Lo scopo del presente lavoro è l'applicazione all'economia italiana di un modello econometrico elaborato da G. Tintner per i paesi membri dell'OECD, gli Stati Uniti e il Canada \
Si tratta di un modello keynesiano altamente aggregato e semplificato in cui le equazioni sono state stimate col metodo dei minimi quadrati.
In secondo luogo il modello è stato trasformato in un sistema di ela-sticità simultanee. I risultati che si sono ottenuti per queste elaela-sticità permettono alcune considerazioni di insieme circa alcuni aspetti del tipo di sviluppo che ha caratterizzato l'Italia per gli anni dal 1951 al 1968. Naturalmente non deve sfuggire la limitatezza di una indagine aggregata per cui i risultati devono essere esaminati con cautela.
Come vedremo, la funzione del consumo si presenta, nel nostro mo-dello, nella forma lineare. Tuttavia occorre notare come gli economisti
* Il presente lavoro iniziato presso il Dipartimento di Economia della Uni-versity of Southern California è stato completato presso la Fondazione Luigi Einaudi di Torino. Desidero ringraziare sentitamente il prof. Gerhard Tintner per aver suggerito il presente lavoro e per aver letto e commentato il manoscritto.
1. B . VON HOHENBALKEN, G . TINTNER, Econometrie Models of the OEEC Member Countries, the United States and Canada, and their Application to Eco-nomie Policy, « Weltwirtschaftliches Archiv », 1962, pp. 29-86; G . TINTNER, W.
POLLAN, Ein Einfaches macrooekonomisches Modell fiir Oesterreich, « Jahrbii-cher fiir Nationaloekonomie und Statistik », 1968, pp. 397-403; G . TINTNER, O . DAVILA, Aplicaciones de la Econometria a la Planificación, « E1 Trimestre Eco-nomico », 1965, pp. 717-723; G . TINTNER, I . CONSIGLIERE, J . T. M. CARNEIRO, Un Modelo Econometrico Aplicado a Economia Brasilera, « Revista Brasilera de Eco-nomia », 1970, pp. 5-29; G . TINTNER, R. ZINDI, Un modèle Keynesien simplifié de l'économie Marrocaine, «Revue d'Economie Politique », 1967, pp. 149-161;
G . TINTNER, Estudios Sobre Modelos Econométricos, « Revista de Economia La-tinoamericana », 1966, pp. 3-42; G . TINTNER, K. GLEZAKOS, A Simple Aggregate Model for the Greek Economy, « Spoudi », 1969, pp. 1-18.
abbiano frequentemente discusso di una relazione non lineare fra il con-sumo e il reddito per cui abbiamo ritenuto di giustificare in qualche mo-do l'uso di tale formulazione. Lo stesso Keynes infatti affermò che la pro-pensione marginale al consumo decresce all'aumentare del reddito 2. La formulazione che risulta più appropriata a rappresentare tale ipotesi è quella in doppia scala logaritmica3. Considerato quindi che la forma li-neare e la forma in doppia scala logaritmica corrispondono a due ipotesi alternative circa la propensione marginale al consumo (costante, decre-scente), abbiamo creduto opportuno, prima di fare uso della forma li-neare, accertare se questa è la più appropriata in relazione alle serie sto-riche delle variabili considerate. A tale scopo risulta particolarmente utile un metodo elaborato da P. Zarembka 4 con riferimento alla scelta della forma della relazione funzionale nel caso della domanda di moneta. Ri-ferendosi ad un principio che è alla base della vasta letteratura sulla fun-zione di produfun-zione ad elasticità di sostitufun-zione costante (C.E.S.), questo autore propone una funzione di carattere generale e che permette poi di accertare a mezzo dell'indagine econometrica quale dei due tipi meglio si adatta alle serie storiche delle variabili considerate, oppure se nessuno dei due risulti appropriato suggerendo quindi la ricerca di altre formu-lazioni.
I risultati di questa indagine sono riportati nell'Appendice dove vie-ne illustrato anche il metodo usato. Essi mostrano che per l'economia ita-liana negli anni dal 1951 al 1968 la forma della funzione del consumo più appropriata è quella lineare, ciò deponendo in favore di una propen-sione marginale al consumo costante.
I L M O D E L L O
II modello consiste di cinque equazioni che corrispondono alle cinque variabili endogene. Due di queste equazioni sono strutturali (la funzione del consumo e la funzione della produzione), le altre tre sono identità. Le altre otto variabili incluse nel modello sono considerate esogene.
2 . J . M . KEYNES, The General Theory of Employment, Interest and Money, London, 1936, p. 120; Cfr. anche le osservazioni di G . ACKLEY, Macroeconomic Theory, New York, 1961, pp. 219 e 226.
3. H . S. HOUTHAKKER, An International Comparison of Household Expendi-ture Patterns, Commemorating the Centenary -of Engel's Laui, « Econometrica », 1957, p. 539.
4. P. ZAREMBKA, Functional Forms in the Demand for Money, « Journal of the American Statistical Association», 1968, pp. 502-511. Naturalmente tale me-todo si può applicare tutte le volte in cui non si può stabilire a priori la forma della funzione ed indipendentemente dal numero di variabili che specificano la stessa.
Diamo qui di seguito la definizione delle variabili usate e le relazioni funzionali:
Variabili endogene:
C Consumi privati (miliardi di lire correnti)
Y Reddito nazionale, prodotto netto nazionale ai prezzi di mercato
(mi-liardi di lire correnti)
X Reddito nazionale (miliardi di lire 1963)
P Indice implicito dei prezzi nel reddito nazionale
L Occupati (totale in migliaia di unità permanenti)
Variabili esogene-.
N Popolazione residente a metà anno (migliaia) G Consumi pubblici (miliardi di lire correnti)
I Investimenti netti (miliardi di lire correnti)
V Variazioni nelle scorte (miliardi di lire correnti) A Esportazioni (miliardi di lire correnti)
B Importazioni (miliardi di lire correnti)
W Reddito prò capite da lavoro totale (migliaia di lire correnti) t tempo
Funzione del consumo-.
Alla stima dei parametri della funzione del consumo si può pervenire alternativamente esprimendo il modello di determinazione del reddito dato dalla relazione (1) e dalla successiva definizione (5) con le (2) e (3) che rappresentano la forma ridotta del modello stesso come segue:
" = K + k (2) NtPt 1 \NtPt Y i = k 2 + l 2 ( ^ ) (3) NtPt 2 ^ 2\NtP, dove Qt = Gt + It + V* + At — B, KU— kh ! h
Le equazioni (1), (2) e (3) sono stimate col metodo dei minimi qua-drati.
Definizione del reddito nazionale:
Yt f= Ct + Gt + It + Vt + At — R (5)
Reddito nazionale in termini reali:
-ir Yt
x = PT (6)
Domanda di lavoro (produttività marginale del lavoro) : dXt _ Wt_
dLt ~ PT G Funzione della produzione:
log Xt = ix + f log Lt (8)
dove, secondo il procedimento indicato in seguito
l os = ~ 2 n " 'Wt\ , fXt t = 1 1 " l o g j - ^ - j - l o g 4 = -n 2 (log X log Lt) t = 1 S T I M A D E I P A R A M E T R I E R I S U L T A T I O T T E N U T I
La ( 1 ) è la funzione del consumo keynesiana nella sua più semplice
formulazione 5. Come si è già detto la forma lineare risulta giustificata dalle serie storiche delle variabili considerate col metodo che è esposto nell'Appendice.
La funzione (4) rappresenta una formulazione in cui si giunge alla stima dei parametri col metodo indiretto della forma ridotta per evitare il cosidetto Haavelmo bias 6, che consegue dal fatto che la stima diretta
5. Quale variabile esplicativa abbiamo usato il reddito nazionale invece del reddito disponibile. L'indice dei prezzi usato per la deflazione è quello implicito nel reddito nazionale.
6. T . HAAVELMO, Methods of Measuring the Marginai Propensity to Consume, in: Studies in Econometrie Method, Cowles Commission Monograph No. 14, New
col metodo dei minimi quadrati della equazione (1) non tiene conto del-l'appartenenza di quest'ultima ad un sistema simultaneo di equazioni.
La equazione (7) rappresenta la domanda di lavoro secondo la teoria della produttività marginale: cioè il salario reale Wt/Pt è uguale alla pro-duttività marginale del lavoro dXt/dLt.
La equazione (8) rappresenta la funzione della produzione che è di tipo Cobb-Douglas. Essa è lineare nei logaritmi e ciò permette l'applica-zione del teorema di Markoff 7. La funzione (8) mette in relazione il lo-garitmo del reddito nazionale in termini reali col lolo-garitmo del dato che rappresenta l'occupazione.
Per la stima dei coefficienti « d » ed « / » abbiamo preferito non usa-re la usa-regusa-ressione diusa-retta. Abbiamo fatto ricorso perciò ad un metodo in-diretto elaborato da Klein 8, e cioè: la stima del parametro « / » viene effettuata tramite l'informazione che deriva dalla equazione (7). In realtà
« f », nella funzione della produzione, rappresenta l'elasticità del reddito
nazionale rispetto alla variabile « lavoro » che è espressa dalla seguente formula:
£ dXt I dLt
J 1 1 7
che si può ancora scrivere come segue:
/ = dXt/ dLt Xt/Lt (10)
Poiché conosciamo dalla definizione (7) che il prodotto marginale del lavoro è uguale al salario reale, si può sostituire l'espressione (7) nella (10) per ottenere:
/ = WtLt/PtXt
Klein calcola il valore del parametro « / » con la media geometrica che è equivalente alla media aritmetica del logaritmo dei termini, cioè:
York, London, 1953, cap. I V ; S. VALAVANIS, Econometrics, New York, 1959, pp.
6 4 - 6 7 .
7 . G . TINTNER, Econometrics, New York, 1 9 5 2 , pp. 8 3 - 4 ; J . JOHNSTON, Eco-nometrie Methods, New York, 1 9 6 3 , p. 1 9 ; B . VON HOHENBALKEN, G . TINTNER, °P• cit., p. 3 3 .
8. L . R . KLEIN, A Textbook of Econometrics, Evanston (Illinois), 1953, pp.
" log ^
(£
2
t = 1
Una volta ottenuto il valore « / » si ottiene quella di « d » tenendo conto della (8) come segue:
d = (log X ) - / ( l o g Lt)
I risultati della stima sono i seguenti9 :
Per la funzione del consumo 10, con i due metodi sopra indicati:
wy V = 4 7-2 5 1 + ° '6 1 5 1 1 T u r R 2 = ° >9 9 1 9 H
N t P t (0,013) N t P t
^ = 50,482 + 0,608 ^ (4.) Per la funzione della produzione:
log X = 1,567 + 0,656 log Lt
Poiché i risultati relativi alla funzione del consumo non differiscono in modo apprezzabile tra i due procedimenti, si sono considerati agli ef-fetti degli ulteriori calcoli i valori dei parametri nella (la).
D E R I V A Z I O N E D E L S I S T E M A D I E L A S T I C I T À S I M U L T A N E E
Illustriamo ora la tecnica che ci permette di applicare il nostro mo-dello per eventuali considerazioni di politica economica. A tal fine indi-chiamo le variabili esogene come variabili di politica economica.
9. Per le fonti statistiche cfr. ISTAT, Supplemento straordinario al Bolletti-no mensile di statistica, Gennaio 1970 e Settembre 1970; G. DE MEO, Redditi e produttività in Italia (1951-1966), «Annali di Statistica», Roma, 1967.
10. Per altre stime relative alla funzione aggregata del consumo in Italia cfr.
P . PETTENATI, Alcune relazioni tra i consumi e lo sviluppo, in: Lo sviluppo eco-nomico in Italia, a cura di G. Fuà, Milano, 1969, pp. 317-324 e la bibliografia in proposito ivi citata; per alcuni recenti lavori che considerano una specificazione più ampia della funzione del consumo, cfr. BANCA D'ITALIA, GRUPPO PER LO STUDIO DELLA POLITICA MONETARIA E FISCALE, Un modello econometrico dell'economia Italiana (MI BI), Fascicolo I, Roma, pp. 6 e 59; S. VINCI, Consumi e distribuzione del reddito, « L'Industria », 1971, pp. 21-39.
11. Il valore calcolato della elasticità del consumo rispetto al reddito per i punti di media, dC/dY Y/C è 0,859.
12. I valori dei parametri sono ottenuti nel modo indicato in precedenza sulla base dei parametri delle funzioni (2) e (3) e cioè rispettivamente k1 = 129,938, /, = 1,541, R2 = 0,9546 e K = 130,664, /2 = 2,534, R2 = 0,9840.
La trasformazione del nostro sistema nella forma ridotta ci permet-terebbe di esprimere immediatamente la relazione tra le variabili endo-gene e le variabili di politica economica. Tuttavia nel nostro caso la non linearità della struttura, specialmente nella equazione (8), impedisce una diretta soluzione analitica del problema. Per evitare questo ostacolo si è deciso di operare in termini di mutamenti relativi nelle variabili piuttosto che con riferimento ai loro valori assoluti. Investigando quindi l'influsso quantitativo sulle variabili endogene di ciascuna variabile esogena e pre-sentando il risultato in forma di elasticità, si può rispondere analitica-mente alla seguente domanda:
In quale direzione e di quanto varieranno simultaneamente le varia-bili endogene se, coeteris paribus, una delle variavaria-bili esogene aumenta dell'I %?
In termini più generali si tratta di stabilire il valore delle elasticità simultanee delle variabili endogene rispetto a mutamenti nella data varia-bile esogena.
Se poniamo nel modello originario Q per G + I + V + A — Be d
fX/L per dX/dL ed eliminando le Irazioni e l'indice otteniamo: C = aNP + bY
Y = C + Q XP = Y fXP = WL
log X = d + / log L
Se sostituiamo ora per ciascuna equazione strutturale la somma dei differenziali parziali di questa equazione rispetto a tutte le variabili en-dogene ed alla variabile esogena in questione si ottiene la variazione as-soluta delle variabili endogene rispetto alla variazione in una variabile esogena. Effettuando tale operazione per tutte le cinque equazioni del modello e per ciascuna delle variabili esogene N, W e Q si ottengono tre gruppi di equazioni differenziali:
N varia; W e Q sono fissi
dC = a [PdN + NdP] + bdY dY = dC
PdX + XdP = dY f [PdX + XdP] = WdL
W varia; N e O sono fissi dC = aNdP + bdY dY = dC PdX + XdP = dY f [PdX + XdP] = WdL + LdW dXjX = f dLjL fissi Q varia; N e W sono dC = aNdP + bdY dY = dC + dQ PdX + XdP = dY f[XdP + PdX] = WdL dX/X = / dLjL
Per ottenere le variazioni relative, dividiamo tutti i differenziali per le variabili corrispondenti e moltiplichiamo per le stesse per non mutare l'espressione. Infine risolviamo ciascun gruppo di equazioni rispetto alla variazione relativa di ciascuna variabile endogena ed otteniamo il seguen-te sisseguen-tema ricorsivo 13 : dP dY Y dX ~X dL L dC c N varia « (1 - f ) (l — b)X—a(l —/) N _1 ldP_ ( 1 - / ) L~P~ P dN I v " (i j /
7
Y_ ~C - f ) dX ~X dY àY_ Y13. Per il calcolo si useranno i valori medi delle variabili sul periodo consi-derato.
dP P dY Y dx x dL dC e dp_ p dY Y dX ~Tt dL_ L dC C W varia f(1 - b) X (1 - b ) X a \ N 1 — b ) x dY dP ~~Y P~ 1 / dX 7 Vx C l " Y " - a ( l - f ) N \ dP P dW W Q varia Q (i - / ) (1 N X dY_
7
" E b ) X - a ( \ - f ) : Q P Y dQ 7 T 1 — è 1 1 - è dQ "Q d x dY Y dP\ Pj
Q /dQ C 1 QRisultati ottenuti e loro interpretazione.
Prima di esporre i risultati che si sono ottenuti col nostro sistema di elasticità simultanee, occorre notare come vari autori, che si sono occu-pati di interpretare lo sviluppo economico italiano del dopoguerra, si soffermino sugli eventi economici che si sarebbero verificati nel 1962-63 14.
14. Si vedano i contributi alla tavola rotonda della Fondazione Giovanni Agnelli su II modello di sviluppo del sistema economico italiano e il contesto internazionale nel numero dell'ottobre 1971 della « Rivista Internazionale di Scienze Economiche e Commerciali ».
Per questa ragione abbiamo ritenuto opportuno applicare il nostro modello oltre che all'intero periodo dal 1951 al 1968 anche al periodo che va dal 1951 al 1962 15.
I risultati ottenuti sono i seguenti: Per il periodo 1951-1962: Variabili N W Q endogene N W G I V A B P 0,17 0,76 0,12 0,12 0,04 0,13 — 0,14 Y 0,47 0,31 0,33 0,35 0,05 0,38 — 0,39 X 0,31 — 0,45 0,22 0,23 0,01 0,24 — 0,25 L 0,47 —0,69 0,33 0,35 0,01 0,37 — 0,38 C 0,66 0,43 0,28 0,29 0,04 0,27 — 0,33 Per il periodo 1951-1968: Variabili N W Q endogene N W G I V A B P 0,10 0,72 0,14 0,13 0,01 0,18 — 0,17 Y 0,28 0,18 0,40 0,37 0,03 0,49 — 0,47 X 0,18 — 0,54 0,26 0,24 0,02 0,31 — 0,30 L 0,28 - 0 , 8 2 0,39 0,36 0,03 0,48 — 0,46 C 0,39 0,26 0,37 0,34 0,03 0,45 — 0,42
Ciascun valore che appare nelle due tabelle deve essere interpretato come l'elasticità della variabile endogena rispetto alla corrispondente va-riabile esogena. Così, ad esempio, il valore 0,38 nella sesta colonna della prima tavola rappresenta la variazione percentuale del reddito nazionale dovuta ad un aumento dell'1% nelle esportazioni, coeteris paribus.
