3.3.1 Progetto dell’interfaccia analogica
3.3.2 Progetto dello stadio di guadagno e del filtro anti aliasing regolabile
L’ulteriore stadio di amplificazione è costituito da un altro amplificatore da strumentazione, il cui guadagno 𝐺2 è regolabile, secondo le modalità prima descritte, tra due valori: 𝐺2 = 1,
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quando il resistore 𝑅𝐺 è disinserito; 𝐺2 = 10 quando il resistore 𝑅𝐺 = 1.1 𝐾𝛺 è connesso.
Il guadagno complessivo del sistema di misura sarà allora: 𝐺 = 𝐺1𝐺2.
Il segnale single ended in uscita dall’amplificatore da strumentazione deve essere filtrato. Per ottenere un sistema versatile si è scelto di rendere regolabile la frequenza di taglio del filtro, che può essere selezionata tra tre possibili valori: 100 𝐻𝑧, 10 𝐾𝐻𝑧 e 1 𝑀𝐻𝑧. Per le misure in esame si utilizzeranno le prime due frequenze di taglio:
quella a 100 𝐻𝑧, per poter acquisire il segnale, a bassa frequenza e su una banda ridotta, con una miglior risoluzione frequenziale, a parità di numero di campioni; quella a 10 𝐾𝐻𝑧, per poter estendere le misure a tutto lo spettro di interesse con una
minor risoluzione.
Ogni misura di rumore consisterà in due acquisizioni successive, effettuate nelle due bande indicate. I risultati saranno poi uniti per ottenere un unico spettro, che si estenderà da frequenze inferiori ad 1 𝐻𝑧 fino a 10 𝐾𝐻𝑧. Il fatto che la risoluzione non sia costante con la frequenza non costituisce un problema significativo: gli spettri di rumore risultano infatti molto regolari, senza discontinuità o cambi repentini di pendenza.
Per le misure di rumore è necessario utilizzare filtri che presentino una risposta in frequenza il più possibile piatta (in modulo) in banda passante. Per questo motivo si è scelto di implementare dei filtri di Butterworth, il cui ordine deve essere abbastanza alto da attenuare adeguatamente le componenti fuori banda. Il caso più critico è quello del filtro con frequenza di taglio di 𝑓𝑐 = 100 𝐻𝑧, perché il minimo limite frequenziale ad essa superiore
impostabile nel sistema di acquisizione è di 162 𝐻𝑧, corrispondente ad una frequenza di campionamento 𝑓𝑠 = 324 𝐻𝑧. Con riferimento alla figura 3.5, nella quale è rappresentato schematicamente lo spettro per frequenze positive, la minima componente frequenziale oltre la frequenza di taglio del filtro che entra in banda per effetto del campionamento è: 𝑓𝑚𝑖𝑛 = 𝑓𝑠− 𝑓𝑐 = 324 − 100 = 224 𝐻𝑧.
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Con un filtro del 4° ordine questa componente viene attenuata di un fattore:
(𝑓𝑚𝑖𝑛 𝑓𝑐 ) 4 = (224 100) 4 ≈ 25
che è più che sufficiente per tagliare le componenti di rumore fuori banda: in termini di densità spettrale di potenza si ha infatti un’attenuazione di un fattore 252. Più critica sarebbe la
presenza di segnali interferenti (toni) in corrispondenza di 𝑓𝑚𝑖𝑛, che potrebbero essere anche
di ampiezza relativamente elevata: un’attenuazione di un fattore 25 potrebbe rivelarsi insufficiente. Tuttavia, i disturbi più difficili da evitare sono solitamente localizzati a frequenze maggiori. Alimentatori switching, circuiti digitali e monitor di computer producono infatti disturbi a frequenze di decine di 𝐾𝐻𝑧 o superiori, che sono ben più lontane dalla banda del filtro. È comunque importante ridurre al massimo queste interferenze mediante opportune schermature ed una distribuzione ottimale delle connessioni di ground.
Per il filtro con frequenza di taglio di 𝑓𝑐 = 10 𝐾𝐻𝑧 , il minimo limite frequenziale impostabile nel sistema di acquisizione è superiore ai 20 𝐾𝐻𝑧, quindi le specifiche sono più rilassate ed un filtraggio del 4° ordine è, a maggior ragione, sufficiente.
Un filtro passa basso del 4° ordine può essere implementato con due celle di Sallen-Key in cascata, il cui schema è riportato in figura 3.6. Ciascuna cella, composta da due resistori, due condensatori e un amplificatore operazionale, permette di realizzare un filtraggio passa basso del 2° ordine. Le celle hanno guadagno unitario in banda passante.
Figura 3.6: cascata di due celle di Sallen-Key passa basso con guadagno unitario in banda passante.
