Simulazioni termiche in transitorio

Si deve nuovamente risolvere il problema del trasferimento di calore, ma questa volta in transitorio: si applicano infatti delle sollecitazioni tempo-varianti costituite dalle velocità delle particelle acustiche ricavate nella simulazione precedente.

È necessario risolvere l’equazione del trasferimento del calore nella forma più completa:

𝜌𝐶_𝑝∂T

∂t + 𝜌𝑐𝑝𝒖 ⋅ 𝛻𝑇 = 𝛻 ⋅ (𝑘𝛻𝑇) (4.23)

dove sono presenti due termini aggiuntivi al primo membro: il primo tiene conto degli scambi termici transitori, il secondo degli scambi termici convettivi. Si è inoltre rimossa la sorgente di calore, non più presente perché i fili sono già riscaldati: come condizione iniziale si impone infatti la distribuzione di temperatura ricavata nella simulazione termica stazionaria.

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Si deve applicare la velocità acustica ricavata, in modulo e fase, dalle simulazioni termoacustiche. Il vettore della velocità ha due componenti, esprimibili in termini fasoriali come: {𝑈̇𝑦 = 𝑈𝑦𝑒 𝑖𝜗𝑦 _{= 𝑈} 𝑦(cos 𝜗𝑦+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜗𝑦) 𝑈̇_𝑧 = 𝑈_𝑧𝑒𝑖𝜗𝑧 _{= 𝑈} 𝑧(cos 𝜗𝑧+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜗𝑧) (4.24)

avendo indicato con 𝑈𝑗 il modulo e con 𝜗𝑗 la fase della j-esima componente della velocità.

Queste possono essere riscritte nel dominio temporale come:

{𝑢𝑦(𝑡) = ℜ{𝑈̇𝑦𝑒

𝑖𝜔𝑡_{} = 𝑈}

𝑦cos(𝜔𝑡 + 𝜗𝑦)

𝑢_𝑧(𝑡) = ℜ{𝑈̇_𝑧𝑒𝑖𝜔𝑡_{} = 𝑈}

𝑧cos(𝜔𝑡 + 𝜗𝑧) (4.25)

che sono le condizioni imposte sul volume di aria.

Le simulazioni in transitorio devono essere eseguite per un intervallo di tempo pari a qualche periodo del segnale acustico di stimolo, per dar modo alla risposta di stabilizzarsi. Si deve ricavare la differenza di temperatura tra i due fili, 𝛿𝑇, indotta dal moto delle particelle acustiche. Per i valori delle velocità acustiche di interesse, la differenza di temperatura tra i fili è al più di qualche 𝑚𝐾. Si deve quindi valutare una quantità differenziale molto piccola rispetto al modo comune (costituito dalla temperatura statica); è pertanto necessario porre vincoli molto stringenti sulla precisione della soluzione numerica (intesa come valore complessivo, cioè modo differenziale più modo comune), a scapito di una maggiore complessità computazionale.

Si è così in grado di valutare la differenza di temperatura tra i fili; questa differenza è un segnale tempo-variante: oscilla infatti da un filo all’altro alla stessa frequenza dello stimolo acustico. La grandezza 𝛿𝑇 può essere ricavata prendendo il valore di picco del segnale.

4.5.4 Risultati

A questo punto si è in grado di valutare la differenza di temperatura tra i due fili, 𝛿𝑇. Si può far variare la pulsazione 𝜔 dello stimolo acustico applicato per determinare 𝛿𝑇 in funzione della frequenza.

𝛿𝑇 è proporzionale alla sensibilità del sensore e, a differenza di quest’ultima, non dipende dalla configurazione di misura impiegata (cioè non dipende da come la differenza di resistenza tra i fili viene messa in relazione alla tensione di uscita del sensore). Si preferisce perciò valutare 𝛿𝑇, prescindendo dalla configurazione di misura.