Se si considera l'intera colonna di valori si può dire che l'aumento dell'1% nelle esportazioni per il periodo 1951-1962 ha portato, coeteris
paribus, al seguente risultato:
0,13 per cento di aumento nell'indice dei prezzi implicito nel reddito nazionale
15. I valori dei parametri usati per l'ottenimento di questi risultati sono at1 = 76,420 e b\ = 0,539 con un R2 = 0,9945 ed f1 = 0,6508 rispettivamente
(0,012)
0,38 per cento di aumento nel reddito nazionale in lire correnti 0,24 per cento di aumento del reddito nazionale in lire costanti 0,37 per cento di aumento degli occupati
0,27 per cento di aumento dei consumi privati
L'interpretazione delle altre colonne segue in simile modo.
Vogliamo notare come il valore negativo delle elasticità del reddito nazionale in termini reali e degli occupati rispetto ad una variazione del-l'I % nell'ammontare dei redditi pro-capite da lavoro totale è piuttosto irrealistico. Tuttavia se si considera la condizione coeteris paribus, tale risultato è la conseguenza delle caratteristiche del nostro modello e cioè:
a) opera in base alla teoria della produttività marginale. b) il lavoro è il solo input nella funzione della produzione.
Dove invece i nostri risultati ci permettono alcune osservazioni sulle caratteristiche dello sviluppo economico italiano del dopoguerra è con riferimento alle variabili G, I, A e B. Studi condotti per interpretare quello sviluppo, mostrano come questo si sia accompagnato ad una cre-scente apertura dell'economia verso l'esterno dovuta ad un flusso con-siderevole di esportazioni16. Queste ultime avrebbero esercitato un ef-fetto propulsivo sull'economia stessa. Questa interpretazione, ci sembra, trova qualche riscontro nei nostri risultati.
In particolare per il periodo 1951-1962 se si esaminano le elasticità delle variabili endogene nel nostro modello rispetto ai grandi aggregati economici del commercio estero, esportazioni ed importazioni, possiamo osservare come tali valori siano più elevati di quelli relativi all'aggregato investimenti. Per quanto riguarda A e B, la dimensione delle elasticità è determinata all'interno di un paese dallo stato della bilancia commer-ciale (le importazioni sono viste nel nostro modello come esportazioni ne-gative). Fra i paesi, il grado di orientamento verso l'esterno (il nostro mo-dello si presta bene per scopi comparativi in proposito) è responsabile dell'importanza degli strumenti esportazioni ed importazioni rispetto alle altre variabili strumentali. Ciò se si considera in particolare il legame tra esportazioni, importazioni e reddito nazionale; nello sviluppo di quest'ul-tima variabile le prime due costituiscono facce della stessa medaglia.
Guardando ai risultati, la dimensione delle elasticità nelle colonne
A e B è pressoché uguale (le elasticità in B assumono infatti valori solo
leggermente più alti). Tali elasticità assumono poi valori più alti di quelli
16. A . GRAZIANI, LO sviluppo di un'economia aperta, Napoli, 1969; A . GRA-ZIANI, Lo sviluppo dell'economia italiana come economia aperta (Excerpta), « Ri-vista Internazionale di Scienze Economiche e Commerciali », 1971, pp. 956-972.
che si riscontrano nella colonna I (eccetto per l'elasticità dei consumi ri-spetto alle esportazioni). Le elasticità del reddito nazionale sia nominale che reale rispetto agli aggregati A e B sono superiori alle corrispondenti elasticità rispetto ad I, mentre le differenze tra queste elasticità sono poi più marcate ove ci si riferisca ad A e B. Ciò si riflette evidentemente sulle elasticità dei prezzi rispetto alle variabili A e B ed I per cui le prime sono più alte delle seconde. Dobbiamo poi notare il maggior contributo alla occupazione che si registra in corrispondenza delle variabili A e B.