Il polinomio di Butterworth normalizzato del 4° ordine è:
(𝑠2+ 0.765𝑠 + 1)(𝑠2+ 1.848𝑠 + 1) (3.1)
I componenti delle celle di Sallen-Key devono essere dimensionati in modo tale da implementare questo polinomio, così da ottenere effettivamente un filtro di Butterworth.
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La funzione di trasferimento del circuito di figura 3.6 può essere scritta come:
𝐻(𝑠) =𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) = 1 𝑅1𝐴𝑅1𝐵𝐶1𝐴𝐶1𝐵 𝑠2+ ( 1 𝑅1𝐵𝐶1𝐴+ 1 𝑅1𝐴𝐶1𝐴) 𝑠 + 1 𝑅1𝐴𝑅1𝐵𝐶1𝐴𝐶1𝐵 ⋅ 1 𝑅2𝐴𝑅2𝐵𝐶2𝐴𝐶2𝐵 𝑠2+ ( 1 𝑅2𝐵𝐶2𝐴+ 1 𝑅2𝐴𝐶2𝐴) 𝑠 + 1 𝑅2𝐴𝑅2𝐵𝐶2𝐴𝐶2𝐵 = 𝜔𝑐 2 𝑠2+𝜔𝑐 𝑄1𝑠 + 𝜔𝑡 2⋅ 𝜔𝑐2 𝑠2+𝜔𝑐 𝑄2𝑠 + 𝜔𝑡 2= 1 𝑠2 𝜔𝑐2+ 1 𝑄1 𝑠 𝜔𝑐+ 1 ⋅ 1 𝑠2 𝜔𝑐2+ 1 𝑄2 𝑠 𝜔𝑐 + 1 (3.2) essendo: 𝜔𝑐2 = 1 𝑅1𝐴𝑅1𝐵𝐶1𝐴𝐶1𝐵 = 1 𝑅2𝐴𝑅2𝐵𝐶2𝐴𝐶2𝐵= (2𝜋𝑓𝑐) 2 (3.3)
il quadrato della pulsazione di taglio del filtro, e:
𝑄𝑖 = √𝑅𝑖𝐴𝑅𝑖𝐵𝐶𝑖𝐴𝐶𝑖𝐵
𝐶𝑖𝐵(𝑅𝑖𝐴+ 𝑅𝑖𝐵) (3.4)
il fattore di merito della i-esima cella. Dalle equazioni (3.3) e (3.4) si ricava:
𝑅𝑖𝐴 = 1
2𝜔𝑡𝑄𝑖𝐶𝑖𝐵(1 ± √1 −
4𝑄𝑖2𝐶𝑖𝐵
𝐶𝑖𝐴 ) (3.5)
che è valida se il discriminante è maggiore o uguale a zero, condizione ottenuta per:
𝐶𝑖𝐴 𝐶𝑖𝐵 ≥ 4𝑄𝑖
2
(3.6)
Questa disuguaglianza pone un vincolo di progetto sul rapporto tra le capacità delle celle. Dall’equazione (3.3) segue inoltre:
𝑅𝑖𝐵 =
1 𝜔𝑐2𝑅
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Il sistema di equazioni (3.5), (3.6) e (3.7) permette di dimensionare i componenti delle celle del filtro, una volta fissate la pulsazione di taglio (specifica di progetto) ed il fattore di merito (ottenibile dal confronto con il polinomio di Butterworth). Si possono infatti scegliere arbitrariamente i valori delle capacità 𝐶𝑖𝐴 e 𝐶𝑖𝐵, purché rispettino la condizione (3.6); i valori di 𝑅𝑖𝐴 e 𝑅𝑖𝐵 risultano di conseguenza fissati, e ricavabili dalle equazioni (3.5) e (3.7).
La funzione di trasferimento (3.2) può essere normalizzata rispetto alla pulsazione di taglio effettuando la sostituzione formale 𝑠 𝜔⁄ 𝑐 → 𝑠; si ottiene così:
𝐻(𝑠) = 1 𝑠2+ 1 𝑄1𝑠 + 1 ⋅ 1 𝑠2+ 1 𝑄2𝑠 + 1 (3.8)
Dal confronto tra i denominatori della funzione di trasferimento normalizzata ed il polinomio di Butterworth normalizzato si ricavano i fattori di merito delle due celle del filtro:
per la 1° cella: 𝑠2+ 1 𝑄1 𝑠 + 1 = 𝑠2+ 0.765𝑠 + 1 ⇒ 𝑄 1= 1 0.765= 1.307 per la 2° cella: 𝑠2+ 1 𝑄2 𝑠 + 1 = 𝑠2+ 1.848𝑠 + 1 ⇒ 𝑄 2= 1 1.848= 0.5411
Nella tabella 3.1 si riportano i valori dei filtri, per le diverse frequenze di taglio, ottenuti con la procedura sopra descritta.
