Simulazioni elettrotermiche

La simulazione elettrostatica coinvolge esclusivamente il polisilicio e le metal, cioè i domini nei quali avviene la conduzione elettrica. Su questi, viene applicata la legge di Ohm microscopica:

𝑱 = 𝜎𝑬 (4.2)

83

𝑬 = −𝛻𝑉 (4.3)

𝐼 = ∫ 𝑱 ⋅ 𝒏̂𝑑𝑆

′

𝑆 (4.4)

𝜎 è la conducibilità elettrica del mezzo, che può essere espressa come:

𝜎(𝑇) = 𝜎0

1 + 𝛼(𝑇 − 𝑇0) + 𝛽(𝑇 − 𝑇0)2

(4.5)

essendo 𝑇0 = 293.15 𝐾 la temperatura ambiente, 𝜎0 la resistività a temperatura ambiente e

𝛼, 𝛽 i TCR rispettivamente di primo e secondo ordine. L’equazione (4.5) esplicita come 𝜎 sia una funzione dalla temperatura; per poterla calcolare è allora necessario che il modulo termico fornisca a quello elettrico le distribuzioni di temperatura del polisilicio e delle metal dovute al riscaldamento dei fili. In realtà, non conoscendo i TCR del secondo ordine (non forniti dal manuale di processo), la (4.5) è stata approssimata al primo ordine, trascurando il termine quadratico.

Le condizioni iniziali prevedono che ovunque il potenziale sia nullo. Su tutte le superfici si sono imposte condizioni al contorno di isolamento elettrico (𝒏̂ ⋅ 𝑱 = 0), ad eccezione delle parti terminali delle due metal, dove si sono imposte le tensioni 𝑉 = 𝑉𝑏 e 𝑉 = 0

rispettivamente. Questo equivale ad imporre una differenza di potenziale 𝑉𝑏 sulla serie

costituita dalle metal e dal polisilicio.

La simulazione termica riguarda invece tutti i domini. Le condizioni iniziali prevedono che tutto si trovi alla temperatura ambiente 𝑇0. Si impone, su tutti i domini, l’equazione della

conduzione del calore in regime stazionario:

𝛻 ⋅ (𝑘𝛻𝑇) = −𝑄 (4.6)

dove 𝑘 è la conducibilità termica del mezzo e 𝑄 è il calore generato localmente. Questo calore è ovunque nullo, eccetto dove è presente la dissipazione per effetto Joule, ovvero sulle metal e sul polisilicio: su tali domini si impone pertanto la condizione 𝑄 = 𝑱 ⋅ 𝑬, che esprime la densità di potenza dissipata per effetto Joule.

Imporre l’equazione (4.6) significa considerare unicamente il trasferimento di calore per conduzione termica nei solidi e attraverso l’aria ferma, e quindi trascurare la convezione libera e l’irraggiamento. Questa assunzione è lecita, per le temperature di interesse, come dimostrato in diversi lavori scientifici.

Sui contorni frontali e laterali della struttura, si sono imposte le condizioni di simmetria termica (−𝒏̂ ⋅ (𝑘𝛻𝑇) = 0) per i motivi discussi all’inizio del paragrafo. Infine, sul contorno inferiore, superiore e anteriore è stata implementata la condizione 𝑇 = 𝑇₀: questo significa imporre che il substrato e la regione di aria lontana dal sensore rimangano a temperatura ambiente, come è ragionevole. Di fatto, data l’elevata conducibilità termica del silicio, tutto il substrato rimane a temperatura 𝑇₀.

84

Si è visto come il modulo elettrico passi a quello termico il valore delle sorgenti di calore 𝑄 = 𝑱 ⋅ 𝑬. A sua volta, il modulo termico passa a quello elettrico le distribuzioni di temperatura per il calcolo delle conducibilità elettriche. Questo significa che i due moduli sono reciprocamente dipendenti.

In figura 4.3 è riportata una rappresentazione qualitativa della distribuzione di temperatura statica risultante da una simulazione effettuata nelle condizioni descritte. Dalla figura 4.3 (𝑎) si vede come i due cantilever si riscaldino e trasferiscano calore all’aria circostante, mentre l’aria lontana dai cantilever e il substrato rimangono a temperatura ambiente. La figura 4.3 (𝑏) mostra invece il dettaglio di un singolo cantilever: si osserva come la temperatura sia massima al centro del filo e si riduca verso le estremità. Questo è dovuto al trasferimento di calore per conduzione (attraverso il filo stesso, l’ossido che lo ricopre, i bracci di sostegno del cantilever e l’aria circostante) verso il substrato.

