Capitolo 6: Le maggiori operazioni di Mergers & Acquisitions del settore bancario
7.3 I modelli DEA innovativi per lo studio delle operazioni di M&A delle banche
Nel corso della trattazione del Capitolo 8, ovvero quello riguradante l’analisi empirica del fenomeno delle M&A, verrà utilizzato un ulteriore grado di analisi che differisce da quello appena illustrato dalla letteratura. In effetti, nel caso specifico si è scelto di utilizzare un particolare modello DEA, ovvero quello con variabili categoriche non controllabili, introdotto da Banker e Morey (1984).
Inoltre per completezza, si è scelto di optare anche per l’esecuzione di particolari test per il confronto di due gruppi di DMU appartenenti allo stesso campione, proposti da Banker et
al. (2010b), per poter analizzare ulteriori aspetti del fenomeno di conentrazione. Pertanto in questa sede si vogliono delineare i caratteri teorici di questi strumenti che verranno di seguito utilizzati nel caso applicativo.
7.3.1. Analisi DEA con variabili categoriche
La Data Envelopment Analysis (DEA) è stata ampiamente descritta e utilizzata nei paragrafi precedenti, come metodologia per l’identificazione del livello di efficienza delle decision making units (DMU), tenendo presente la definizione di efficienza relativa di Farrel (1957) e l’applicazione in termini di formulazione CCR e BCC.
In ottica output oriented, si è detto che una banca viene definita tecnicamente efficiente laddove riesce a produrre un determinato livello ottimo di output, partendo da un certo quantitativo di risorse di input; appare evidente come la natura delle variabili di input e delle variabili di output sia essenziale per la costruzione di un’analisi realistica. Per questo motivo Banker e Morey (1984), hanno esteso i modelli DEA con l’introduzione delle variabili categoriche.
Le variabili categoriche sono delle variabili di input o di output che assumono un numero finito di valori in funzione del fenomeno che esse rappresentano; possono essere definite esogene, quindi non controllabili, quando sfuggono al controllo da parte dei manager delle DMU, ma possono anche essere controllabili.
Un esempio può essere la variabile di input “crisi economica” che si è utilizzata durante la fase pratica, come si vedrà nel capitolo successivo. Il manager non ha la possibilità di agire direttamente su di essa, mentre invece se si pensa alla variabile di input “numero di operazioni di cassa giornaliero”, anche se dipende dal numero di clienti che ogni giorno si recano in banca e dal numero di operazioni che essi intendono effettuare, attraverso una politica di marketing adeguata, basata ad esempio su pubblicità e strategie di costo, il manager può influenzare e controllare tale variabile.
In chiave di analisi DEA, secondo Banker e Morey (1984), queste due variabili influenzano in maniera diversa la performance bancaria, pertanto è necessario introdurre nel modello della Data Envelopment Analysis un ulteriore specificazione.
Si considerino N DMU indicizzate da j= 1, 2, …, j0, …, N; dove yrj sono le variabili di
output e xij le variabili di input con i=1, 2, …m . Si supponga che tra le variabili di input,
vi siano sia delle variabili controllabili che delle variabili non controllabili, pertanto l’insieme degli input può essere diviso in due gruppi, il primo di variabili di input
controllabili xij dove i= 1, 2, …, m’, il secondo di variabili di input non controllabili dove
i=m-m’.
A questo punto il problema di programmazione lineare sarà:
# ℎ = ½ − Œ Ÿ 7 ’ + T8 ± T [7.10] subordinato ai seguenti vincoli:
k • + ` 7 = ½ • = 1, 2, … , #′ k • + ` 7 = • = #’+ 1, #’+ 2, … , # k T − ` T8 = T % = 1, 2, … , ; k = 1 ` k ≥ 0 / = 1, 2, … , / , … , d 7 ≥ 0, T8 ≥ 0 = 1, 2, … , #; % = 1, 2, … , ; [7.11]
dove Œ>0 è un numero molto piccolo, ad esempio dell’ordine di 10-6. Questo modello è
compatibile con la formulazione DEA di Banker, Charnes and Cooper (1984), altrimenti nota come modello BCC.
La [8.1] e la [8.2] soddisfano alcuni criteri, come quello di convessità e di monotonicità, comuni alla DEA BCC, inoltre è possibile individuare un livello minimo di variabili di input controllabile dato da:
•’ = ½∗• − 7∗ = 1, 2, … , #’
In questo caso si ha un insieme di possibilità produttive T dato da: q = ¿+•, . ! g$ • = +• , •S, … , • .$ = + , S, … , ±. in cuik ≥ 0 ; / = 1, 2, … , d $ k ` $% • ± ≤ k ` T e ∶ •± ≤ k ` • Ä [7.13] Per elaborare [6.13] e per introdurre una variabile categorica in grado di descrivere m-m’ variabili non controllabili, è necessario venire meno all’ipotesi di convessità e imporre il seguente vincolo:
• G ≤ •G $ kG ≥ 0 , . $.
[7.14] dove tutte le DMU hanno un valore della variabile categorica non controllabile minore o uguale di quela della j-esima DMU. Tuttavia la [8.4] non è scritta in modo da poter essere inserita in un problema di programmazione lieare, pertanto Banker e Morey (1984) introducono k nuove variabili !+M., , dove k+1 è il numero di valori che la variabile categorica xm può assumere. Al posto del vincolo della convessità in [8.2], ovvero:
k • + ` 7 = • = #’+ 1, #’+ 2, … , # si sostituiscono i vincoli k !+ .,G ≤ !+ .,G ` k !+S.,G ≤ !+S.,G ` k ! ,G ≤ !+Æ.,G ` [7.15] per esempio quando i valori della variabile categorica sono quattro.
