3.9 I disegni sperimentali
3.9.8 Piano fattoriale completo
Fino a questo momento ci siamo preoccupati di dimostrare in che modo è possibile individuare sperimentalmente l’esistenza di una relazione causale in situazioni che prevedono due sole variabili, una delle quali, quella indipendente, è considerata soltanto come presente o assente. Si è trattato di una semplificazione dettata da esigenze di chiarezza e semplicità espositiva, che non comporta però la banalità dei risultati, al contrario, la conoscenza che ne deriva costituisce la base da cui partire per ogni ulteriore approfondimento dei meccanismi dei processi sociali. Questo approfondimento deve tener conto di due ulteriori elementi. Il primo riguarda il fatto che, molto spesso quel che importa non è tanto la presenza/assenza di un qualche fattore, quanto le modalità o le intensità con le quali esso si manifesta. Il secondo elemento, è legato al fatto che i fenomeni sociali raramente sono ascrivibili all’influenza del piccolo fattore, quindi per analizzare la complessa rete di interrelazioni che definiscono i fenomeni sociali, si rende necessario il ricorso a strumenti di ricerca e di analisi più complessi e sofisticati di quelli finora considerati. Uno di questi strumenti è costituito dal “disegno sperimentale fattoriale”.
Il piano fattoriale completo considera tutte le possibili combinazioni dei livelli (almeno due) di due o più fattori.
Pertanto, mentre nello schema classico si fa variare un fattore sperimentale per volta, in quello fattoriale si investigano tutte le possibili combinazioni dei livelli (“stimoli”) dei fattori sperimentali sistematici. Quindi, in questi disegni le variabili indipendenti sono più di una.
Lo schema fattoriale, rispetto all’esperimento classico, presenta diversi vantaggi: Ø A parità di numero di prove assicura maggiore precisione nei risultati;
Ø Studia l’effetto di ciascun fattore in presenza di differenti combinazioni di modalità degli altri fattori;
Ø Consente di stimare gli effetti di interazione dei fattori, dando così un modello di risposta “completo” (ad effetti principali e di interazioni). Effetto questo che non può essere stimato con due esperimenti separati ad una sola variabile indipendente.
Per avere una migliore comprensione possiamo riprendere l’esempio fatto da Corbetta (2003). In questo esperimento le variabili indipendenti sono due: “genere dell’attore X” e il “suo comportamento Z”. Si tratta di due variabili indipendenti dicotomiche (X1 maschio, X2 femmina, Z1 comportamento dominante, Z2 comportamento sottomesso) che danno luogo al disegno fattoriale 2x2, il che sta a dire che abbiamo due variabili indipendenti (o fattori), ognuna delle quali assume due valori. Il disegno può essere schematizzato come segue6:
Il requisito aggiuntivo che deve soddisfare questo disegno è che ogni lettera latina deve apparire una ed una sola volta per ciascuna lettera greca (disegno ortogonale).
6 Utilizzando le solite notazioni, lo schema sarebbe:
GS1(R) X1(1)X2(1) O1 GS2(R) X1(1)X2(2) O2 GS3(R) X1(2)X2(1) O3 GS4(R) X1(2)X2(2) O4
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GS1(R) X1Z1 Y1
GS2(R) X1Z2 Y2
GS3(R) X2Z1 Y3
GS4(R) X2Z2 Y4
Lo schema ci dice che i soggetti sono stati randomizzati in quattro gruppi, nel primo gruppo sia la variabile X che la variabile Z assumo no valore 1 (quindi significa attore maschio, con comportamento dominante); nel secondo gruppo abbiamo un attore maschio però con un comportamento sottomesso (X1 e Z2); e così via. Se invece la variabile indipendente Z, assume sse tre valori, (per esempio dominante, sottomesso e neutro) il disegno diventerebbe 2x3. In questo caso, occorrerebbero 6 gruppi (di sei attori, uno per gruppo); se invece, volessimo aggiungere al disegno iniziale 2x2 una terza variabile indipendente (per esempio l’età, pure questa dicotomizzata in “giovane” e “adulto”), il disegno diventerebbe 2x2x2 ed i gruppi risulterebbero otto. