Piano a quadrato latino

Si tratta di uno schema a scacchiera di tipo fattoriale, con il quale si studia un fattore sperimentale sistematico, tenendo contemporaneamente sotto controllo due fattori di disturbo.

Il principio di base del quadrato latino è simile a quello sottostante il piano casuale a blocchi, con la differenza che il metodo in parola controlla l’influenza sui risultati dell’esperimento di due fattori sub-sperimentali (ad esempio: zone geografiche e dimensioni dei punti di vendita).

In questo schema si ipotizza che i fattori di disturbo non interagiscano tra di loro, né con il fattore sperimentale; si suppone cioè, che siano trascurabili gli effetti di interazione (sono pertanto stimati i soli effetti principali dei fattori). Lo schema del quadrato latino impone che il fattore sperimentale e i due fa ttori di disturbo abbiano lo stesso numero di livelli. Esso si raffigura con una tavola a doppia entrata, le cui colonne e le cui righe riportano, rispettivamente, le modalità del primo e del secondo fattore di controllo; alle unità sperimentali ricadenti nelle caselle di incrocio delle righe con le colonne, si somministrano i trattamenti (livelli) del fattore sperimentale (indicati in tabella con le lettere latine maiuscole): (Tabella 25)

Tabella 25- Piano a quadrato latino 3x3

Modalità del 1° fattore Sub-sperimentale Modalità del 2° Fattore sub-sperimentale 1 2 3 1 A B C 2 C A B 3 B C A

Fonte: Adattato da De Luca A., (2004)

Questo disegno trova vaste applicazioni nelle ricerche di mercato e nella ricerca sociale. I livelli del fattore sperimentale sono assegnati nelle celle della tavola, in modo tale che ognuno di essi appaia una sola volta per riga e per colonna.

Se i livelli dei due fattori sub-sperimentali sono 3, si ha un quadrato latino 3x3, con un numero di prove pari a 32=9. Ciascuno dei tre livelli (ripetuti tre volte) si presenta una sola volta per riga e per colonna.

Nella tabella sopra, sono indicati tre trattamenti A, B, C, disposti nelle varie caselle in modo casuale. Con il tipo di casualizzazione adottata, nella diagonale principale della matrice associata

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allo schema del quadrato latino, appare sempre uno stesso livello (A), i restanti livelli sono disposti nelle celle a sinistra e a destra di detta diagonale, in modo da formare una matrice simmetrica (piano fattoriale frazionato simmetrico). L’effetto di ciascun livello del fattore sperimentale può essere valutato calcolando l’influenza media di quest’ultimo sulle unità su cui è stato somministrato.

Andiamo a fare un esempio.

Supponiamo che due fattori di disturbo influenzino le vendite dei prodotti commercializzati in una catena di supermercati. Detti fattori sono, la dimensione del punto di vendita (tre livelli: grande, medio, piccolo) e l’ampiezza della gamma dei prodotti offerti (tre livelli: ampia, media, limitata). Siccome il quadrato latino, impone che il numero di livelli di ciascun fattore sub-sperimentale sia pari al numero di livelli del fattore sperimentale, essendo il numero di livelli del fattore da sottoporre ad esperimento pari a 3 (X1, X2, X3) si devono ripartire i 90 negozi in 3 blocchi: 30 di dimensione grande, 30 di dimensione media e 30 di dimensione piccola.

Successivamente i punti di vendita di ciascuna di queste 3 categorie di negozi devono essere suddivise in 3 sub-categorie, in base all’ampiezza della gamma dei prodotti offerti (2° sub- fattore), ad esempio: 10 punti di vendita con gamma ampia, 10 con gamma media e 10 con gamma piccola. Una classificazione di questo tipo genera 9 sottogruppi di 10 punti di vendita ciascuno (Tabella 26).