1° cella 2° cella
𝑓𝑐 𝑅1𝐴 𝑅1𝐵 𝐶1𝐴 𝐶1𝐵 𝑅2𝐴 𝑅2𝐵 𝐶2𝐴 𝐶2𝐵
100 𝐻𝑧 91 𝐾𝛺 27 𝐾𝛺 100 𝑛𝐹 10 𝑛𝐹 110 𝐾𝛺 22 𝐾𝛺 47 𝑛𝐹 22 𝑛𝐹
10 𝐾𝐻𝑧 9.1 𝐾𝛺 2.7 𝐾𝛺 10 𝑛𝐹 1 𝑛𝐹 11 𝐾𝛺 2.2 𝐾𝛺 4.7 𝑛𝐹 2.2 𝑛𝐹
1 𝑀𝐻𝑧 1.5 𝐾𝛺 1.1 𝐾𝛺 330 𝑝𝐹 47 𝑝𝐹 4.3 𝐾𝛺 1.8 𝐾𝛺 68 𝑝𝐹 47 𝑝𝐹
Tabella 3.1: valori dei componenti delle due celle di Sallen-Key per le diverse frequenze di taglio dei filtri.
In figura 3.7 è riportato lo schema elettrico del circuito formato dall’amplificatore da strumentazione e dal banco di filtri anti aliasing. Nello schema sono stati riportati i valori dei componenti, dimensionati secondo le procedure descritte precedentemente.
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Figura 3.7: amplificatore da strumentazione, seguito da un banco di filtri anti aliasing e da un percorso diretto verso l’uscita, sulla quale può essere instradato il segnale voluto. Partendo dall’alto dello schema verso il basso si hanno: il filtro a 100 𝐻𝑧, quello a 10 𝐾𝐻𝑧, quello a 1 𝑀𝐻𝑧 ed il percorso diretto.
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Il selettore 𝑆1 permette la regolazione del guadagno 𝐺2. L’uscita dell’amplificatore da strumentazione è connessa al banco di filtri; i selettori 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4 e 𝑆5 permettono di
abilitare/disabilitare i relativi rami, costituiti dai filtri anti aliasing con frequenze di taglio di 100𝐻𝑧 , 10 𝐾𝐻𝑧 , 1 𝑀𝐻𝑧 e dal percorso diretto che consente di bypassare il filtraggio, portando direttamente il segnale in uscita. Infine, il selettore 𝑆6 permette di regolare la
frequenza di taglio del circuito, selezionando in uscita il segnale elaborato dal filtro desiderato oppure il segnale diretto.
L’amplificatore da strumentazione utilizzato è ancora una volta l’ADA8421. Per le coppie di amplificatori operazionali del filtro a 100 𝐻𝑧 (𝑈2 e 𝑈3) e di quello a 10 𝐾𝐻𝑧 (𝑈4 e 𝑈5) si è utilizzato l’ OPA4140 (integrato con 4 amplificatori operazionali); per le coppie di amplificatori operazionali del filtro a 1 𝑀𝐻𝑧 (𝑈6 e 𝑈7) si è utilizzato invece l’ ADA4898 (integrato con 2
amplificatori operazionali), maggiormente adatto all’impego ad alta frequenza.
L’intero circuito è stato realizzato su una singola board. Si è usato il software KiCad per il disegno del layout, realizzato con sintesi manuale su due layer (top e bottom). Le dimensioni del layout finale, riportato in figura 3.8, sono 5.5x3.4 𝑐𝑚; tutti i componenti utilizzati sono surface mount.
(a) (b) Figura 3.8: lato top (a) e bottom (b) del layout del circuito di figura 3.7.
Nel layout sono presenti anche dei condensatori da 100 𝑛𝐹, connessi tra le alimentazioni duali dei circuiti integrati (𝑉𝐷𝐷 e 𝑉𝑆𝑆) e 𝐺𝑁𝐷, fisicamente disposti vicino agli integrati stessi per
ridurre le induttanze parassite dei collegamenti. Questi condensatori servono per far sì che l'impedenza differenziale tra le alimentazioni rimanga bassa fino a frequenze elevate, impedendo la trasmissione di segnali spuri dalle alimentazioni verso gli amplificatori. Dato l'elevato prodotto guadagno-banda degli amplificatori da strumentazione e degli operazionali, le linee di alimentazioni potrebbero infatti costituire un percorso di accoppiamento tra i vari
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blocchi, introducendo cross-talking indesiderato o persino oscillazioni spurie. Si sono inoltre aggiunti dei condensatori da 4.7 𝜇𝐹, vicino ai connettori delle alimentazioni, tra 𝑉𝐷𝐷, 𝑉𝑆𝑆 e
𝐺𝑁𝐷, per mantenere una bassa impedenza tra le alimentazioni anche alle basse frequenze.