Misura delle larghezze di riga

Esaminiamo ora gli spettri costruiti registrando il rate di conteggio degli ioni pro- dotti durante la spazzata in frequenza del laser di eccitazione. Dal punto di vista sperimentale l’acquisizione di spettri affidabili richiede che la larghezza di riga del laser sia molto minore di quella degli spettri di interesse (altrimenti la misura risulterebbe una convoluzione dei due spettri). Non abbiamo una valutazione spe- rimentale della larghezza di riga del laser a cavità esterna usato per l’eccitazione; in accordo con la letteratura [53, 54], possiamo ritenere che essa sia effettivamente trascurabile in questo contesto. Meno sicura è la valutazione del jitter (fluttuazio- ne di frequenza) che normalmente affligge tali sistemi laser: visti i risultati delle misure e il loro accordo con il modello teorico, possiamo ritenere che nemmeno il jitter giochi un ruolo significativo.

Dal punto di vista sperimentale gli spettri vengono costruiti registrando il rate di conteggi in funzione di una rampa di tensione, controllata con risoluzione di 5 mV, inviata al piezoelettrico della cavità esterna. La conversione in unità di

5.4. ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI

frequenze richiede una calibrazione effettuata osservando il segnale di assorbi- mento saturato, rivelato su una cella di riferimento (si veda ad esempio la figura 3.4), e impiegando la distanza, nota, tra Lamb-dip e crossovers. Questa calibra- zione consente anche di verificare che gli effetti dovuti a non linearità ed isteresi del piezoelettrico siano trascurabili. Le misure effettuate, che qui non riportiamo nel dettaglio, mostrano che è possibile determinare la frequenza di emissione del laser in funzione della tensione con un’incertezza dell’ordine di ±5 MHz, che prenderemo come errore per le nostre misure2.

La misura delle larghezze di riga delle tre transizioni iperfini ha portato a dei ri- sultati interessanti. Occorre però fare subito una precisazione: la quantità che ab- biamo determinato sperimentalmente è in realtà la larghezza della curva del rate di conteggi ionici. Quest’ultima può essere considerata equivalente alla larghezza di riga vera e propria della transizione soltanto perchè, nella nostra configurazione sperimentale, il rate di ionizzazione è un meccanismo di perdita di atomi eccitati estremamente meno importante rispetto ai rate delle transizioni ottiche. In que- sto modo possiamo trascurare l’allargamento delle righe dovuto alla ionizzazione, fatto che, almeno in linea di principio, non sarebbe corretto in quanto la ionizza- zione è un meccanismo che, proprio come l’emissione spontanea, le collisioni e altri fenomeni, provoca un allargamento delle righe. Gli spettri sperimentali sono stati fittati con una sovrapposizione di tre funzioni lorentziane, centrate sulle fre- quenze delle transizioni iperfini analizzate, e di una retta. Quest’ultima permette di eliminare l’effetto indotto da eventuali drift durante la spazzata in frequenza del laser di eccitazione (causati ad esempio da una variazione dell’intensità del laser al variare della geometria della cavità esterna). Le funzioni lorentziane sono state scelte essenzialmente per due motivi: il primo è che l’elevata collimazione del fascio atomico porta a temperature trasverse di poche decine di µK per cui, assumendo una perfetta ortogonalità tra la direzione dei fasci laser e quella del fascio atomico, è possibile trascurare l’allargamento Doppler delle righe ed elimi- nare quindi il contributo gaussiano nell’integrale di convoluzione che costituisce il

2_{Naturalmente questa incertezza è riferita all’intervallo di spazzata utilizzato, che è inferiore a}

1 GHz; il comportamento nonlineare del piezoelettrico, unito allo scarso controllo della geometria della cavità esterna (il traslatore piezoelettrico non modifica solo la lunghezza della cavità ester- na, ma influisce anche, in parte, sulla direzione del fascio reiniettato nel diodo), impediscono di ottenere una calibrazione affidabile per intervalli spettrali maggiori

profilo di Voigt3. Inoltre ipotizziamo che tutti gli altri meccanismi di allargamen- to, compresa la fotoionizzazione stessa, siano omogenei, portando quindi ad una forma di riga lorentziana. Un esempio di spettro è mostrato in figura 5.10, dove possiamo osservare lo spettro misurato e il fit corrispondente, dal quale abbiamo poi ricavato le larghezze di riga relative alle transizioni.

4x104 3 2 1 0

Ion count rate [Hz]

-600 -400 -200 0 200

Excitation laser detuning [MHz]

Figura 5.10: Spettro di ionizzazione acquisito sperimentalmente variando la fre- quenza di eccitazione, con relativo fit, come descritto nel testo. L’origine delle ascisse corrisponde ad una frequenza risonante con la transizione T45, come ve- rificato nel confronto con il segnale di assorbimento saturato rivelato su una cella di riferimento

Una volta determinate le larghezze di riga dal fit, abbiamo riportato queste su un grafico in funzione della potenza del laser di eccitazione e ne abbiamo inizialmen- te eseguito un best fit secondo l’andamento previsto per allargamento di potenza (power broadening) per un sistema a due livelli [19]:

∆ν = ∆νnat r

1 + I Isat

(5.18)

3_{Questo è anche il motivo principale per cui è estremamente interessante studiare questi}

5.4. ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI

dove ∆νnat è la larghezza naturale della riga D2, pari a 5.22 MHz, e Isat è l’in- tensità di saturazione. Abbiamo posto inoltre I = P/S∗, con P potenza del laser: l’unico parametro libero del fit è costituito dalla “sezione efficace” del fascio laser di eccitazione, S∗, in analogia con quanto fatto in sezione 4.3.2.