7.3.2. Test statistici sui punteggi di efficienza DEA: confronto tra gruppi di DMU
Banker et al. (2010b) propone cinque test statistici per confrontare gli score di efficienza tra due gruppi di DMU; nel caso dell’analisi empirica svolta in questa sede, ne sono stati effettuati tre.
Considerando j= 1, 2, …, N DMU, ognuna delle quali è caratterizata da una variabile di output yj ≥0 e da un vettore di input xj≡ (x1j, …, xlj) ≥ 0, esiste una relazione tra la frontiera
di output y0 e l-esimo input, rappresentata da y0= g(x). La deviazione, positiva o negativa
dalla frontiera così delineata, è rappresentata da εj= uj – vj= g(x) – yj, in cui uj è la variabile
che identifica l’inefficienza e vj è un termine casuale (random noise) delimitato da VM.
Questa formulazione è simile a quella che si ritrova nei modelli di analisi di tipo Stochastic Frontier descritti nel Capitolo 3, di Aigner et al. (1977).
Detto ciò, si prendano due sottoinsiemi di DMU G1 e G2, facenti parte dello stesso
campione di N DMU; la componente di inefficienza uj si distribuisce nei due gruppi con
media §§§ e §§§, assumendo la stessa varianza in entrambi i sottogruppi. Definendo S É= VÈ M
- vj+ uj si può stimare ÉÊ applicando la DEA su tutto il campione ma poi effettuando una È
verifica d’ipotesi tra i due sottogruppi G1 e G2.
Si consideri la regressione OLS:
È
É= a0 – a1zj+ ej
stimata utilizzando l’intero campione di N= N1+N2 DMU, dove zj è una variabile dummy
che assume il valore 0 quando una DMU appartiene al gruppo G1 e 1 quando appartiene al
gruppo G2, mentre ej è una componente di errore i.i.d.; Ë è uno stimatore consistente di §§§
- §§§, ovvero della differenze delle medie degli score di inefficienza dei due sottogruppi GS 1
e G2 .
La t-statistic che viene utilizzata nei tre diversi test, consente di valutare se vi è una differenza statisticamente significativa tra i due sottogruppi di DMU.
Due dei test effettuati, il secondo e il terzo, che vengono descritti di seguito, sono caratterizzati dal fatto che Banker et al. (2010b) introduce al loro interno un test sulla media, nel secondo il test che viene effettuato verifica l’uguaglianza delle inefficienze medie, mentre nel terzo si introduce il Mann-Whitney test.
Esiste anche un altro test che ne include uno sulla media, suggerito da Banker, un test di Kolmogrov- Smirnov, che non è stato però utilizzato, mentre il primo descritto, è quello
che Banker et al. (2010b) suggerisce essere quello più generale per confrontare due gruppi di DMU appartenenti ad N.
In ogni caso i test effettuati sono i seguenti: 1. Ipotizzando che la variabile É= VÈ M - v
j+ uj si distribuisca secondo la distribuzione
di una log-normale, sotto l’ipotesi nulla si ha §§§ = §§§ ; la varianza di uS j è supposta
uguale in entrambi i gruppi. La t-statistic che si utilizza in questo caso per verificare l’ipotesi nulla è:
̂ = w¯ÍÎ − ¯ÍÎyS
"ÏÐ 1d +d1
S
[7.16] distribuita come una variabile casuale t-Student con (N1+ N2 – 2) gradi di libertà.
Dove: ¯ÍÎ = d 1 ln + `‚ È Ñ Ž . ¯ÍÎ = 1S d S ln + `† ÈS Ñ Ž . "Ï = Ò∑ wln+ ÑŽ − ¯Í.È §§§§y S `‚ + ∑ wln+ ÈS Ñ Ž − ¯§§§§yÍ.S S `† N + NS – 2 [7.17] 2. A differenza del primo test, non si fa nessuna ipotesi sulla distribuzione di É, ma È si utilizza la seguente t-Statistic, si dimostra che essa si ditribuisca in maniera asin- totica come una variabile casuale Normale Standard:
½Ï = w Ê −ŽyS
Ð µw1 − µy i 1d + d1Sj
dove µ = wd Ê + dS SŽ y N1+ N2 Ê = d S Ž = S dS [7.19] In cui n1, n2 sono rispettivamente il numero di score del gruppo 1 e del gruppo 2
che confrontati con la media dei punteggi di inefficienza del rispettivo gruppo, ri- sultano avere uno score minore.
3. Anche in questo caso non si fanno ipotesi sulla distribuzione della É e viene effet-È tuato il Mann-Whitney test. In pratica viene definita una variabile dummy —Ž =sÈ º1 $ ÉÊ < s ÉÊ $ 0 B % #$ », dove È ÉÊ è la variabile che identifica gli score di s
inefficienza del gruppo G1 , con i= 1, 2, …, N1 e ÉÊ è la variabile che identifica gli È
score di inefficienza del gruppo G2 con j= 1, 2, …, N2.
Infine viene calcolata la seguente t-Statistic, che si distribuisce anch’essa in maniera asintotica come una Normale-Standard:
½Ï = iÔÊ − d d2 jS Ðd dS+d + 1. 12 [7.20] dove ÔÊ = —ŽsÈ `† `‚ [7.21]