In figura 4.20 è riportato l’andamento della risposta in frequenza 𝛿𝑇(𝑓) su un intervallo di 6 decadi. I valori dei parametri sono quelli riportati nell’appendice. Si osserva come a frequenze molto basse l’ampiezza sia costante (il sensore è sensibile anche alla componente continua). Salendo in frequenza, da circa 20 𝐻𝑧 in poi, si ha un incremento che si ipotizza essere riconducibile alla riduzione degli strati limite, con conseguente variazione della

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Figura 4.20: differenza di temperatura tra i due fili al variare della frequenza.

distribuzione di velocità del fluido. Per quantificare questo aspetto, si può immaginare di tracciare un segmento verticale passante in mezzo ai due fili; su questo segmento, attraverso il quale avviene il trasferimento di calore convettivo tra i fili, si valuta la media del modulo della velocità delle particelle. Il risultato così ottenuto è riportato in figura 4.21. Non è interessante il valore numerico della velocità media (che non ha un particolare significato fisico), ma l’andamento frequenziale. Si osserva come sotto i 20 𝐻𝑧 la velocità sia costante rispetto alla frequenza: gli strati limite sono infatti talmente ampi che l’aria è molto rallentata vicino ai fili, anche salendo in frequenza; oltre questo valore si ha un incremento della velocità all’aumentare della frequenza, grazie alla riduzione degli strati limite, fino alla saturazione che

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avviene in prossimità dei 13 𝐾𝐻𝑧. Questo significa che i fenomeni fluidodinamici influenzano la risposta in frequenza introducendo un comportamento di tipo zero-polo.

Queste non sono però le uniche singolarità presenti: intorno a 1.3 𝐾𝐻𝑧 c’è un polo termico, dovuto al tempo non nullo che impiega il calore per essere trasportato da un filo all’altro. A frequenza più alta, prossima ai 6 𝐾𝐻𝑧, c’è un ulteriore polo termico, dovuto alla massa termica dei fili e dei dielettrici che li circondano.

È stato sviluppato un modello analitico per il sensore Microflown [35, 36] che, sotto le seguenti ipotesi:

1. lunghezza dei fili infinita;

2. distanza tra i fili molto maggiore della larghezza e dello spessore degli stessi; 3. conducibilità termica del mezzo indipendente dalla temperatura;

4. convezione libera trascurabile rispetto a quella forzata dal flusso di aria, permette di stimare le frequenze dei poli termici, che risultano:

𝑓_𝑑 =8 𝜋 𝐷_𝑎 2𝜋𝑑2 (4.26) 𝑓_𝑚 = 𝐷𝑎 2𝜋𝑊𝐻 (𝜌𝐶_𝑝) 𝑎 (𝜌𝐶_𝑝) 𝑠 (4.27)

rispettivamente per la frequenza del polo dovuto alla diffusione termica e del polo dovuto alla massa termica del sensore. 𝑊 e 𝐻 sono la larghezza e l’altezza dei fili del sensore; (𝜌𝐶𝑝)_𝑎 è il

prodotto tra la densità ed il calore specifico dell’aria, (𝜌𝐶𝑝)_𝑠 quello tra la densità ed il calore

specifico dei fili del sensore; 𝐷𝑎 è infine la diffusività termica dell’aria, definita come:

𝐷_𝑎 = 𝑘𝑎 (𝜌𝐶_𝑝)

𝑎

Applicando le formule (4.26) e (4.27) al sensore APV in esame, si trovano:

(4.28) 𝑓𝑑 = 8 𝜋 𝐷_𝑎 2𝜋𝑑2 ≈ 1.6 𝐾𝐻𝑧 𝑓_𝑚 ≈ 𝐷𝑎 2𝜋𝑊_{𝑜𝑥_ℎ}𝐻_𝑜𝑥 (𝜌𝐶_𝑝) 𝑎 (𝜌𝐶_𝑝) 𝑜𝑥 ≈ 2.4 𝐾𝐻𝑧

avendo calcolato le caratteristiche dell’aria alla temperatura 𝑇 = 370 𝐾, valore medio ottenuto dalla distribuzione di temperatura risultante dalle simulazioni. La formula di 𝑓_𝑚 è stata approssimata considerando solo la capacità termica dell’ossido. Si osserva come la formula per 𝑓𝑑 fornisca un risultato vicino al valore ottenuto dalle simulazioni. Quella per 𝑓𝑚