Se estendiamo l'esame all'intero periodo 1951-1968, venendo così a considerare le vicende economiche dal 1963 al 1968, i valori ottenuti per le elasticità mostrano una accentuazione di quelle tendenze cui abbia-mo già accennato.
In particolare, mentre per il periodo 1951-1962 i valori delle elasti-cità in corrispondenza delle componenti estere della domanda globale erano superiori a quelle in corrispondenza degli investimenti, lo « stac-co » fra questi gruppi di elasticità si fà ora partistac-colarmente marcato e ciò riflette il maggior effetto sul reddito nazionale di quelle componenti ri-spetto agli investimenti.
Conviene osservare che i nostri risultati derivano oltre che dalla im-portanza relativa che ciascuna variabile strumentale ha già nella nostra economia (operiamo infatti sulla base di percentuali della sua media) an-che dai valori an-che assumono i parametri delle equazioni strutturali. Per cui, tra l'altro, quando si effettua il confronto fra i valori che si ottengono per i due periodi, i risultati della seconda tavola sono la conseguenza di uno spostamento verso il basso della funzione del consumo seguito da un aumento del coefficiente angolare, la propensione marginale al consumo, che si registra appunto ove si consideri l'intero periodo 1951-1968 e con ciò gli eventi verificatisi negli anni dal 1963 al 1968.
Si noti infine il forte aumento della elasticità nella colonna G che può essere il riflesso dell'aumento delle retribuzioni nel settore della pubblica amministrazione.
L'accentuarsi dell'influenza della componente estera (si noti anche rispetto ai valori della prima tavola come i valori nella colonna A siano superiori a quelli nella colonna B) rispetto agli investimenti e l'aumen-tata partecipazione dei consumi pubblici sembrano quindi caratterizzare il periodo susseguente al 1962.
Per quanto riguarda infine eventuali considerazioni di politica eco-nomica sulla base dei risultati emersi dalla nostra indagine, occorre te-ner conto comunque delle linee di fondo che hanno caratterizzato l'evo-luzione dell'economia italiana ed in cui si riscontrano insieme a quegli aspetti ritenuti caratteristici di ogni processo di sviluppo anche altri
aspet-ti sui quali si sono soffermaaspet-ti vari autori e che sono staaspet-ti ritenuaspet-ti pecu-liari per il nostro sistema economico. Tali ultimi aspetti messi bene in luce nei lavori del Graziani che abbiamo citato e sui quali non possiamo soffermarci data la natura aggregata della nostra indagine, sono princi-palmente il dualismo della struttura industriale, la distorsione dei consu-mi, il distacco economico fra il Nord e il Sud, la congestione dei grandi centri industriali.
APPENDICE
Descriviamo qui di seguito il metodo usato per la scelta della lorma della lunzione del consumo \ Sia
la lorma generale della lunzione del consumo dove X è una costante e gli altri simboli hanno il significato noto.
Come abbiamo precedentemente osservato, il nostro proposito è quel-lo di scegliere Ira le due ipotesi circa la lunzione del consumo (lineare, non lineare) quella che più si adatta alle serie storiche nelle variabili con-siderate con rilerimento all'economia italiana e per il periodo preso in considerazione.
Possiamo subito notare come la lorma generale della lunzione del consumo contiene i due tipi di relazione lunzionale come casi particola-ri 2. Inlatti per X = 1 la (1) ci dà direttamente la lorma lineare mentre
per X - > 0 la stessa (1) assume la lorma logaritmico-lineare \
Dalla lunzione (1) si può ottenere la elasticità del consumo rispetto al reddito e cioè:
Se X = 0 evidentemente r\y = b.
1. Per comodità indicheremo con i simboli C e Y rispettivamente i consumi privati e il reddito nazionale deflazionati e pro-capite.
2. P . ZAREMBKA, op. cit., p. 5 0 3 .
3. Come segue:
Cj = a + b Yj t = 1 . . . T (1)
C} - 1 = (a + b - 1) + b (Y} - 1)
Ci — 1 a*1 x - 1 , Yi — 1
-f b - - per qualche valore di a' i*
X X X
lim Ci - 1 li m a*r- 1 li m Y} - 1
log G = log a* + b log Yt
P. Zarembka propone il metodo della massima verosimiglianza per la stima dei parametri della funzione ( 1 ). Se si introduce un termine sto-castico nella (1) abbiamo che:
Ci = a + bYÌ + ut t = 1...T (3)
Se si assumono gli Ut normalmente ed indipendentemente distribuiti