Simulazioni termoacustiche

Si applica una sollecitazione acustica che perturberà la distribuzione di temperatura statica secondo i meccanismi descritti nel capitolo 2. L’obiettivo di queste simulazioni è quello di

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ricavare le velocità delle particelle acustiche indotte dalla sollecitazione, che saranno poi utilizzate nelle simulazioni termiche successive.

Si deve risolvere il problema fluidodinamico della propagazione delle onde acustiche nell’aria. L’aria è un fluido viscoso e termicamente conduttivo: questo comporta dissipazioni di energia durante il moto del fluido, che influenzano il moto stesso. I processi dissipativi sono conseguenza dell’irreversibilità termodinamica del moto, dovuta alle forze di attrito interne (viscosità) e alla conduzione termica. Si rende quindi necessario l’utilizzo di un modulo termoacustico, che permetta di studiare la propagazione acustica in presenza di dissipazioni energetiche.

Considerare questi fenomeni è particolarmente importante in presenza di oggetti di piccole dimensioni. Infatti, la viscosità e la conducibilità termica provocano la presenza di strati limite, in corrispondenza delle superfici solide, dove le perdite sono significative.

Gli effetti viscosi rallentano il moto del fluido (questo è dovuto agli sforzi di taglio agenti sui piani paralleli alla velocità del fluido), dando luogo ad uno strato limite di velocità. Si consideri il moto di un fluido su una superficie solida piana; questo è quello che avviene al flusso di aria a contatto con l’ossido di silicio e con il substrato. Quando le particelle in moto entrano in contatto con la superficie vengono arrestate e la loro velocità si annulla. Queste particelle rallentano quindi il moto di quelle degli strati fluidi sovrastanti, che a loro volta frenano le particelle degli strati superiori, e così via fino ad una distanza 𝛿_𝑢 in direzione perpendicolare alla superficie, per la quale l’effetto diviene trascurabile. Allontanandosi dalla superficie, la velocità del fluido nella direzione parallela alla superficie stessa aumenta fino a raggiungere il valore 𝑢∞ del flusso indisturbato. 𝛿𝑢 rappresenta lo spessore dello strato limite,

convenzionalmente definito come il valore della distanza perpendicolare alla superficie per il quale 𝑢 = 0.99𝑢∞.

Lo strato limite termico è conseguenza di una differenza di temperatura tra il flusso di aria e la superficie del solido. Infatti, le particelle di fluido che vengono a contatto con la superficie, si portano in equilibrio termico con la superficie stessa. Queste particelle scambiano energia con quelle degli strati sovrastanti, generando così un gradiente di temperatura nel fluido. Si definisce spessore dello strato termico la distanza 𝛿𝑡, in direzione perpendicolare alla

superficie, in corrispondenza della quale la temperatura 𝑇 è tale che 𝑇 − 𝑇_𝑠 = 0.99(𝑇_∞− 𝑇_𝑠), essendo 𝑇𝑠 la temperatura della superficie e 𝑇∞ la temperatura del fluido indisturbato.

Gli spessori di questi strati sono esprimibili come [33, 34]:

𝛿_𝑢 = √ 𝜇

𝜋𝑓𝜌₀ (4.16)

𝛿_𝑡 = √ 𝑘

𝜋𝑓𝜌₀𝐶_𝑝 (4.17)

dove 𝜇, 𝑘, 𝜌0 e 𝐶𝑝 sono rispettivamente la viscosità dinamica, la conducibilità termica, la

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quadrata della frequenza, e dipendenti dalla temperatura (tramite 𝜇, 𝑘, 𝜌0 e 𝐶𝑝). Quindi in

corrispondenza dell’aria intorno ai fili (riscaldata dai fili stessi) si svilupperanno strati di spessore diverso rispetto a quelli dell’aria intorno al substrato (che è a temperatura ambiente); inoltre, gli spessori saranno fortemente dipendenti dalla frequenza dello stimolo acustico.

In figura 4.17 sono riportati gli spessori degli strati in funzione della frequenza, calcolati alla temperatura di 500 𝐾. Si osserva come gli ordini di grandezza di questi strati siano confrontabili (e anche decisamente maggiori, alle basse frequenze) alle dimensioni del sensore, quindi i fenomeni viscosi e conduttivi acquisiscono un’importanza fondamentale nello studio del problema. Intorno alla frequenza di qualche decina di 𝐾𝐻𝑧, lo spessore degli strati tende a saturare.

Figura 4.17: spessori degli strati limite termico e di velocità in funzione della frequenza per 𝑇 = 500 𝐾.

I grafici in figura 4.17 sono puramente indicativi, dato che l’aria lungo cui si sviluppano gli strati si trova a temperature diverse; tuttavia, forniscono un’indicazione dell’importanza relativa dei fenomeni viscosi rispetto a quelli conduttivi: per l’aria a 500 𝐾:

𝛿_𝑢 𝛿_𝑡 = √

𝜇𝐶_𝑝

𝑘 ≈ 0.83

e anche a temperature più basse il rapporto resta praticamente inalterato, quindi risultano sempre rilevanti entrambi gli aspetti.

La distribuzione netta della velocità delle particelle, che influisce significativamente sulla sensibilità del sensore, è una funzione molto complessa non solo della temperatura e della frequenza, ma anche dei vari parametri geometrici che influenzano il posizionamento e le distanze dei fili all’interno del volume di aria.