Tabella 26- Piano a quadrato latino

Gamma dei prodotti Dimensione

punto di vendita

AMPIA MEDIA LIMITATA

GRANDE GS1 GS2 GS3

MEDIA GS4 GS5 GS6

PICCOLA GS7 GS8 GS9

Fonte: Adattato da De Luca A., (2004)

I tre livelli del fattore sperimentale (X1, X2, X3) sono assegnati ai 9 gruppi in modo casuale, sotto la condizione che ciascun trattamento sia somministrato una ed una sola volta per riga e per colonna della tavola associata allo schema del quadrato latino. La rappresentazione dell’assegnazione casuale dei trattamenti ha il seguente schema:

GS1(R) X1 O1 GS2(R) X2 O2 GS3(R) X3 O3 GS4(R) X4 O4 GS5(R) X5 O5 GS6(R) X6 O6 GS7(R) X7 O7 GS8(R) X8 O8 GS9(R) X9 O9

I risultati delle vendite (O) consentono di valutare, non solo l’efficacia relativa ai livelli di promozione (X1, X2, X3) nei tre punti di vendita, ma anche l’effetto dei due fattori di blocco sulle vend ite del prodotto. Un metodo generale per casualizzare i trattamenti in un piano a quadrato latino, è quello di associare casualmente ai K livelli del fattore sperimentale, K numeri, con la seguente procedura:

Ø Si assegnano casualmente i livelli nella prima delle K righe della tavola dello schema a quadrato latino ;

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Ø Si assegnano casualmente i livelli nella seconda riga, escludendo quelli che, leggendo il piano per colonna, risultano già presenti (ogni riga e ogni colonna non può contenere un dato livello più di una volta);

Ø Così via fino alla K-ma riga (man a mano che cresce il numero di righe con l’assegnazione casualizzata, decresce il numero dei gradi di libertà di assegnazione dei trattamenti; nella K- ma riga i trattamenti risultano automaticamente determinati).

Un metodo alternativo per ottenere la casualizzazione in parola è quello secondo cui la matrice di assegnazione finale risulta di tipo simmetrico.

Ad esempio, vogliamo testare l’effetto sulle vendite di tre diversi prezzi (livelli) di un prodotto. Si ipotizza che sulla risposta (vendite) influiscano anche il tipo di negozio (negozio familiare, supermarket, centro commerciale) in cui è venduto il prodotto e il turno giornaliero (3 turni in cui è suddivisa la giornata). Essendo 3 i livelli del fattore sperimentale (prezzo) e 3 i livelli dei due fattori sub-sperimentali o di controllo, si utilizza uno schema a quadrato latino 3x3 con 9 osservazioni. Per prima cosa, impostiamo la tabella:

TIPI DI NEGOZI TURNO

Negozio familiare Supermarket Centro commerciale 1

2 3

Dopo di che, and iamo ad associare casualmente i primi 3 numeri naturali ai 3 livelli (prezzo 1, prezzo 2, prezzo 3) del fattore sperimentale. A questo scopo si estraggono 3 numeri dalla tavola dei numeri casuali che risultano nell’ordine 2, 3, 1.

Quindi, i trattamenti assegnati in modo casualizzato alla prima riga sono i seguenti:

TIPI DI NEGOZI TURNO

Negozio familiare Supermarket Centro commerciale 1 Prezzo 2 Prezzo 3 Prezzo 1 2

3

nella seconda riga, si assegnano casualmente i livelli della prima colonna (escluso il prezzo 2, già presente) e quindi avremo:

TIPI DI NEGOZI TURNO

Negozio familiare Supermarket Centro commerciale 1 Prezzo 2 Prezzo 3 Prezzo 1 2 Prezzo 1

3 Prezzo 3

a questo punto, i livelli da assegnare nelle celle rimaste vuote sono automaticamente determinati (se si è scelta la procedura che conduce ad una matrice del piano sperimentale simmetrica). Considerando che sulla diagonale principale deve apparire il prezzo 2 e che nelle stessa riga o stessa colonna, un dato livello può apparire solo una volta, si giunge al seguente disegno a quadrato latino completo.

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TIPI DI NEGOZI TURNO

Negozio familiare Supermarket Centro commerciale 1 Prezzo 2 Prezzo 3 Prezzo 1 2 Prezzo 1 Prezzo 2 Prezzo 3 3 Prezzo 3 Prezzo 1 Prezzo 2

Questo disegno può essere applicato in esperimenti di tipo “prima-dopo” o solo “dopo” “senza o con GC ”. In quest’ultimo caso per misurare gli effetti dei trattamenti del primo turno, si confrontano le vendite dei negozi trattati nel medesimo (prezzo 2 praticato nel negozio familiare, prezzo 3 assegnato al campione di supermarket, prezzo 1 al campione di centri commerciali) con le vendite dei rispettivi GC nei quali, i prezzi sono rimasti immutati.