È utile far riferimento all’incremento 𝛥𝑇 della temperatura media del filo rispetto alla temperatura ambiente, già definito in (3.12). 𝛥𝑇 influenza la sensibilità del sensore: più è grande, maggiore sarà la quantità di calore trasferito tra i due fili per effetto della convezione forzata indotta dal moto delle particelle acustiche. È quindi importante dimensionare i parametri in modo che sia abbastanza grande. Chiaramente, ci sono dei limiti superiori sul valore di 𝛥𝑇: il suo aumento comporta anche un incremento della temperatura massima del polisilicio; se questa diviene troppo grande, provoca la rottura del filo. Come accennato nel paragrafo 2.5.2, test sperimentali eseguiti sui precedenti campioni del sensore hanno

(a) (b)

Figura 4.3: rappresentazione qualitativa della distribuzione di temperatura del sensore completo (a) e del singolo cantilever (b). L’indicatore laterale esprime la temperatura assoluta in gradi kelvin; a colori più chiari corrispondono temperature maggiori, e viceversa.

85

mostrato come la massima temperatura sopportabile dal filo di polisilicio sia stimabile in 𝑇_𝑚𝑎𝑥 ≈ 700 𝐾, che corrisponde ad una 𝛥𝑇 ≈ 300 𝐾; questa valutazione è puramente indicativa: il legame tra 𝑇𝑚𝑎𝑥 e 𝛥𝑇 dipende fortemente dalla lunghezza del filo. Si sceglie allora

un valore di riferimento 𝛥𝑇 = 250 𝐾, che sarà, se non diversamente indicato, il valore imposto in tutte le simulazioni nelle quali si fissa la temperatura.

Nel seguito viene analizzata la dipendenza della temperatura dai principali parametri. I diversi grafici sono realizzati facendo variare di volta in volta un unico parametro e lasciando gli altri al valore riportato nell’appendice A.

 Tensione di polarizzazione

Non ci sono vincoli particolarmente stringenti per quanto riguarda la tensione di polarizzazione 𝑉𝑏, che quindi risulta un parametro libero molto utile per regolare la

temperatura statica senza alterare la geometria del sensore. Tuttavia, è bene evitare tensioni troppo alte per non consumare eccessivamente; inoltre, può essere preferibile utilizzare una tensione compatibile con un’eventuale elettronica di lettura integrata on chip con il sensore. La figura 4.4 mostra l’andamento di 𝛥𝑇 in funzione di 𝑉𝑏. Si nota come con tensioni

prossime a 1.5 𝑉 si ottenga un incremento medio di temperatura lungo il filo vicino ai 250 gradi.

Figura 4.4: incremento di temperatura in funzione della tensione di polarizzazione.

 Larghezza del filo di polisilicio

Questo parametro è molto importante perché influenza sensibilmente la distribuzione di temperatura e la risposta in frequenza. Deve essere minimizzato per ridurre la massa termica del sensore, ma non può essere ridotto eccessivamente, altrimenti il filo non si riscalda a sufficienza: infatti, se questo avesse una sezione piccola, risulterebbe molto resistivo e quindi,

86

a parità di tensione, sarebbe percorso da una corrente troppo bassa, che impedirebbe un sufficiente riscaldamento. La corrente che scorre nel filo è scrivibile come:

𝐼_𝑝(𝑇) = 𝑉𝑝

𝑅_𝑝(𝑇)= 𝑉𝑝𝜎𝑝(𝑇) 𝑤_𝑝ℎ_𝑝

𝑙_𝑝 (4.7)

dove 𝑉𝑝 è la tensione applicata ai capi del filo e 𝑅𝑝(𝑇) la resistenza del filo, esplicitata usando

la seconda legge di Ohm. Si deve osservare come l’incremento di 𝐼𝑝 non segua linearmente

quello di 𝑤𝑝: infatti all’aumentare di 𝑤𝑝 aumenta la temperatura e quindi si riduce 𝜎𝑝(𝑇).

