Simulazioni struttural

Queste simulazioni coinvolgono esclusivamente le parti sospese del sensore, che costituiscono il cantilever.

Ogni particella materiale del solido si trova, in assenza di sollecitazioni, nello stato di quiete descritto dalle coordinate di riferimento 𝑹. La presenza di sollecitazioni (forze interne ed esterne) deforma il solido, portandone le particelle materiali nella posizione descritta dalle coordinate cartesiane:

𝒓 = 𝒓(𝑹, 𝑡) = 𝑹 + 𝒖(𝑡) (4.10)

dove si è introdotto il vettore degli spostamenti 𝒖; questo vettore, diretto dalla posizione di riferimento a quella deformata, permette di tener conto degli spostamenti indotti dalle sollecitazioni.

Si impone come fisso (𝒖 = 0) l’ossido posteriore (sul quale è ancorato il cantilever), che funge da vincolo. Gli ossidi di rivestimento della parte sospesa, le metal ed il polisilicio sono invece liberi di muoversi. Le condizioni iniziali prevedono che tutto sia inizialmente nella posizione di riposo (𝒖 = 0) e fermo (𝛿𝒖

𝛿𝑡 = 0).

La struttura è soggetta alla propria forza peso lungo l’asse 𝑧, imposta come una forza distribuita sul volume 𝐹_𝑣𝑧 = 𝑔𝜌, dove 𝑔 è il modulo dell’accelerazione gravitazionale e 𝜌 la densità del materiale. Questa è legata allo stress tramite la relazione 𝛻 ⋅ 𝝈 + 𝑭𝒗= 0, essendo

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𝝈 il tensore degli stress. Nell’ipotesi in cui le deformazioni subite dal corpo siano piccole, sussiste una relazione costitutiva lineare tra il tensore degli stress e quello della deformazione:

𝝈 = 𝑪: 𝜺 (4.11)

dove 𝑪 è il tensore di elasticità ed 𝜺 il tensore degli spostamenti, dato da 𝜺 =1

2[𝛻𝒖 + 𝛻𝒖 𝑇_].

Il modulo termico passa a quello strutturale la distribuzione di temperatura 𝑇 dovuta al riscaldamento dei fili, quindi la struttura è soggetta ad espandersi termicamente; questo provoca un ulteriore stress che può essere incluso nell’equazione (4.11), che diventa:

𝝈 = 𝑪: [𝜺 − 𝜶(𝑇 − 𝑇0)] (4.12)

essendo 𝜶 il tensore di espansione termica.

L’obiettivo principale di queste simulazioni è quello di valutare gli stress sul polisilicio e sugli ossidi. Le metal si trovano ad una temperatura notevolmente inferiore, quindi lo stress da esse subito non è critico.

È di fondamentale importanza dimensionare i parametri geometrici del sensore in modo tale che i materiali che lo compongono non subiscano uno stress eccessivo. Se questo accadesse, i materiali si deformerebbero eccessivamente, abbandonando il regime elastico per passare a quello plastico, in cui si hanno deformazioni permanenti: il materiale non ritorna più nella configurazione originale una volta rimossa la sollecitazione. Data la natura molto complessa del problema (sono presenti stress e tensioni di taglio su tutte le direzioni), si fa riferimento al criterio di Von Mises, che considera una combinazione dello stato di sollecitazione tridimensionale che permette di ricondurre la sollecitazione stessa ad un equivalente monoassiale detto stress di Von Mises, 𝜎𝑣𝑚. Affinché un corpo rimanga in regime

elastico, non può subire uno stress 𝜎𝑣𝑚 superiore al limite di snervamento del materiale da

cui è composto.

Determinare le proprietà meccaniche ed i valori dei limiti di snervamento dei materiali non è semplice perché il manuale del processo BCD8s non fornisce indicazioni dettagliate su questi aspetti. Inoltre, le caratteristiche meccaniche sono influenzate anche dal metodo con cui un layer di un certo materiale è stato realizzato (se è stato cresciuto termicamente o deposto, a quale temperatura di processo ecc.). Ulteriori complicazioni sorgono nella caratterizzazione dell’ossido di silicio, in quanto non è costituito da un unico strato omogeneo, ma da più strati sovrapposti; è infatti formato dall’ossido di campo (cresciuto termicamente) e da altri due ossidi deposti in fasi successive. In mancanza di informazioni più dettagliate, si sono utilizzate le proprietà standard delle librerie di COMSOL.

Si possono assumere i seguenti valori, puramente indicativi (e cautelativi), per i limiti di snervamento: 450 𝑀𝑃𝑎 per l’ossido di silicio [31], 1 𝐺𝑃𝑎 per il polisilicio [32].

Degli importanti riferimenti possono essere ricavati dalle simulazioni strutturali eseguite sul modello del sensore precedentemente realizzato, che ha mostrato un’ottima solidità strutturale. I risultati di queste simulazioni danno come massimi stress di Von Mises per l’ossido e per il polisilicio rispettivamente 𝜎𝑣𝑚_𝑜𝑥 = 246.3 𝑀𝑃𝑎 e 𝜎𝑣𝑚_𝑝 = 272 𝑀𝑃𝑎.

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Le simulazioni strutturali richiedono una elevata accuratezza nel disegno del modello. È necessario unire tutti i domini di uno stesso materiale in un unico dominio e utilizzare una mesh estremamente fine (da qui la necessità di adottare la mesh descritta in precedenza), altrimenti si ottengono dei risultati fisicamente insensati.