I campioni osservati sono di pari numerosità, le differenze tra le vendite rilevate nei GS e quelle dei GC, sono registrate e memorizzate. Nel secondo turno, i livelli dei prezzi sono cambiati. Si calcolano anche per il secondo turno le differenze medie tra i GS e i GC e si registrano i risultati; così per il terzo turno. Memorizzato l’effetto sulle vendite di ogni livello di prezzo in ciascun tipo di negozio e in ciascun turno, sarà possibile individuare la combinazione prezzo-tipo e negozio-turno cui corrisponde la vendita più elevata.

Le combinazioni sperimentali inerenti allo schema del quadrato latino, costituiscano un piano fattoriale frazionato, che presenta un ridotto numero di combinazioni, rispetto al piano fattoriale completo. Infatti rispetto a quest’ultimo, ha il vantaggio della semplicità di esecuzione e del minor costo in termini di tempo e di spesa, ma anche lo svantaggio di permettere soltanto l’individuazione degli effetti dei fattori sperimentali presi singolarmente e non quelli delle loro interazioni, quindi questo metodo sarà utile in quei casi in cui è ragionevole supporre che non vi siano effetti di interazione.

Un piano fattoriale completo di 3 fattori a 4 livelli, senza replicazioni, comporterebbe 43= 64 osservazioni, mentre un piano a quadrato latino richiede solo 16 osservazioni, quest’ultimo però consente di stimare i soli effetti principali dei fattori e non anche effetti di interazione.

Questo schema quindi verrà adottato, quando si possono assumere come trascurabili gli effetti di interazione tra i fattori sub-sperimentali e tra questi ultimi e il fattore sperimentale.

Nell’analisi di mercato questo piano è particolarmente usato negli studi sui distributori (dettaglianti), per i quali è sentita la necessità di un controllo delle vendite (variabili di risposta) per tipo e dimensione del negozio e per unità temporale.

Naturalmente anche lo schema a quadrato latino possiede dei punti di debolezza:

Ø Il vincolo del disegno secondo cui il numero di righe deve essere uguale al numero di colonne e a quello dei livelli del fattore sperimentale, può risultare problematico da rispettare in ricerche indirizzate a specifici obiettivi. Ad esempio infatti se volessimo testare le vendite di 4 versioni di un prodotto tenendo sotto controllo la stagione dell’anno e il tipo di negozio, è necessario disporre di 4 tipologie di negozi e svolgere l’esperimento su 4 intervalli temporali, ma se per rapidità si volesse effettuare l’esperimento su un numero minore di periodi, il quadrato latino è inapplicabile;

Ø Lo schema può controllare solo due fattori di disturbo (fattori di blocco) per volta. Una variante di questo disegno è il quadrato greco- latino (M.R. Spiegel 1994) che consente di controllare una variabile aggiuntiva5;

5

Il quadrato greco latino controlla tre variabili di disturbo, si tratta di due disegni a quadrato latino sovrapposti. Adottando le lettere latine A, B, C, D, per il primo quadrato latino a quattro livelli e le lettere greche α, β, γ, δ, per il secondo si ha:

Bγ Aβ Dδ Cα

Aδ Bα Cγ Dβ

Dα Cδ Bβ Aγ

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Ø Quando differenti livelli di prezzo sono somministrati sulla stessa unità sperimentale, in diversi periodi di tempo, le osservazioni successive della variabile risposta possono non risultare indipendenti tra loro. Nell’esperimento può infatti intervenire sulla variabile dipendente, un effetto di inerzia o di trascinamento detto “carry-over effct”, per cui il valore della risposta relativa al livello del fattore somministrato al tempo T resta condizionato dal livello del fattore assegnato, in precedenza, al tempo T-i, i=1, 2, ..(il quadrato latino assume in questo caso, che un basso prezzo nel periodo 1 non influenzi le vendite del periodo 2 nel quale è stato praticato un prezzo elevato, assunzione questa non realistica);

Ø Il quadrato latino si basa sull’ipotesi che le variabili di controllo non interagiscono tra loro e né con il fattore sperimentale, è da rilevare però che l’interazione tra le variabili di marketing è frequente nei problemi di mercato.