3.3.1 Progetto dell’interfaccia analogica
3.6 Caratterizzazione dell’impedenza dei pont
3.6.2 Modello analitico dell’impedenza
Le misure effettuate hanno messo in luce la dipendenza dell’impedenza dei ponti dalla frequenza. In particolare, come ben visibile dai grafici riportati in figura 3.15, la dipendenza dalla frequenza dell’impedenza è funzione anche della tensione 𝑉𝐵𝑅 applicata ai capi dei ponti:
tanto più questa è elevata, tanto più la dipendenza dell’impedenza dalla frequenza è marcata (cioè le singolarità sono più distanziate, con conseguente allontanamento delle zone piatte). All’aumentare della tensione di polarizzazione, aumenta la temperatura statica dei fili e le singolarità si allontanano; questo significa che le singolarità dipendono significativamente dalle condizioni statiche di temperatura. Per frequenze abbastanza alte, le variazioni del segnale sono troppo rapide ed i transitori termici non riescono a seguirle: l’impedenza dei
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ponti in queste condizioni (|𝑍∞| ) sarà allora dovuta al solo riscaldamento statico. Questo è effettivamente quello si osserva confrontando i valori di |𝑍∞|, riportati in tabella 3.2, con i
risultati delle misure statiche documentati nel paragrafo 3.4 . Invece, per frequenze sufficientemente piccole le variazioni termiche riescono a seguire il segnale, con conseguente aumento dell’impedenza.
Nel seguito si presenta un modello analitico volto a quantificare gli effetti della temperatura sul comportamento dell’impedenza. Rispetto al modello sviluppato nel capitolo precedente verranno considerati anche gli effetti dovuti alle capacità termiche del sistema.
Si consideri il caso di un singolo filo: questo presenterà delle resistenze e delle capacità termiche verso l’aria e verso il substrato, i cui valori complessivi sono indicati rispettivamente con 𝛩𝑡 e 𝐶𝑡. Ai capi del filo viene imposta una differenza di potenziale 𝑉 che induce una
corrente elettrica 𝐼 attraverso il filo stesso. Si ha così una dissipazione di potenza elettrica esprimibile come:
𝑃𝑒 = 𝑉𝐼 = 𝑅𝑇𝐼2 (3.20)
Questa provoca un riscaldamento del filo per effetto Joule, la cui temperatura statica (media) aumenta di una quantità 𝛥𝑇 rispetto alla temperatura ambiente 𝑇0. 𝑅𝑇 rappresenta la
resistenza del filo alla temperatura riscaldata 𝑇 = 𝑇0+ 𝛥𝑇 , il cui valore è ricavabile dall’equazione (3.11).
In condizioni statiche si può far riferimento all’equivalente elettrotermico riportato in figura 3.16 (𝑎) , in cui la potenza elettrica 𝑃𝑒 fluisce attraverso la resistenza termica 𝛩𝑡, portando il filo alla temperatura statica 𝑇. L’incremento di temperatura statica del filo può essere espresso come:
𝛥𝑇 = 𝑃𝑒𝛩𝑡 (3.21)
(a) (b)
Figura 3.16: circuito termico statico, in cui si è assunto come riferimento termico la temperatura ambiente 𝑇0 (a),
e circuito termico per le piccole variazioni, in cui si è assunto come riferimento termico la temperatura statica del filo, 𝑇 (b).
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Si considerino adesso le piccole variazioni di potenza, che provocano piccole variazioni della temperatura del filo attorno al valore statico 𝑇. Differenziando l’equazione (3.20), si possono esprimere le piccole variazioni di potenza elettrica come:
𝑝𝑒 = 𝑣𝐼 + 𝑉𝑖 (3.22)
avendo indicato con le lettere minuscole le variazioni della relativa grandezza.
Variazioni di potenza possono essere provenire anche da una sorgente esterna 𝑝𝑠; è ad
esempio il caso di un segnale acustico che induce un flusso di calore sul filo (i fenomeni acustici possono a ragione essere considerati di piccola entità, come discusso nel capitolo 1). La variazione di potenza complessiva può quindi essere scritta come:
𝑝𝑡 = 𝑝𝑒+ 𝑝𝑠 (3.23)
Questa provoca la variazione della temperatura del filo di una quantità 𝛿𝑇. L’equivalente elettrotermico per le variazioni è riportato in figura 3.16 (𝑏); a differenza del caso statico, si considerano gli effetti della capacità termica. Si è inoltre posto come riferimento termico la temperatura statica del filo, 𝑇.
