Piani ortogonali

I piano ortogonali, costituiscono un particolare tipo di disegno frazionato: le colonne della matrice del piano (in ciascuno delle quali sono riportati i livelli assunti da un fattore) sono tra loro ortogonali, vale a dire: i livelli di un fattore compaiono un ugual numero di volte nel piano, in congiunzione di ciascun livello degli altri fattori.

Le ripetizioni e le replicazioni delle prove mantengono l’ortogonalità del piano se si presentano lo stesso numero di volte (piani bilanciati).

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Quando invece, le ripetizioni delle prove non sono uniformi, (piani non bilanciati) risulta compromessa l’ortogonalità. Tra le proprietà più importanti di questi schemi si annovera l’indipendenza degli effetti dei fattori.

Questi disegni permettono di stimare gli effetti principali con il più piccolo numero di combinazioni sperimentali; essi costituiscono la classe più efficiente di disegni fattoriali frazionati.

È detto quindi ortogonale, un piano sperimentale per il quale i vettori colonna (i cui elementi indicano i livelli dei rispettivi fattori) sono tra loro ortogonali. Pertanto due vettori colonna:

u1 v1

u2 v2

. .

. .

uk vk

sono ortogonali se il loro prodotto interno risulta uguale a 0; se cioè:

Σur*vr = 0

Se nel piano sperimentale è trascurata una combinazione, cade l’ortogonalità dello schema. I livelli dei fattori sono codificati con interi positivi e negativi (codifica di contrasto) e sono a somma 0. Se i livelli di un fattore sono due, questi sono codificati con -1 e +1, se il fattore è a 3 livelli, questi vengono codificati con -1, 0, +1. Una classe di piani sperimentali considera importanti solo gli effetti principali. Il rischio che pongono questi piani è dato dalla possibilità che alcuni o tutti gli effetti principali siano confusi con effetti dominanti (ad esempio, effetti di interazione). L’ortogonalità di un piano, non assicura l’assenza di confusioni di effetti; pertanto il piano va scelto con cura, affinché gli effetti principali non siano confusi con quelli di interazione. Se prendiamo la tabella: (Tabella 43)

Tabella 43- Schema ortogonale con effetti principali confusi con interazioni di primo grado (ossia interazioni di due fattori)

CODICI DEI LIVELLI COMBINAZIONI

FATTORE A FATTORE B FATTORE C FATTORE D I = ABCD

1 -1 -1 +1 -1 1 2 -1 -1 +1 +1 1 3 -1 +1 -1 -1 1 4 -1 +1 -1 +1 1 5 +1 -1 -1 -1 1 6 +1 -1 -1 +1 1 7 +1 +1 +1 -1 1 8 +1 +1 +1 +1 1

Fonte: Adattato da De Luca A., (2004)

mostra un piano frazionato ad ½ di un esperimento fattoriale completo 24. Si tratta di uno schema ortogonale in cui l’effetto principale A, è confuso con l’effetto di interazione BC (i prodotti degli elementi delle colonne BC danno gli elementi della colonna A).

Con questo tipo di piano non è possibile distinguere l’effetto principale di A, dall’interazione dei fattori B e C, se questa sussiste.

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La relazione di identità (confusione di base) è : I = ABC, pertanto B è sovrapposto ad AC (BI=ABBC ? B = AC) e C ad AB (CI = ABCC ? C = AB). Se una delle tre interazioni (AB, AC, BC) a due fattori non è trascurabile, le inferenze sugli effetti principali dei fattori risultano compromesse.

Nel piano ortogonale l’effetto principale di un fattore risulta indipendente dagli effetti principali degli altri fattori; se sussiste interazione tra di essi, le stime degli effetti principali risultano viziate. La tecnica del frazionamento, tiene presente la possibilità di confusione degli effetti principali dei fattori con quelli di interazione, di grado più o meno elevato. Due effetti confusi non sono distinguibili tra loro; ad esempio, se l’effetto di un fattore A è confuso con l’effetto di interazione BC, non è possibile stimare né l’effetto di A, né l’effetto di BC, bensì l’effetto combinato di A e di BC. Per attribuire l’intero effetto al fattore A è necessario che sussista l’ipotesi di assenza dell’effetto di interazione BC.

Muovendo da una confusione di base (relazione di identità) si possono determinare tutte le relazioni (cioè le confusioni) che intercorrono tra gli effetti (principali o di interazione). Con il metodo delle confusioni si può generare una serie di disegni sperimentali che consentono di stimare, o i soli effetti principali dei fattori, o anche gli effetti di interazione tra alcuni di essi.