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Questo è dovuto al fatto che il modello analitico, sviluppato per il sensore Microflown, si basa su ipotesi non necessariamente verificate nel caso in esame. In particolare, le ipotesi 1 e 2 (per piccoli valori di 𝑑) potrebbero essere non consistenti. Inoltre, il considerare la conducibilità termica dell’aria indipendente dalla temperatura è senz’altro un’approssimazione: l’aria è infatti a temperatura maggiore, e quindi termicamente più conduttiva, in prossimità dei fili, mentre tende a raffreddarsi allontanandosi dai fili

È bene osservare come in figura 4.20 sia rappresentata una risposta in frequenza che si estende in un intervallo frequenziale molto più ampio di quello tipicamente utilizzato nelle applicazioni acustiche (se non in casi particolari).

Di seguito si analizza la dipendenza di 𝛿𝑇(𝑓) rispetto ai principali parametri di progetto. Anche in questo caso si fa variare un parametro alla volta, mantenendo gli altri ai valori riportati nell’appendice.

 Temperatura statica

La temperatura a cui si trovano i fili prima dello stimolo acustico influenza la sensibilità del sensore. Infatti, maggiore è la temperatura dei fili e maggiore sarà la quantità di calore trasmessa da un filo all’altro per effetto del moto delle particelle. Inoltre, la distribuzione di temperatura statica influenza, seppur leggermente, la posizione delle singolarità. Questo è dovuto alla variazione di temperatura dell’aria che circonda i fili, con conseguente variazione delle proprietà del mezzo. Si deve tuttavia considerare come l’aumento di conducibilità termica dell’aria favorisca la conduzione di calore tra i fili: questo effetto tende a ridurre 𝛿𝑇, ma in modo minore di quanto l’aumento di 𝛥𝑇 non tenda ad accrescerla.

In figura 4.22 è mostrato il confronto tra le risposte in frequenza per riscaldamenti dei fili

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rispetto alla temperatura ambiente di 250 e 300 gradi. Con un riscaldamento di 300°𝐶 si osserva un incremento di 𝛿𝑇 non molto grande, ma distribuito su tutte le frequenze. Questo significa che aumenta la sensibilità generale, a qualsiasi frequenza di lavoro. Come già discusso, con un riscaldamento di 300°𝐶 si è vicini al danneggiamento del filo; questo caso costituisce quindi un limite superiore. Per potersi spingere a temperature maggiori si dovrebbero apportare modifiche alla struttura o cambiare i materiali utilizzati.

 Distanza tra i sensori

Questo è un parametro di fondamentale importanza perché influenza notevolmente sia l’ordine di grandezza di 𝛿𝑇, sia il suo andamento in frequenza. Infatti, come già discusso nel paragrafo 1.2.2, la distanza tra i due fili influenza il comportamento del sensore in diversi modi. A fronte di un aumento della distanza si ha:

1. una minor temperatura statica dei fili;

2. una riduzione del trasferimento di calore tra i fili per convezione;

3. una riduzione del trasferimento di calore tra i fili per conduzione attraverso l’aria, con conseguente riduzione dell’accoppiamento termico tra i fili stessi. La variazione di temperatura statica può essere compensata, in ambito simulativo, regolando 𝑃_𝑗. In questo modo è possibile prescindere dalle differenze di temperatura statica (i cui effetti su 𝛿𝑇 sono già stati valutati precedentemente) ed analizzare solo gli altri due fattori. La riduzione del trasferimento convettivo comporta una riduzione di 𝛿𝑇. Inoltre, un aumento della distanza provoca uno spostamento a frequenza più bassa del polo termico dovuto al trasporto di calore tra i due fili, che è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, come mostrato dalla (4.26). Di contro, il minor accoppiamento termico tra i fili fa aumentare 𝛿𝑇.

Figura 4.23: differenza di temperatura tra i fili in funzione della distanza tra gli stessi. La temperatura statica dei

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Il risultato netto è che 𝛿𝑇 dipende dalla combinazione dei meccanismi di conduzione e convezione, che sono influenzati in modo opposto dall’aumento della distanza tra i fili. Questo significa che 𝛿𝑇(𝑑) è una funzione non monotona, che presenta un punto di massimo in corrispondenza di 𝑑𝑜𝑝𝑡. In figura 4.23 è riportato l’andamento di 𝛿𝑇(𝑑), valutato alla

frequenza di 1 𝐾𝐻𝑧: si osserva come 𝑑𝑜𝑝𝑡 sia prossimo ai 90 𝜇𝑚.