Differenziando l’espressione della tensione statica ai capi del filo, 𝑉 = 𝑅𝑇𝐼, si ottiene:
𝑣 = 𝛿𝑅𝐼 + 𝑅𝑇𝑖 (3.24)
dove 𝛿𝑅 è la variazione di resistenza del filo dovuta alla variazione di temperatura 𝛿𝑇, e può essere espressa differenziando l’equazione (3.11):
𝛿𝑅 =𝑑𝑅𝑇 𝑑𝑇 𝛿𝑇 = 𝑅𝑇(𝛼 ′+ 2𝛽′𝛥𝑇)𝛿𝑇 = 𝑅 𝑇𝛾𝛿𝑇 (3.25) essendo: { 𝛼′ = 𝛼𝑅0 𝑅𝑇, 𝛽′ = 𝛽𝑅0 𝑅𝑇 (3.26)
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𝛾 = 𝛼′+ 2𝛽′𝛥𝑇 (3.27)
quantità che rappresenta una sorta di TCR equivalente, che ingloba gli effetti dei TCR di primo e secondo ordine.
Sostituendo l’equazione (3.25) nella (3.24), si ottiene:
𝑣 = 𝑅𝑇𝛾𝛿𝑇𝐼 + 𝑅𝑇𝑖 (3.28)
Con riferimento al circuito di figura 3. 16 (𝑏), la variazione di temperatura, rispetto al valore statico 𝑇, indotta dalla variazione di potenza 𝑝𝑡 può essere espressa nel dominio di Laplace
come: 𝛿𝑇 = 𝑝𝑡 𝛩𝑡 1 +𝜔𝑠 𝑝𝑇 (3.29) dove: 𝜔𝑝𝑇 = 1 𝛩𝑡𝐶𝑡 (3.30)
è la pulsazione del polo termico. Definendo la funzione di trasferimento tra 𝑝𝑡 e 𝛿𝑇 come:
𝐹(𝑠) = 𝛩𝑡
1 +𝜔𝑠
𝑝𝑡
(3.31)
ed utilizzando le relazioni (3.22) e (3.23), la (3.29) può essere scritta come:
𝛿𝑇 = 𝑝𝑡𝐹(𝑠) = (𝑣𝐼 + 𝑉𝑖 + 𝑝𝑠)𝐹(𝑠) (3.32)
che, sostituita nella (3.28), dà:
𝑣 = 𝛾𝑅𝑇𝐼𝐹(𝑠)𝑝𝑠+ 𝛾𝑅𝑇𝐼2𝐹(𝑠)𝑣 + 𝛾𝑅
𝑇𝐼𝑉𝐹(𝑠)𝑖 + 𝑅𝑇𝑖 (3.33)
62 𝑣 = 𝛾𝑉𝐹(𝑠) 1 − 𝛾𝑃𝑒𝐹(𝑠)𝑝𝑠+ 𝑅𝑇 1 + 𝛾𝑃𝑒𝐹(𝑠) 1 − 𝛾𝑃𝑒𝐹(𝑠)𝑖 (3.34)
Il primo termine rappresenta la variazione di tensione dovuta alla variazione 𝑝𝑠, il secondo
termine quella dovuta alla variazione di corrente. La funzione di trasferimento che lega 𝑣 ed 𝑖 non è altro che la resistenza dinamica del filo. In assenza di variazioni esterne (𝑝𝑠 = 0), si può
esprimere la resistenza dinamica del filo come:
𝑟(𝑠) =𝑣 𝑖 = 𝑅𝑇 1 + 𝛾𝑃𝑒𝐹(𝑠) 1 − 𝛾𝑃𝑒(𝑠) = 𝑅𝑇 1 + 𝛾𝑃𝑒 𝛩𝑡 1 + 𝑠 𝜔⁄ 𝑝𝑇 1 − 𝛾𝑃𝑒 𝛩𝑡 1 + 𝑠 𝜔⁄ 𝑝𝑇 = 𝑅𝑇 1 +𝜔𝑠 𝑝𝑇 + 𝛾𝑃𝑒𝛩𝑡 1 +𝜔𝑠 𝑝𝑇 − 𝛾𝑃𝑒𝛩𝑡 = 𝑅𝑇(1 + 𝛾𝑃𝑒𝛩𝑡) (1 − 𝛾𝑃𝑒𝛩𝑡) 1 +𝜔 𝑠 𝑝𝑇(1 + 𝛾𝑃𝑒𝛩𝑡) 1 +𝜔 𝑠 𝑝𝑇(1 − 𝛾𝑃𝑒𝛩𝑡) = 𝑅(0) 1 +𝜔𝑠 𝑧 1 +𝜔𝑠 𝑝 (3.35)
dove si sono definite la resistenza per 𝑠 = 0:
𝑟(0) = 𝑅(0) = 𝑅𝑇(1 + 𝛾𝛥𝑇)
(1 − 𝛾𝛥𝑇) (3.36)
e le pulsazioni di zero e di polo dell’impedenza del filo:
{𝜔𝑧 = 𝜔𝑝𝑇(1 + 𝛾𝛥𝑇)
𝜔𝑝 = 𝜔𝑝𝑇(1 − 𝛾𝛥𝑇) (3.37)
che coincidono con la pulsazione del polo termico 𝜔𝑝𝑇 spostata rispettivamente in alto e in basso di una quantità che dipende dal riscaldamento statico del filo. Queste espressioni evidenziano come il polo preceda lo zero e come la distanza tra le due singolarità venga incrementata all’aumentare del riscaldamento statico dei fili.
