Misure di rumore

Il rumore termico introdotto da un resistore in condizioni di equilibrio, quando la tensione ai suoi capi è nulla ( 𝑉 = 0) e non è attraversato da corrente (𝐼 = 0), può essere espresso mediante il teorema di Nyquist. In tali condizioni il rumore introdotto da un filo del sensore, in termini di densità spettrale del valore quadratico medio di corrente, risulta pertanto:

𝑆_𝑖𝑛 = 4𝑘𝑇₀𝐺₀ (3.39)

dove si è utilizzata la temperatura ambiente 𝑇0, non essendo il filo riscaldato (perché 𝑉 = 0),

mentre 𝐺₀ è la conduttanza statica del filo non riscaldato: 𝐺₀ = 1 𝑅⁄ ₀, essendo 𝑅₀ la resistenza del filo alla temperatura 𝑇0.

Nelle condizioni di lavoro del sensore, viene applicata una differenza di potenziale non nulla e costante ai capi del filo, attraverso il quale scorrerà una certa corrente statica. Il moto dei portatori di carica può essere legato alla corrente sugli elettrodi del conduttore mediante il teorema di Ramo-Shockley-Pellegrini [22]. Nell’ipotesi in cui la velocità di deriva dei portatori di carica, imposta dal campo elettrico applicato, sia molto minore della velocità degli stessi indotta dall’agitazione termica, si può ritenere ancora valida l’equazione (3.39); si deve tuttavia considerare che, in queste condizioni, il filo si porta ad una temperatura media 𝑇 per

effetto della tensione applicata ai suoi capi: la sua conduttanza statica risulta quindi 𝐺_𝑇 = 1 𝑅⁄ _𝑇, essendo 𝑅𝑇 la resistenza statica del filo alla temperatura 𝑇. La densità spettrale

del valore quadratico medio di corrente di rumore dovuta ad un filo riscaldato è allora:

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Figura 3.17: equivalente circuitale di un filo dal punto di vista del rumore.

In figura 3.17 è raffigurato il generatore di corrente di rumore di un filo del sensore, la cui densità spettrale è espressa dalla (3.40); questo generatore vede la resistenza differenziale del relativo filo, 𝑟, la cui dipendenza dalla frequenza è data dalla (3.35). Quindi, per esprimere il rumore introdotto da ciascun filo in termini di densità spettrale del valore quadratico medio di tensione, la (3.40) deve essere moltiplicata per il modulo quadro della resistenza dinamica 𝑟(𝑓). Si ottiene così:

𝑆_𝑣𝑛(𝑓) = 𝑆_𝑖𝑛 |𝑟(𝑓)|2 ₌4𝑘𝑇

𝑅_𝑇 |𝑟(𝑓)|

2

(3.41)

Questo meccanismo rende il rumore termico introdotto dai fili dipendente dalla frequenza: la tensione di rumore dovuta ad ogni resistore del sensore presenterà la stessa dipendenza frequenziale di 𝑟(𝑓). Questo significa che, in corrispondenza delle componenti a frequenza più bassa, il rumore termico dovuto ai fili sarà maggiore, mentre si ridurrà all’aumentare della frequenza. In particolare, per frequenze sufficientemente alte, per le quali l’effetto delle singolarità definite in (3.37) si è esaurito, la (3.41) diviene:

𝑆_𝑣𝑛 = 4𝑘𝑇 𝑅_𝑇 𝑅𝑇

2 _{= 4𝑘𝑇𝑅}

𝑇 (3.42)

Dal punto di vista delle misure si è in realtà interessati a valutare il rumore introdotto dai diversi i resistori che compongono i ponti. Si considerino gli effetti del rumore dei fili sul singolo ponte di Wheatstone rappresentato in figura 3.18: essendo tutte le resistenze del ponte dello stesso valore (almeno nominalmente), la densità spettrale della tensione di rumore sulla diagonale del ponte è pari a quella di un singolo generatore di rumore. Infatti, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti (facendo agire, cioè, un solo generatore di rumore alla volta), si trova che ogni generatore di rumore 𝑣𝑛 dà un contributo di tensione

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Figura 3.18: ponte di Wheatstone in cui sono state evidenziate le sorgenti di rumore dovute ai fili. Il generatore di tensione che polarizza il ponte è cortocircuitato per le variazioni.

effetti dei quattro generatori di rumore di un ponte, le cui densità spettrali possono essere sommate in virtù dell’indipendenza tra le corrispondenti sorgenti di rumore, sulla diagonale si ha una densità spettrale di rumore pari a 𝑆𝑣𝑛𝑜(𝑓) = 4𝑆𝑣𝑛(𝑓) 4⁄ = 𝑆𝑣𝑛(𝑓). A questa, naturalmente, dovranno essere aggiunti i contributi di rumore introdotti dal sistema di misura.

Si deve tuttavia considerare che il modello analitico derivato nel paragrafo 3.6.2 è valido se il sistema viene riscaldato uniformemente: in tali condizioni, data la simmetria termica, non avvengono scambi di calore tra i fili termicamente interagenti (ovvero quelli sospesi sopra la stessa cavità). Invece i generatori di rumore provocano un riscaldamento asimmetrico dei fili, tra i quali possono quindi avvenire scambi termici.