In figura 5.11 possiamo vedere la larghezza di riga misurata per la transizione T45 in funzione della potenza del laser di eccitazione: come si può osservare, il fit descrive in modo ragionevole i dati sperimentali. La sezione effettiva vale in questo caso S∗= 24 ± 3 mm2: tale valore è circa il triplo della sezione misurata S_exc (si vedano i valori riportati in tabella 5.4). Il motivo di questa discrepan- za potrebbe ancora essere dovuto a motivi geometrici, come quelli che abbiamo descritto in sezione 4.3.3 (e, in effetti, la discrepanza ha grosso modo la stessa rilevanza numerica). La linea tratteggiata sovrapposta nella stessa figura riporta il risultato della simulazione numerica realizzata con le equazioni di Bloch ottiche: come è ovvio, anche la simulazione riproduce bene i dati sperimentali. Tuttavia, il ragionevole accordo con l’allargamento di potenza per un sistema a due livelli suggerisce che la simulazione è in questo caso inutile, dato che la transizione T45 si comporta di fatto come se fosse chiusa.

30 20 10 0

T45 width [MHz]

Excitation laser power [mW]

Figura 5.11: Larghezza di riga della transizione T45 del Cesio al variare della potenza del laser di eccitazione. La curva continua rappresenta il risultato del fit con la funzione che esprime il power broadening per un sistema a due livelli, mentre la curva tratteggiata rappresenta il risultato della simulazione numerica descritta nel testo: si noti come per la transizione chiusa T45 il sistema a due livelli rappresenti un valido modello, visto il ragionevole accordo tra dati sperimentali e fit

Per quanto riguarda invece la transizioni T44 e T43, i risultati ottenuti, illustrati rispettivamente in figura 5.12 e 5.13, dimostrano chiaramente che non è corretto applicare la teoria del sistema a due livelli. Infatti il fit riesce a riprodurre i dati ma le sezioni efficaci ottenute valgono entrambe S∗≈ 2 mm2_{, valori nettamente} più bassi della sezione del fascio laser misurata sperimentalmente. Questa discre- panza non può essere spiegata con motivi di carattere geometrico; d’altra parte le rilevanti larghezze di linea misurate (si vedano le scale verticali dei grafici) fanno pensare che ci siano meccanismi di allargamento molto più efficaci che non per la T45. Questo risultato non è affatto sorprendente in quanto, come abbiamo am- piamente discusso nella sezione 5.1, le T43 e T44, a differenza della T45, sono

5.4. ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI

caratterizzate da un branching ratio BR < 1 e quindi non sono transizioni chiuse: la loro trattazione con la teoria del sistema a due livelli risulta quindi scorretta. Tuttavia, anche per queste transizioni si riscontra un buon accordo con la simu- lazione numerica, i cui risultati sono sovrapposti ai dati sperimentali nelle stesse figure. Questo dipende dal fatto che la simulazione numerica, basata sulle equa- zioni di Bloch ottiche, tiene in debito conto la molteplicità di livelli coinvolti e tutti i fenomeni di pompaggio ottico che possono verificarsi.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

T44 width [MHz]

Excitation laser power [mW]

Figura 5.12: Larghezza di riga della transizione T44 del Cesio al variare della potenza del laser di eccitazione. La curva continua rappresenta il risultato del fit con la funzione che esprime il power broadening per un sistema a due livelli, uti- lizzando la Isat data dall’equazione 5.1., mentre la curva tratteggiata rappresenta il risultato della simulazione numerica descritta nel testo: poichè la sezione che si ottiene dal fit è notevolmente più piccola della sezione efficace determinata in precedenza, è evidente che il solo allargamento per potenza non può spiegare le larghezze di riga osservate e pertanto un modello a due livelli non è in grado di descrivere il comportamento del sistema

80 70 60 50 40 30 20 10 0

T43 width [MHz]

Excitation laser power [mW]

Figura 5.13: Larghezza di riga della transizione T43 del Cesio al variare della potenza del laser di eccitazione. La curva continua rappresenta il risultato del fit con la funzione che esprime il power broadening per un sistema a due livelli, uti- lizzando la Isat data dall’equazione 5.1., mentre la curva tratteggiata rappresenta il risultato della simulazione numerica descritta nel testo: poichè la sezione che si ottiene dal fit è notevolmente più piccola della sezione efficace determinata in precedenza, è evidente che il solo allargamento per potenza non può spiegare le larghezze di riga osservate e pertanto un modello a due livelli non è in grado di descrivere il comportamento del sistema