I disegni fattoriali frazionati maggiormente utilizzati sono:

Ø I quadrati latini, i quali considerano 3 fattori (di cui 1 sistematico e 2 sub-sperimentali), disposti in modo che ogni livello di ciascun fattore figuri una sola volta con ogni livello degli altri fattori;

Ø I disegni a risoluzione III, assumono che tutte le interazioni siano trascurabili, essi consentono di stimare gli effetti principali di tutti i fattori e richiedono che i livelli di un fattore si presentino con frequenza proporzionale rispetto ai livelli degli altri fattori. Questi disegni sono i più parsimoniosi, perché consentono di stimare gli effetti princip ali dei fattori (anche se numerosi) con un basso numero di combinazioni; essi vanno usati con cautela, poiché l’esistenza di eventuali interazioni statisticamente significative potrebbe inficiare i risultati dell’analisi;

Ø I disegni a risoluzione IV, in questi schemi si ipotizza che le interazioni di primo grado (relative a due fattori) siano rilevanti, ma non potendole stimare (a causa dell’elevato numero di possibili combinazioni da considerare) è necessario evitare che le stesse non siano confuse con gli effetti principali;

Ø I disegni a risoluzione V, consentono di stimare tutti gli effetti principali e tutte le interazioni di primo grado;

Ø I compromise design, si pongono in posizione intermedia tra i disegni a risoluzione III e quelli a risoluzione V, consentono di stimare tutti gli effetti principali dei fattori e le interazioni di primo grado di un sotto- insieme di questi.

L’attuale interesse per gli schemi ortogonali è dovuto all’uso che ne indica il giapponese G. Taguchi nell’ambito del problema della qualità totale (total quality management).

Gli schemi di Taguchi, utilizzati principalmente in campo industriale, sono impostati in modo da ottenere il massimo livello di qualità di un prodotto.

Il metodo in parola è stato virtualmente non conosciuto fuori del Giappone fino al 1980. Questi disegni si possono dividere in 2 tipologie, online e offline e si riferiscono al metodo di controllo della qualità all’interno del sistema di progettazione della qualità stessa. Offline si riferisce a tutte quelle attività che vengono condotte durante la pianificazione del prodotto, del disegno e dello sviluppo delle diverse fasi e include le fasi del disegno, i parametri del disegno e la sua tolleranza, invece online controllo di qualità, si riferisce a tutte le attività che avvengono durante la realizzazione delle diverse fasi e comprende le misurazioni, le reazioni e gli aggiustamenti, le predizioni e le correzioni. (Taguchi, 1986) [citato in Antony, Perry, Wang, Kumar, (2006) pag. 18]. Ci sono dieci step in un approccio sistematico all’uso della metodologia dei disegni Taguchi:

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1) Studiare il problema, cioè stabilire quindi una buona comprensione del problema e degli obiettivi dell’esperimento;

2) Selezionare le caratteristiche della qualità;

3) Selezionare il disegno o i parametri di processo con i quali si ritiene di influenzare le caratteristiche della qualità di interesse;

4) Classificare i parametri del disegno in: parametri di controllo che possono essere controllati abbastanza facilmente, parametri di disturbo, che non possono essere controllati o che sono costosi da controllare e parametri di segnale utilizzati per la messa a punto del processo o per gli aggiustamenti;

5) Determinare il livello del disegno o i parametri di processo, quindi determinare il numero dei livelli test per il disegno o il processo;

6) Identificare le interazioni;

7) Scegliere un appropriato disegno ortogonale; 8) Condurre l’esperimento;

9) Analisi statistica delle performance;

10) Confermare l’esperimento e implementare i risultati.

È comunque osservato che esistono delle barriere all’applicazione di questo metodo, in particolare riferite a:

Ø Barriere dovute all’educazione, ad esempio nel curriculum dei nuovi ingegneri non è previsto lo studio di questa metodologia e dei disegni sperimentali più in generale;

Ø Barriere dovute al management, perché molti managers non apprezzano il valore di questo approccio nelle aziende;

Ø Barriere legate alla comunicazione, infatti sono molto poche le comunicazioni tra gli industriali e i ricercatori.

Taguchi propone piani sperimentali di fattori con interazioni minime tra loro (onde focalizzare l’analisi sui soli effetti principali) e metodi di analisi delle risposte.

Gli schemi in parola risultano efficienti. La presenza di eventuali interazioni può distorcere la stima degli effetti principali, ma non quella degli effetti dominanti.

L’uso di questi schemi è consigliato quando:

• non sussistono interazioni tra i fattori;

• interessa valutare i soli effetti dominanti;

Gli schemi ortogonali proposti da Taguchi, sono fattoriali frazionati, consentono di studiare gli effetti principali dei fattori con poche prove (principale caratteristica di questi schemi). Nel caso in cui, non siamo certi dell’assenza di interazione tra i fattori, gli schemi in parola vanno usati solo in ricerche esplorative, per individuare gli effetti dominanti.