𝑑_𝑜𝑝𝑡 è in realtà dipendente dalla frequenza. Infatti anche sulle superfici laterali degli ossidi si sviluppano degli strati limite di velocità, tanto più spessi quanto più bassa è la frequenza. Quindi per basse frequenze gli strati limite tra i due fili sono molto estesi, con conseguente rallentamento dell’aria e riduzione della convezione; servono allora valori grandi di 𝑑 per favorire la convezione, quindi 𝑑_𝑜𝑝𝑡 aumenta. All’aumentare della frequenza, gli strati limite si riducono e 𝑑_𝑜𝑝𝑡 diminuisce. In figura 4.24 è riportato l’andamento di 𝑑_𝑜𝑝𝑡(𝑓): si osserva come questa funzione sia monotona decrescente. Questo significa che non esiste una scelta ottima: si dovrà scegliere un valore sub-ottimo che dipende dal range di frequenze alle quali si vuole massimizzare la sensibilità, cioè dalle applicazioni per le quali il sensore è progettato.

Nella precedente versione del sensore APV, la distanza tra i fili era 𝑑 = 5 𝜇𝑚. Le simulazioni mostrano come questo valore sia molto lontano dall’ottimo, specialmente per basse frequenze. Questa scelta era stata fatta per rendere il sensore più compatto; infatti, distanziare i fili di decine di 𝜇𝑚 rende il sensore relativamente ingombrante, e non è detto che questo sia possibile. In generale, quello dell’ingombro ridotto potrebbe essere un vincolo di progetto importante che può richiedere compromessi in termini di prestazioni.

Figura 4.24: andamento del valore ottimo di 𝑑 (che massimizza la sensibilità) in funzione della frequenza.

Infine, in figura 4.25 si riportano gli andamenti di 𝛿𝑇(𝑓) per due valori di 𝑑 molto diversi: 𝑑 = 5 𝜇𝑚 e 𝑑 = 90 𝜇𝑚. Questi andamenti confermano la forte influenza di 𝑑 sulla risposta in frequenza. È interessante osservare come al variare di 𝑑 si sposti il polo relativo alla diffusione

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di calore tra i fili; con i fili molto ravvicinati, questo polo trasla a frequenza molto alta

divenendo, di fatto, irrilevante. Per 𝑑 = 5 𝜇𝑚, applicando la formula (4.26) si trova 𝑓_𝑑 = 8

𝜋 𝐷𝑎

2𝜋𝑑2 ≈ 987 𝐾𝐻𝑧, e infatti nella risposta in frequenza riportata in figura 4.25 questo polo non risulta visibile. Da questo punto di vista sarebbe conveniente ridurre 𝑑, in modo da portare il relativo polo oltre le frequenze di interesse. Tuttavia, non è conveniente scegliere valori troppo bassi, se non per applicazioni ad alta frequenza, perché la sensibilità si riduce notevolmente.

Anche le altre singolarità vengono spostate dall’avvicinamento dei fili: questo infatti, oltre ad alterare di per sé la distribuzione della velocità del fluido, comporta un aumento della temperatura statica dell’aria intorno ai fili, che influenza le proprietà viscose e termiche del mezzo. Si osserva come lo zero ed il polo legati alle variazioni della velocità siano rispettivamente alle frequenze di 20 𝐻𝑧 e 45 𝐾𝐻𝑧 circa (il polo è notevolmente salito in frequenza per effetto dell’avvicinamento dei fili). Il polo dovuto alla massa termica si è spostato alla frequenza di circa 5 𝐾𝐻𝑧, e risulta essere il polo dominante.

Per valori di 𝑑 abbastanza alti, il polo della diffusione si sposta in basso, anticipando quello dovuto alla massa termica: è questo il caso della risposta in frequenza per 𝑑 = 90 𝜇𝑚, già analizzata precedentemente.

Figura 4.25: risposta in frequenza per due diverse distanze tra i fili.