Sono state effettuate anche delle simulazioni per valutare le frequenze di risonanza della struttura. Queste sono risultate essere superiori ad 1 𝑀𝐻𝑧, quindi molto al di sopra delle frequenze di interesse.

Nel seguito si riportano gli andamenti dei massimi stress di Von Mises indotti sull’ossido e sul polisilicio e lo spostamento subito dal centro del filo (che è il punto di massimo spostamento) lungo 𝑧, in funzione dei principali parametri geometrici. In realtà, le variazioni dei parametri influenzano anche la distribuzione di temperatura; quindi, per capire come il solo effetto della variazione geometrica di un parametro influenzi gli stress e gli spostamenti, si è regolata la tensione di polarizzazione in modo da compensare la variazione del parametro ed ottenere la condizione di 𝛥𝑇 costante e pari a 250 𝐾.

 Lunghezza dei bracci di sospensione

È un parametro molto importante: fare dei bracci di sospensione più lunghi rende la struttura meno stabile. Questo è in contrasto con l’esigenza di fare 𝐿𝑎𝑟𝑚 grande per aumentare

l’isolamento termico, e quindi occorre trovare un compromesso. In figura 4.10 (𝑎) si può vedere come gli stress aumentino significativamente con 𝐿𝑎𝑟𝑚: è pertanto conveniente

tenersi sotto i 50 𝜇𝑚. Questo giustifica la scelta 𝐿𝑎𝑟𝑚= 40 𝜇𝑚.

(a) (b)

Figura 4.10: stress di Von Mises massimo sull’ossido e su polisilicio (a) e massimo spostamento lungo 𝑧 del filo (b) in funzione della lunghezza dei bracci di sospensione.

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 Larghezza dei dielettrici

Per quanto riguarda la larghezza dei dielettrici verticali: fare dei bracci di sospensione larghi irrobustisce sensibilmente la struttura, come si vede dai grafici riportati in figura 4.11. Lo stress dell’ossido non è perfettamente monotono rispetto a 𝑊𝑜𝑥_𝑣, ma è comunque

globalmente decrescente. Anche in questo caso, le esigenze termiche e quelle strutturali sono in contrasto. È tuttavia conveniente assecondare quest’ultime, in primo luogo perché indispensabili per la stabilità della struttura, in secondo luogo perché gli effetti di 𝑊𝑜𝑥_𝑣 sulla

temperatura sono relativamente modesti e possono essere compensati da altri parametri. Una buona scelta può essere allora 𝑊_{𝑜𝑥_𝑣} = 10 𝜇𝑚.

(a) (b)

Figura 4.11: stress di Von Mises massimo sull’ossido e su polisilicio (a) e massimo spostamento lungo 𝑧 del filo (b) in funzione della larghezza degli ossidi che costituiscono i bracci di sospensione.

(a) (b)

Figura 4.12: stress di Von Mises massimo sull’ossido e su polisilicio (a) e massimo spostamento lungo 𝑧 del filo (b) in funzione della larghezza dell’ossido che circonda il filo.

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In figura 4.12 sono mostrate le dipendenze rispetto alla larghezza del dielettrico orizzontale. Risulta conveniente minimizzare tale larghezza per ridurre gli stress: infatti, con una 𝑊_{𝑜𝑥_ℎ} piccola si riduce la massa sospesa e anche la distanza tra il filo di polisilicio ed il supporto che regge il cantilever (vedere figura 4.2). Minimizzare 𝑊𝑜𝑥_ℎ è positivo anche dal

punto di vista termico. Allora è conveniente scegliere un valore piccolo, che permetta però di ricoprire adeguatamente il filo interno, ad esempio 𝑊_{𝑜𝑥_ℎ} = 1 𝜇𝑚.

 Lunghezza del filo di polisilicio

Le simulazioni riportate in figura 4.13 mostrano come sia conveniente allungare il filo per ridurre gli stress e lo spostamento del filo stesso. Questo può sembrare controintuitivo, ma può essere spiegato alla luce del fatto che allungando il filo, a parità di temperatura media dello stesso, una parte maggiore di polisilicio si trova a temperatura più bassa (rispetto a quella massima, al centro) e quindi la dilatazione termica è ridotta.

Ancora una volta le esigenze strutturali e quelle termiche sono in contrasto. Un buon compromesso può essere 𝑙𝑝= 50 𝜇𝑚.

(a) (b)

Figura 4.13:stress di Von Mises massimo sull’ossido e su polisilicio (a) e massimo spostamento lungo 𝑧 del filo (b)

in funzione della lunghezza del filo.

 Effetti della temperatura

Infine, si valuta come gli stress e lo spostamento dipendano dalla temperatura. I parametri geometrici sono fissi: l’incremento di temperatura è ottenuto aumentando la tensione di polarizzazione. In figura 4.14 sono riportate le dipendenze rispetto a 𝛥𝑇. Si osserva come queste siano essenzialmente lineari. Per non innalzare eccessivamente il valore degli stress, non si deve aumentare troppo 𝛥𝑇; un limite superiore ragionevole è 300 𝐾.

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(a) (b)

Figura 4.14: stress di Von Mises massimo sull’ossido e su polisilicio (a) e massimo spostamento lungo 𝑧 del filo (b) in funzione dell’incremento medio di temperatura del filo.