Inoltre, se la sezione del filo fosse troppo piccola aumenterebbe eccessivamente la densità di corrente, che potrebbe provocare un danneggiamento per elettromigrazione. Studi sperimentali eseguiti sui precedenti campioni del sensore hanno mostrato come il filo di polisilicio possa lavorare a lungo con una densità di corrente 𝐽𝑝 ≈ 10

𝑚𝐴

𝜇𝑚2 senza danneggiarsi:

si assume allora questo valore come limite superiore. Tale valore eccede il limite indicato nel manuale di processo; tuttavia, quest’ultimo è pensato per garantire una probabilità di rottura estremamente bassa in un arco temporale molto lungo, ed è stato quindi ritenuto troppo cautelativo per l’applicazione in esame.

In figura 4.5 sono riportati gli andamenti dell’incremento di temperatura e della densità di corrente in funzione di 𝑤_𝑝. Quest’ultima può essere espressa come:

𝐽𝑝(𝑇) =

𝐼𝑝(𝑇)

𝑤_𝑝ℎ_𝑝 (4.8)

Dal momento che 𝐼_𝑝, a causa degli effetti del riscaldamento, non aumenta linearmente rispetto a 𝑤𝑝, ci si aspetta che 𝐽𝑝 sia una funzione decrescente di 𝑤𝑝; questo è confermato

dalle simulazioni riportate in figura 4.5 (𝑏). Da questi risultati si vede come sia necessaria

(a) (b)

Figura 4.5: incremento di temperatura (a) e densità di corrente attraverso il filo di polisilicio (b) in funzione della larghezza del filo.

87

una 𝑤𝑝 di almeno 0.4 µ𝑚 per ottenere una densità di corrente adeguata. Nella precedente

versione del sensore, era stato scelto il valore, relativamente alto, 𝑤𝑝= 1 µ𝑚 per facilitare il

riscaldamento e ridurre 𝐽𝑝, peggiorando però la risposta in frequenza. In questo nuovo

dimensionamento, avendo l’obiettivo di migliorare il più possibile la risposta in frequenza, si sceglie il valore minimo 𝑤𝑝 = 0.4 µ𝑚. Il decremento di temperatura dovrà essere compensato

da altri parametri.

 Lunghezza del filo di polisilicio

Anche questo è un parametro molto importante perché determina le dimensioni della parte attiva del sensore. La potenza elettrica sul filo è esprimibile come:

𝑃_𝑝(𝑇) = 𝑉𝑝 2 𝑅_𝑝(𝑇)= 𝑉𝑝 2_𝜎 𝑝(𝑇) 𝑤_𝑝ℎ_𝑝 𝑙_𝑝 (4.9)

Aumentando 𝑙_𝑝, aumenta l’isolamento termico del filo (aspetto che favorisce il riscaldamento del filo) ma si riduce 𝑃_𝑝 (aspetto che sfavorisce il riscaldamento del filo); l’effetto netto, mostrato in figura 4.6, consiste in un decremento della temperatura media del filo all’aumentare di 𝑙_𝑝.

Figura 4.6: incremento di temperatura in funzione della lunghezza del filo.

Nel precedente dimensionamento del sensore era stato scelto il valore 𝑙𝑝 = 91 µ𝑚. Può

essere conveniente ridurre questo valore per migliorare l’incremento di temperatura. Bisogna però considerare gli effetti di 𝑙_𝑝 sulla stabilità della struttura, che saranno valutati nel relativo sottoparagrafo.

88

 Dimensioni della cavità

La larghezza della cavità ricavata nel substrato è 𝑊ℎ𝑜𝑙𝑒 = 2𝐿𝑎𝑟𝑚+ 𝑑. Si fa variare la lunghezza

dei bracci di sospensione, 𝐿𝑎𝑟𝑚, che determina quanto il filo è sospeso sopra lo scavo. È

opportuno che sia sufficientemente grande, in modo da ottenere un adeguato isolamento termico tra la parte attiva del sensore ed il substrato, per permettere il riscaldamento del filo. Anche l’altezza dello scavo, 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒, deve essere abbastanza grande per lo stesso motivo.

In figura 4.7 sono riportati gli incrementi di temperatura in funzione dei suddetti parametri. Si osserva come inizialmente si abbiano degli aumenti rilevanti, poi 𝛥𝑇 tende a saturare (progressivamente in funzione di 𝐿𝑎𝑟𝑚, più nettamente in funzione di 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒). Questo è dovuto

al fatto che, oltre certi valori, l’isolamento termico è massimo e non hanno più effetto ulteriori aumenti.