 Dimensioni della cavità

Si consideri dapprima l’altezza della buca, 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒. Variando questo parametro si modifica la

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1. altera la temperatura statica dei fili, come già visto in precedenza; 2. altera la distribuzione della velocità delle particelle del fluido.

Ancora una volta, si può prescindere dal primo aspetto compensando le variazioni di temperatura statica tramite 𝑃𝑗. Questo ha senso solo da un punto di vista simulativo: valori di

𝐻_{ℎ𝑜𝑙𝑒} troppo bassi annullano completamente l’isolamento termico dei fili, rendendone molto difficile il riscaldamento, se non a fronte di consumi eccessivi.

Per comprendere come il valore di 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒 influenzi la distribuzione della velocità, si faccia

riferimento alla figura 4.26 nella quale sono mostrati (schematicamente) i due fili ed il substrato. Come già detto, vicino ai corpi solidi si formano degli strati in cui la velocità decresce fino ad annullarsi in corrispondenza delle superfici. Si possono allora individuare degli spessori 𝛿₀ entro i quali la velocità delle particelle è praticamente nulla. Se 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒 è piccolo, l’aria sotto

e a fianco dei fili è praticamente ferma e non avviene trasferimento di calore per convezione all’interno di questi volumi, con conseguente riduzione dell’efficacia dello scambio termico tra i fili. Aumentando 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒, si crea una zona dove la velocità delle particelle di aria è non nulla; il

calore trasferito da un filo a questa zona per conduzione (indotta dal gradiente di temperatura: è infatti presente uno strato limite termico tra il filo e l’aria circostante) può quindi essere trasmesso all’altro filo per convezione.

Figura 4.26: rappresentazione schematica dei fili e del substrato; 𝛿0 è lo spessore entro il quale l’aria è

praticamente ferma.

In figura 4.27 sono riportati gli andamenti di 𝛿𝑇(𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒) per diverse frequenze. Si osserva

un miglioramento della sensibilità all’aumentare di 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒, fino ad una saturazione che,

indipendentemente dalla frequenza, si ha per valori di 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒 vicini ai 40 𝜇𝑚. Dal punto di vista

progettuale risulta allora importante ottenere un’altezza della cavità sufficientemente grande, ma non si ha la necessità di fissarla ad un valore preciso.

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Figura 4.27: differenza di temperatura tra i fili in funzione dell’altezza della cavità per diversi valori di frequenza.

Discorsi analoghi valgono per la distanza dei fili dalla parete della buca, 𝐿𝑎𝑟𝑚. Si fa allora

variare 𝐿𝑎𝑟𝑚, come fatto per 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒, per valutarne l’incidenza sulla sensibilità. I risultati sono

riportati in figura 4.28, per diversi valori di frequenza. Si osserva un incremento di 𝛿𝑇(𝐿_𝑎𝑟𝑚) finché la funzione non satura. Questo avviene tanto prima quanto più è alta la frequenza. In corrispondenza di valori di 𝐿𝑎𝑟𝑚 prossimi ai 40 ÷ 50 𝜇𝑚, 𝛿𝑇(𝐿𝑎𝑟𝑚) raggiunge praticamente il

massimo (per frequenze sufficientemente alte, ad esempio 10 𝐾𝐻𝑧), o comunque valori non molto lontani dal massimo (per frequenze più basse, ad esempio 100 𝐻𝑧). Quindi mantenersi intorno a questi valori di 𝐿𝑎𝑟𝑚 (imposti da esigenze di stabilità strutturale, come visto nel

paragrafo 4.4.2), dà risultati soddisfacenti anche nei casi peggiori di basse frequenze.

Figura 4.28: differenza di temperatura tra i fili in funzione della lunghezza dei bracci di sospensione per diversi valori di frequenza.

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Si deve tuttavia osservare come la distribuzione della velocità del fluido dipenda dalla combinazione di diversi parametri geometrici. Ad esempio, riducendo molto la distanza tra i fili, le particelle di aria intorno ai fili stessi sono maggiormente rallentate, con conseguente riduzione dell’incidenza dell’altezza della buca sulla sensibilità. In generale, è conveniente cercare di distanziare tra loro i corpi solidi (compatibilmente con le altre esigenze di progetto), in modo da favorire il moto delle particelle attorno ai fili.