Metodo delle maglie

Il metodo delle maglie rappresenta il metodo duale del metodo nodale. Il fine del metodo è quello di determinare le correnti delle maglie indipendenti. Si suppone nel seguito che il circuito contenga solo componenti controllati in corrente; il termine ”controllato in corrente” si applica a tutti i componenti (bipoli, tripoli e multipoli) per i quali le tensioni sono funzioni delle correnti (¹²⁶).

Si consideri un circuito lineare, adinamico (resistivo), tempo-invariante (¹²⁷) e si associ ad esso il relativo grafo (costituito da b lati ed n nodi), numerando tutti i rispettivi lati. Si

125 Si definisce sezione una superficie chiusa, che taglia il circuito (rete) in due parti. Ad ogni albero è possibile associare un sistema fondamentale di sezioni (costituito da n – 1 sezioni indipendenti), in modo che ognuna di esse tagli un solo lato dell’albero e sia orientata come questo. I riferimenti delle correnti dei lati dell’albero sono assunti “uscenti” dalla sezione. La numerazione dei lati dell’albero individua la numerazione delle sezioni (ad es. il lato n. 1 dell’albero individua la sezione n. 1 ed è tagliato da questa). Nel metodo delle sezioni le incognite sono le tensioni delle sezioni, che coincidono con le tensioni dei lati dell’albero, ed il primo principio di Kirchhoff (7.3.1) si applica alle sezioni, non ai nodi. Nell’equazione in forma matriciale 7.3.4 il generico termine a_kj della matrice A è pari ad 1, se il riferimento del lato j è “uscente” dalla sezione k, è pari a – 1, se il riferimento del lato j è “entrante” nella sezione k, è pari a 0, se il lato j non attraversa la sezione k. Il generico termine G_kj della matrice G^nod è pari, per k = j, alla somma delle conduttanze dei lati, che attraversano la sezione k, mentre, per k ≠ j, è pari alla somma delle conduttanze dei lati, che attraversano con lo stesso riferimento entrambe le sezioni k e j, in caso contrario la somma è considerata con segno negativo. La soluzione della 7.3.4 fornisce le tensioni delle sezioni, ovvero il vettore colonna e. Si evidenzia infine che nel metodo delle sezioni l’albero non è stellare.

126 Il metodo si applica, se tutti i bipoli sono di tipo serie (es.: un generatore di tensione in serie con una resistenza); nel caso in cui siano presenti bipoli di tipo parallelo (es. un generatore di corrente in parallelo con una conduttanza) è possibile applicare il metodo delle maglie, pur di trasformare i bipoli di tipo parallelo negli equivalenti bipoli di tipo serie.

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individui un albero, costituito da n − 1 lati. Si stabilisca arbitrariamente il riferimento della corrente in ciascun lato del grafo (¹²⁸); di conseguenza è fissato, in base alla convenzione degli utilizzatori, il riferimento della tensione di ogni lato. Il numero dei lati del coalbero, e quindi delle maglie indipendenti, è pari a b − n + 1. Ogni maglia indipendente è formata dai vari lati dell’albero e da un solo lato del coalbero; la corrente di quest’ultimo lato rappresenta la corrente di maglia incognita ed il suo riferimento determina l’orientazione della maglia. La numerazione delle maglie indipendenti coincide con la numerazione dei lati del coalbero, ad esempio il lato n. 1 del coalbero individua la maglia n.1. Applicando il secondo principio di Kirchhoff (¹²⁹) alle maglie indipendenti del circuito, si ottiene il seguente sistema in forma matriciale di b − (n − 1) equazioni:

B v = 0. (7.4.1)

Esplicitando le correnti dei lati del grafo in funzione delle correnti di maglia (correnti dei lati del coalbero), si ottiene il seguente sistema in forma matriciale di b equazioni:

i = B^T I^m, (7.4.2)

dove I^m è il vettore colonna incognito delle correnti di maglia di dimensioni [b − (n − 1) x 1].

Infine è possibile esprimere ogni tensione di lato in funzione della relativa corrente tramite le relazioni costitutive, ottenendo il seguente sistema in forma matriciale di b equazioni:

v = R i + vs. (7.4.3)

Dai 3 sistemi precedenti si ottiene la seguente equazione in forma matriciale (¹³⁰):

R^m I^m = − B vs (7.4.4)

128 Nell’attribuire i riferimenti alle correnti dei lati del grafo, e quindi alle correnti dei lati del coalbero, è necessario che le maglie indipendenti abbiano tutte la medesima orientazione oraria o antioraria (coincidente con il riferimento della corrente dei lati del coalbero), in modo tale che, per la determinazione degli elementi R_kj (con k ≠ j) della matrice delle maglie del circuito R^m, valga sempre la stessa regola; ovvero R_kj è pari alla somma cambiata di segno delle resistenze comuni alle maglie k e j (consultare il par. 7.4.1).

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La somma algebrica delle tensioni dei lati di una maglia è nulla.

130 L’equazione 7.4.4 si ottiene dalla 7.4.1 andando a sostituire in questa al vettore v la 7.4.3 e successivamente al vettore i la 7.4.2.

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dove R^m = B R B^T è la matrice delle maglie del circuito di dimensioni [b − (n − 1) x b − (n − 1)], B è la matrice ridotta delle maglie di dimensioni [b − (n − 1) x b] (¹³¹), R è la matrice delle resistenze dei lati di dimensioni [b x b], e vs (¹³²) è il vettore colonna dei generatori di tensione dei lati di dimensioni [b x 1].

Risolvendo l’equazione in forma matriciale 7.4.4, si ottiene il vettore colonna I^m, ovvero le correnti delle maglie indipendenti (correnti dei lati del coalbero).

Se il circuito (¹³³) è lineare, dinamico, tempo-invariante, l’equazione 7.4.4 è valida, pur di sostituire alle grandezze funzioni del tempo le relative grandezze complesse trasformate (secondo Steinmetz) ed alla matrice delle maglie R^m la matrice complessa delle maglie Z^m.

Il metodo delle maglie è un caso particolare del metodo degli anelli; nel metodo delle maglie gli anelli coincidono con il sistema di maglie indipendenti (¹³⁴).

7.4.1 Scrittura diretta della matrice delle maglie del circuito

Gli elementi della matrice delle maglie del circuito R^m possono essere determinati direttamente come segue. Il termine R_kk è pari alla somma delle resistenze presenti nella maglia k, il termine R_kj è pari alla somma cambiata di segno delle resistenze comuni alle maglie k e j (¹³⁵).

131 Il generico termine b_kj della matrice B è pari ad + 1 o a – 1, se il lato j appartiene alla maglia k ed ha orientazione concorde o discorde con quella della maglia stessa, è pari a 0, se il lato j non appartiene alla maglia k.

132 La componente k-esima v_sk del vettore colonna v_s è assunta positiva, se ha riferimento uguale a quello della tensione del lato k, altrimenti è assunta negativa.

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In regime sinusoidale.

134 Per anello di un grafo si intende un percorso chiuso delimitato dai lati del grafo, per maglia si intende un percorso chiuso, che non è attraversato al suo interno da alcun lato. Nel metodo degli anelli le incognite sono le correnti degli anelli.

135 A condizione che le maglie indipendenti abbiano tutte orientazione oraria o antioraria. Nel caso in cui una maglia ha orientazione antioraria e quella adiacente, tramite un lato, ha orientazione oraria, la resistenza del lato comune va considerata con segno positivo.

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