto in un piano; 3. di conseguenza, l’angolo del singolo poligono non può superare né uguagliare
120◦ perché le facce sono almeno 3 e il triplo di 120◦è 360◦;
4. gli unici poligoni regolari ammissibili sono triangoli equilateri, quadrati e pentagoni regolari, perché se ci fossero più di 5 lati, gli angoli interni supererebbero o uguaglierebbero 120◦ per il teorema sulla somma degli angoli interni di un poligono.
Perciò con l’ausilio delle considerazioni precedenti abbiamo visto che i poliedri regolari si possono catalogare in al più cinque gruppi:
• usando facce triangolari, in uno stesso vertice possono concorrere 3, 4 o 5 facce, perché l’angolo al vertice di un triangolo equilatero è 60◦ e rispettivamente la somma degli angoli in quel vertice delle facce è 180◦, 240◦e 300◦ mentre con 6 facce è 360◦;
• usando facce quadrate, in uno stesso vertice possono concorrere 3 facce, perché l’angolo al vertice di un quadrato è 90◦ e la somma degli angoli in un vertice è 270◦ mentre con 4 facce diventa 360◦;
• usando facce pentagonali, in uno stesso vertice possono concorrere 3 facce, perché l’angolo al vertice di un pentagono regolare è 108◦e la somma degli angoli in un vertice è 324◦ mentre con 4 facce supera 360◦.
Usando le forme magnetiche, li abbiamo costruiti facendo vedere che, in realtà, ogni possibilità prevedibile si verifica e abbiamo riassunto i dati in una tabella con intestazione come la seguente
Un esempio di tabella compilata è la seguente, indicati con F e p rispetti- vamente il numero di facce che ha il solido e il numero di facce che hanno in comune un vertice.
poligono p somma angoli angoloide? F nome
triangolo 3 180◦ sì 4 tetraedro
triangolo 4 240◦ sì 8 ottaedro
triangolo 5 300◦ sì 20 icosaedro
triangolo 6 360◦ no - non esiste
quadrato 3 270◦ sì 6 cubo o esaedro
quadrato 4 360◦ no - non esiste
pentagono 3 324◦ sì 12 dodecaedro
pentagono 4 432◦ no - non esiste
Inoltre abbiamo provato a vedere se è possibile tassellare lo spazio con poliedri regolari dello stesso tipo. È già noto che il cubo tasselli lo spazio, ma è l’unica possibilità: facendo gli esperimenti con gli altri ci si accorge che ciò non è più possibile poiché rimangono buchi. Può venire l’idea di mettere insieme due poliedri differenti o di sezionare il cubo dividendolo in due o più poliedri, senza però smantellare il cubo: due o più poliedri che è possibile incollare formando un cubo tasselleranno lo spazio.
Se la classe conosce il teorema che afferma che, comunque io scelga un numero, esiste uno e un solo poligono regolare che ha esattamente quel numero di lati a meno di riscalare il lato, il fatto che i poliedri regolari siano solo cinque (a meno di riscalare il lato) può essere un interessante ulteriore spunto di discussione. Altrimenti è possibile costruire diversi esempi di poliedri e contarne spigoli, facce e vertici per introdurre la formula di Eulero e per porsi il problema di trovare che condizioni devono avere i poliedri per verificare tale uguaglianza.
Per concludere l’attività, non abbiamo dato un teorema che caratterizza tutte le tassellazioni dello spazio perché l’intento era far capire che passando dal piano allo spazio sono riscontrabili differenze, ma abbiamo costruito in cartoncino una delle tassellazioni ottenibili dividendo il cubo: considerando, infatti, tre facce con un vertice in comune, tagliando lungo le diagonali di tali facce che non contengono il vertice (che formano un triangolo equilatero) e incollando
due triangoli equilateri lungo il taglio (uno per ogni pezzo), otteniamo due poliedri che si possono incollare (lungo la faccia tagliata) formando un cubo. Tali poliedri sono un tetraedro non regolare (ovvero una piramide che ha per base un triangolo equilatero e per altre facce tre triangoli rettangoli isosceli con ipotenusa uguale al lato del triangolo equilatero) e un poliedro più complesso con tre facce quadrate uguali (che hanno in comune il vertice opposto a quello del tetraedro), ciascuna delle quali è adiacente a un triangolo rettangolo isoscele (mezzo quadrato di quelli tagliati prima) che hanno per ipotenuse i tre lati dell’ultima faccia triangolare (a forma di triangolo equilatero). Con le forme magnetiche ne abbiamo ricostruito lo sviluppo e poi, disegnato tale sviluppo sul cartoncino, abbiamo ricostruito i solidi, verificando quanto previsto precedentemente in due modi. Infatti abbiamo accostato i "tasselli" così com’erano, interpretandoli come parte di un cubo, e successivamente abbiamo provato a accostarli diversamente, per esempio mettendo le piramidi in modo che le facce a triangolo rettangolo isoscele si sovrappongano e interpretandole come parti di un ottaedro regolare che unito ad un poliedro non regolare tassella quindi lo spazio. L’altro poliedro non è regolare ed è ottenuto accostando gli altri solidi in modo che le facce quadrate coincidano andando a formare un poliedro che ha per facce triangoli equilateri e quadrati e tutti gli spigoli uguali alla diagonale di una faccia del