Questo modello prevede che le variazioni a bassa frequenza siano seguite dai transitori termici: in tali condizioni la resistenza dinamica del filo si porta al valore 𝑅(0). Le variazioni ad alta frequenza, oltre alle frequenze delle singolarità definite in (3.37), non vengono invece seguite a causa dell’inerzia termica del sistema; infatti per 𝑠 → ∞ si ha 𝑟(∞) = 𝑅𝑇: il valore di
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Queste conclusioni risultano essere in accordo con i risultati sperimentali ricavati nel paragrafo 3.6.1. Risulta tuttavia difficile risalire analiticamente al valore delle singolarità 𝜔𝑧 e
𝜔𝑝 , perché la loro quantificazione richiede la conoscenza delle proprietà termiche e
geometriche dell’aria circostante, necessarie per il calcolo della frequenza del polo termico. In ogni caso, è possibile partire dalla misura della frequenza di una singolarità, e, da questa, ricavare analiticamente la frequenza dell’altra; in questo modo si può valutare se la distanza tra le singolarità prevista dal modello risulta consistente con i dati sperimentali.
Il modello analitico, sviluppato nel caso di un singolo filo, può essere esteso al parallelo dei due ponti di Wheatstone ; una rivisitazione dell’equazione (3.35) permette di esprimere la dipendenza dell’impedenza dei ponti, 𝑍𝑏𝑟 rispetto alla variabile 𝑠 come:
𝑍𝑏𝑟(𝑠) = 𝑍0 1 +𝜔𝑠 𝑧 1 +𝜔𝑠 𝑝 (3.38)
Si consideri, ad esempio, il caso in cui la tensione statica applicata ai capi dei ponti sia 𝑉𝐵𝑅 = 5 𝑉. In queste condizioni, l’incremento di temperatura statica media dei fili, ricavabile
dalle misure riportate nel paragrafo 3.4, risulta essere 𝛥𝑇 = 66.15 𝐾; dalle stesse misure si risale anche al valore della resistenza dei ponti a temperatura ambiente: 424𝛺. Il TCR può essere calcolato tramite la relazione (3.27):
𝛾 = 𝛼′+ 2𝛽′𝛥𝑇 = (2.9 ⋅ 10−3− 9 ⋅ 10−5) 𝐾−1 ≈ 2.81 ⋅ 10−3𝐾−1
nella quale si sono utilizzati i valori dell’impedenza del parallelo dei ponti. Lo zero, ottenuto dalle misure di impedenza, risulta essere a frequenza 𝑓𝑧 = 578.1 𝐻𝑧; tramite le espressioni
(3.37), si è in grado di valutare la frequenza del polo termico:
𝑓𝑝𝑇 = 𝑓𝑧
(1 + 𝛾𝛥𝑇)= 485.5 𝐻𝑧
e quella del polo dell’impedenza:
𝑓𝑝 = 𝑓𝑝𝑇(1 − 𝛾𝛥𝑇) = 396.9 𝐻𝑧
Con la stessa procedura si determinano le quantità relative alle tensioni di polarizzazione 𝑉𝐵𝑅 = 10 𝑉 e 𝑉𝐵𝑅 = 14 𝑉 . In tabella 3.3 è riportato il confronto tra le distanze tra le
singolarità così ottenute e quelle ricavate dalle misure, e la differenza 𝛥 tra i due valori. Si osserva come il modello preveda, almeno a livello qualitativo,l’aumento della distanza tra il polo e lo zero all’aumentare della temperatura statica e fornisca valori che si discostano meno del 20% dai risultati delle misure. La discrepanza non trascurabile può essere attribuita alle
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approssimazioni del modello; su tutte, l’aver considerato il filo a temperatura uniforme, ipotesi in realtà non verificata: la temperatura del filo, massima al centro, si riduce verso le estremità.
Risultati analitici Valori misurati Differenza
𝑉𝐵𝑅 (𝑉) 𝛥𝑇 (𝐾) 𝛾 (𝐾−1) 𝑓
𝑝 (𝐻𝑧) 𝑓𝑝 (𝐻𝑧) 𝛥 (𝐻𝑧)
5 66.15 2.81 ⋅ 10−3 396.9 471.6 74.7
10 198.9 1.81 ⋅ 10−3 316.7 368.8 52.1
14 320.2 1.4 ⋅ 10−3 277.1 337.5 60.4
Tabella 3.3: confronto tra i valori analitici e quelli misurati per diversi valori della tensione di polarizzazione.