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Come visto nel capitolo 1, la perturbazione acustica può essere trattata come una piccola oscillazione armonica. Il suo moto attraverso il fluido è governato dalle leggi fondamentali del campo fluidodinamico riportate nel paragrafo 1.1.3. Considerando le perturbazioni delle proprietà del mezzo (aria) indotte dalla sollecitazione acustica come piccole variazioni rispetto alle condizioni stazionarie (di assenza dell’onda acustica), le variabili dipendenti possono essere scritte come:

𝒖 = 𝒖_𝟎+ 𝒖′𝑒𝑖𝜔𝑡

𝑝 = 𝑝₀+ 𝑝′𝑒𝑖𝜔𝑡

𝑇_𝑑 = 𝑇_𝑑0 + 𝑇_𝑑′𝑒𝑖𝜔𝑡

𝜌 = 𝜌₀+ 𝜌′𝑒𝑖𝜔𝑡

(4.18)

dove 𝒖 è il vettore velocità delle particelle acustiche, 𝑝 la pressione acustica, 𝑇_𝑑 la temperatura, 𝜌 la densità del mezzo. Le grandezze con il pedice 0 sono quelle stazionarie, quelle con gli apici rappresentano le ampiezze delle variazioni.

Le condizioni iniziali prevedono che l’aria sia in quiete prima dell’applicazione dell’onda acustica (𝒖𝟎 = 0); 𝑝0 è la pressione statica dell’aria e la distribuzione di temperatura inziale è

quella importata dalla simulazione precedente: in questo modo è possibile determinare il valore di 𝜌0.

La temperatura 𝑇_𝑑′ è una variazione indotta dai fenomeni dissipativi che provocano un surriscaldamento dell’aria: non deve essere confusa né con la distribuzione di temperatura dovuta al riscaldamento dei fili, né con la sua perturbazione indotta dal moto delle particelle acustiche.

Inserendo i termini (4.18) nelle equazioni (1.23), (1.20) e (1.25), si ottengono le equazioni effettivamente applicate all’aria nelle simulazioni:

𝑖𝜔𝜌₀𝒖 = −𝛻𝑝 + 𝛻 ⋅ 𝜇(𝛻 + 𝛻𝒖𝑻_{) − (}2 3𝜇 − 𝜇𝐵) 𝛻(𝛻 ⋅ 𝒖) 𝑖𝜔 (𝑝∂ρ ∂p+ 𝑇𝑑 ∂ρ ∂𝑇_𝑑) + 𝜌0(𝛻 ⋅ 𝒖) = 0 𝑖𝜔𝜌₀𝐶_𝑝𝑇 = −𝛻 ⋅ (−𝑘𝛻𝑇) − 𝑖𝜔𝑝𝑇𝑑0 𝜌₀ ∂ρ ∂𝑇_𝑑 (4.19)

il cui significato è stato descritto nel paragrafo 1.1.3.

Per quanto riguarda le condizioni al contorno, su tutte le superfici dei solidi si è imposto l’annullamento della velocità del fluido (𝒖 = 𝟎) e della variazione di temperatura. Sul contorno superiore del fluido si è fissata nulla la componente normale della velocità (𝒏̂ ⋅ 𝒖 = 𝟎).

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Si deve imporre lo stimolo acustico costituito da un’onda armonica. Questo può essere fatto applicando su un contorno esterno una opportuna velocità delle particelle acustiche lungo 𝑦̂ (vedere figura 4.15), che è l’asse di sensibilità del sensore. COMSOL permette di applicare questa condizione solo nei domini in cui siano esclusi i fenomeni viscosi e termici. Per questo motivo, si rende necessaria l’introduzione dei due domini di aria fittizi, visibili in figura 4.18. Entro questi domini l’aria è un gas ideale e la propagazione dell’onda armonica è regolata dall’equazione delle onde:

𝛻2𝑝 −𝜔

2_𝑝

𝑐2 = 0 (4.20)

dove la velocità del suono è 𝑐 = √_𝐶𝐶𝑝

𝑝−𝑅𝑎𝑅𝑎𝑇0, avendo usato 𝑇0 perché i domini laterali si trovano a temperatura ambiente, essendo molto lontani dai fili.

Figura 4.18: struttura 2D effettivamente simulata, nella quale sono presenti i domini laterali fittizi.

Si impone sul contorno esterno di sinistra un’accelerazione normale:

𝒏 ̂ ⋅ (1

𝜌₀𝛻𝑝) = 𝑎𝑛 = 𝑖𝜔𝑣0 (4.21)

essendo 𝑣0 l’ampiezza della velocità delle particelle applicata. Questo consente di regolare sia

l’ampiezza che la frequenza 𝑓 = 𝜔 2𝜋⁄ dello stimolo acustico. Per 𝑣0 si sceglie il valore di

1 𝑚𝑚 𝑠⁄ , che è dello stesso ordine di grandezza del riferimento riportato in tabella 1.1. Sul contorno esterno di destra si impone invece:

𝒏̂ ⋅ (1

𝜌₀𝛻𝑝) = 𝑖𝜔𝑝

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dove 𝑧 = 𝑝 𝑣⁄ 0 = 𝜌0𝑐 = 411.6 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 𝑚⁄ è l’impedenza acustica caratteristica, definita in

(1.27).

In figura 4.19 sono riportate le distribuzioni del modulo e della fase della velocità delle particelle acustiche. Nella distribuzione del modulo in figura 4.19 (𝑎) è visibile la presenza dello strato limite di velocità: il modulo della velocità si riduce avvicinandosi ai corpi solidi, fino ad annullarsi in corrispondenza delle superfici.

(a) (b)

Figura 4.19: distribuzioni del modulo (a) e della fase (b) della velocità delle particelle acustiche alla frequenza di

1 𝐾𝐻𝑧. Le unità di misura espresse dagli indicatori sono rispettivamente 𝑚 𝑠⁄ e 𝑟𝑎𝑑.