Per prescindere da questi effetti, e poter così validare il modello analitico, le diagonali dei ponti sono state cortocircuitate, come mostrato in figura 3.19. In queste condizioni non possono avvenire scambi termici tra le coppie di fili, date le loro connessioni in parallelo. Di fatto, è come avere un unico ponte, le cui resistenze sono di valore dimezzato rispetto a quelle dei due ponti originali, sulla cui diagonale si preleva l’uscita. L’impedenza di uscita coincide con quella misurata nel paragrafo 3.6.1 ; il rumore termico introdotto dai fili, in queste condizioni di misura, dovrà allora essere:

𝑆_𝑣𝑛𝑜(𝑓) = 4𝑘𝑇

|𝑍_∞||𝑍𝑏𝑟(𝑓)|

2

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Figura 3.19: circuito rappresentante i ponti di Wheatstone sotto misura, in cui sono stati esplicitati i generatori di tensione di rumore in serie a ciascun resistore. Le diagonali dei ponti sono state cortocircuitate per disaccoppiare termicamente le coppie di fili sui rami opposti dei ponti.

L’uscita 𝑣𝑜 viene quindi prelevata ed acquisita dal sistema di misura. In particolare, come

descritto nel paragrafo 3.3.2, ogni misura di rumore consta di due acquisizioni, effettuate sulla banda fino a 100 𝐻𝑧 e su quella fino a 10 𝐾𝐻𝑧 . Gli spettri così acquisiti sono stati successivamente uniti, in modo da ottenere la densità spettrale di tensione in uscita riportata in figura 3.20. 0,1 1 10 100 1000 10000 10-5 10-4 10-3 V SD (V  Hz ) f (Hz) Rumore misurato

Rumore previsto dal modello

Figura 3.20: confronto tra la densità spettrale di tensione di rumore misurata e quella prevista dal modello per

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Gli spettri riportati in figura 3.20 sono stati misurati in corrispondenza di una tensione di polarizzazione dei ponti di 14 𝑉.

Il rumore previsto dal modello, il cui andamento è rappresentato dalla curva in rosso, considera il rumore termico e flicker introdotto dall’apparato di misura (quantificato nel paragrafo 3.5) ed il rumore termico dei fili, dato dalla formula (3.43).

Si osserva come, per frequenze abbastanza alte, per le quali il rumore è ormai costante, i risultati sperimentali coincidono con quelli del modello. Il livello di rumore risulta essere di 6.3 𝜇𝑉 √𝐻𝑧 ⁄ _{che, riportato in ingresso all’amplificatore da strumentazione, è 6.3 𝑛𝑉 √𝐻𝑧} ⁄ . Procedendo in modo analogo a quanto fatto nel paragrafo 3.5 , ed utilizzando la stessa notazione, si possono calcolare analiticamente i vari termini di rumore:

 il contributo dato dalla tensione di rumore dell’amplificatore da strumentazione e dalla resistenza di guadagno è invariato rispetto a quello calcolato in 3.5;

 𝑅_𝑠 = |𝑍_∞| 2 = 427.5 𝛺⁄ per 𝑉_𝐵𝑅 = 14 𝑉 , dà un rumore: √2(5.85 ⋅ √𝑅𝑠[𝐾𝛺] )2 =

5.41 𝑛𝑉 √𝐻𝑧 ⁄ ;

 il contributo dato dalla corrente di rumore termico dell’amplificatore da strumentazione che fluisce sui resistori 𝑅_𝑠 è: √2(𝑅_𝑠[𝐾𝛺] ⋅ 0.2)2 _{= 0.12 𝑛𝑉 √𝐻𝑧 ⁄ .}

La densità spettrale di tensione di rumore termico in ingresso è quindi:

𝑉𝑆𝐷𝑖𝑛(𝑇𝐻) = √3.5 2+ 5.41 2+ 0.12 2 = 6.45 𝑛𝑉 √𝐻𝑧 ⁄

valore leggermente superiore a quello misurato, ma che rientra nella deviazione standard del rumore.

Le misure evidenziano però la presenza di un eccesso di rumore a bassa frequenza, rispetto a quanto previsto dal modello, dovuto al rumore flicker introdotto dai fili di polisilicio siliciurizzato. La presenza di rumore flicker introdotto da layer di siliciuri è stata effettivamente osservata in numerosi lavori scientifici. Questa può essere imputabile a fluttuazioni della mobilità [23] o del numero di portatori di carica [24], a causa di meccanismi di intrappolamento e rilascio dei portatori legati alla difettosità dei siliciuri: si vedano ad esempio [25, 26]. Si deve anche osservare come, nel caso in esame, la densità di corrente imposta sui fili in corrispondenza delle tensioni di polarizzazione più alte, sia superiore al limite prescritto da manuale di processo: questa potrebbe dar luogo a fenomeni di elettromigrazione che, come è noto, possono contribuire a generare rumore a bassa frequenza con andamento di tipo flicker.

Nello spettro misurato sembra essere effettivamente visibile un andamento di tipo polo- zero, attribuibile al meccanismo descritto nel paragrafo precedente. In particolare, la posizione dello zero sembra essere ben approssimata dal modello analitico, mentre quella del

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polo è di difficile valutazione, a causa del rumore flicker presente in corrispondenza di quelle frequenze.

Tuttavia, non può essere escluso che il cambio di pendenza osservato, che è stato attribuito alla presenza del polo e dello zero, sia in realtà dovuto allo stesso rumore flicker introdotto dai fili, che tende ad appiattirsi avvicinandosi alla relativa frequenza di corner.