L’approccio Taguchi mira a minimizzare le variazioni nelle performance di prodotto e di processo e in tal modo raggiungere un miglioramento continuo della qualità. Q uesto perché oggi, nel mercato globale, la qualità è un problema chiave per le aziende che desiderano tenere i loro consumatori e rimanere competitivi nei loro affari, però la qualità non può essere soltanto il risultato di un’ispezione di processo ma necessita di essere una filosofia. Il metodo Taguchi ha recentemente ottenuto molta attenzione sia positiva che negativa come strumento di miglioramento continuo della qualità. Viene utilizzato molto in campo industriale, dove ha come obiettivo quello di sviluppare prodotti e processi insensibili alle variazioni ambie ntali, alle variazioni della produzione, ai deterioramenti dei prodotti e alle variazioni tra unità. Quindi il successo principale di questo metodo è enfatizzare l’importanza della qualità nel disegno e semplificare l’uso del disegno sperimentale, come uno strumento il cui scopo principale è implementare la qualità. Le critiche però non mancano. Infatti i disegni sperimentali classici hanno ancora un maggior richiamo. Il ruolo del metodo Taguchi nel miglioramento della qualità totale, sarà quello di identificare e ottimizzare le caratteristiche critiche della qualità, che influenzeranno la performance finale del prodotto e del processo. Per il successo dell’implementazione del metodo in parola, in ogni azienda sono necessarie innanzitutto delle persone “giuste” (preparate e che credono in questo metodo),

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l’impegno del top management, una consapevolezza del metodo e una ragionevole abilità statistica. La metodologia Taguchi è un approccio potente per la comprensione e consente di ottimizzare le performance del processo usando un disegno sperimentale su base statistica. È da tenere presente che in ambito scientifico, obiettivo prioritario della sperimentazione è quello di accertare la significatività statistica dell’effetto di uno o più fattori su una variabile dipendente; in campo industriale invece, l’obiettivo è quello di estrarre la massima informazione possibile sui fattori che influenzano un fenomeno produttivo.

In ambito scientifico si punta ad individuare la presenza di interazione tra i fattori; in ambito industriale questi effetti sono considerati una fonte di disturbo nell’identificazione dei fattori principali.

Un ultimo accenno deve essere fatto ai piani specialistici, sono schemi fattoriali applicati in ricerche di tipo esplorative, in ricerche sequenziali e per lo studio delle superfici di risposta.

Ø Esperimenti esplorativi, sono effettuati per identificare i fattori dominanti in un insieme di variabili. Si basano su piani fattoriali frazionati senza confusione degli effetti principali. Per fattori a due livelli sono usati gli schemi di Plackett-Burman, tipicamente impiegati in problemi industriali. Si tratta di piani per la stima degli effetti principali, che richiedono un minor numero di prove (pari ad un multiplo di quattro) rispetto ai fattori frazionati a risoluzione III;

Ø Esperimenti in sequenza, si usano quando non è nota l’influenza dei fattori sulla risposta o si vuole approfondire la valutazione di alcuni fattori; ad esempio, partendo da una frazione a metà di un piano fattoriale completo, avendo individuato importanti effetti principali, si desiderano stimare quest’ultimi e le loro interazioni di grado inferiore. In questa circostanza si incrementa il numero di combinazioni sperimentali, considerando l’altra frazione a me tà del piano fattoriale completo. In un esperimento basato su un disegno a risoluzione III si aggiungono frazioni di piano fino a raggiungere un disegno a risoluzione V;

Ø Studio delle superfici di risposta. Per la determinazione delle superfici di risposta si ricorre a volte a piani fattoriali completi e frazionati. Il sottostante modello individua il valore ottimale di risposta con approccio sequenziale. Per la determinazione dei valori ottimali di risposta, si effettua un particolare iter:

• Si conduce l’esperimento su piccola scala (con piano fattoriale completo di fattori a due livelli o con piano frazionato adattando alla risposta un modello di primo ordine);

• Se il dominio dei fattori contenente la risposta ottimale non cade nella regione considerata nel piano, si conducano prove aggiuntive, sequenzialmente, finchè non si individua l’intorno del punto di ottimo della risposta;

• Si conduce quindi un esperimento più approfondito, adottando funzioni non lineari (in questa fase si usano fattori a tre livelli, onde adottare modelli polinomiali di ordine superiore). Piani fattoriali 3K frazionati (utilizzati soprattutto nell’ambito della produzione) sono i piani compositi. Tra cui, il piano composito centrale: piano fattoriale 2K completo o frazionato, con osservazioni ripetute per la ricerca dell’intorno in cui cade il punto di massimo della variabile di risposta. La crescente disponibilità di software facilità la costruzione di piani sperimentali.