(a) (b)

Figura 4.7: incremento di temperatura in funzione della lunghezza del braccio di sospensione (a) e dell’altezza della cavità (b).

Lo scavo viene realizzato con un attacco chimico del substrato in fase di post-processing, che segue le pareti con inclinazione 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√2) = 54.74° (l’ angolo è ben visibile in figura 4.1). Su questo attacco non si ha un alto grado di controllabilità, a causa dell’elevato drogaggio del substrato (vicino al limite massimo, che determina l’arresto dell’attacco) e della non uniformità dello stesso, che rendono la velocità dell’attacco variabile rispetto alle diverse zone del substrato. Pertanto, 𝐻_{ℎ𝑜𝑙𝑒} è un parametro che non si riesce a determinare in modo preciso. Tuttavia, come mostrato dal grafico di figura 4.7 (𝑏), non è importante il valore di 𝐻ℎ𝑜𝑙𝑒,

purché sia superiore ai 40 𝜇𝑚. Basta quindi procedere con l’attacco chimico per un tempo sufficientemente lungo. La massima profondità della cavità è √2𝑊ℎ𝑜𝑙𝑒⁄ = 𝑊2 ℎ𝑜𝑙𝑒⁄√2 , in

89

Il precedente sensore APV aveva 𝐿_𝑎𝑟𝑚 = 27 𝜇𝑚. Dal punto di vista termico, converrebbe aumentare questo valore fino a raggiungere la saturazione di 𝛥𝑇(𝐿𝑎𝑟𝑚). La scelta di questo

parametro non può tuttavia prescindere dalle simulazioni strutturali, per le quali si rimanda al successivo sottoparagrafo.

 Larghezza degli strati dielettrici

Dal punto di vista termico, è vantaggioso ridurre le dimensioni dei dielettrici che circondano i fili perché migliora l’isolamento termico del polisilicio. Si è infatti visto come sia presente un flusso di calore, trasferito per conduzione dal filo verso il substrato, che passa anche attraverso gli strati di ossido. Pertanto, una diminuzione della larghezza di questi strati riduce il volume di ossido attraverso il quale avviene lo scambio termico conduttivo, aumentando, di conseguenza, il volume di aria ferma intorno al sensore. Poiché l’aria ha una conduttività termica inferiore a quella dell’ossido di silicio, in queste condizioni il trasferimento di calore è maggiormente ostacolato, con conseguente miglioramento dell’isolamento termico del filo.

Questo può essere visto anche sfruttando l’analogia elettrotermica. In figura 4.8 è riportato un equivalente circuitale a parametri concentrati del sensore, nel quale si è supposto che il calore sia generato in corrispondenza del centro del filo dalla potenza elettrica 𝑃𝑒, e che l’aria

presenti una resistenza termica infinita. Inoltre, le resistenze termiche delle metal e del polisilicio, che non sono affatto trascurabili, non sono state considerate perché si è interessati a valutare soltanto gli effetti delle variazioni geometriche dei dielettrici. Il riferimento 𝑇0

rappresenta il substrato (che può essere considerato un termostato); 𝑅𝑣 e 𝑅ℎ sono le

resistenze termiche dei dielettrici degli strati verticali e di quello orizzontale. Diminuendo le larghezze dei dielettrici, aumentano i valori delle relative resistenze termiche e quindi, a parità di 𝑃𝑒, aumenta la temperatura 𝑇𝑚𝑎𝑥 al centro del filo, con conseguente incremento di 𝛥𝑇.

Figura 4.8: equivalente circuitale (semplificato) del sensore.

In figura 4.9 sono riportati gli incrementi di temperatura in funzione della larghezza degli ossidi. Si osserva come l’effetto sopra descritto sia maggiormente dipendente dalla larghezza del tratto orizzontale, 𝑊𝑜𝑥_ℎ.

90

(a) (b)

Figura 4.9: incremento di temperatura in funzione della larghezza del dielettrico orizzontale (a) e di quello verticale (b).

Le larghezze dei dielettrici della precedente versione del sensore erano: 𝑊𝑜𝑥_ℎ = 5 𝜇𝑚,

𝑊_{𝑜𝑥_𝑣} = 11 𝜇𝑚. Per i nuovi dimensionamenti, vale quanto già detto per altri parametri: si rimanda alle simulazioni strutturali.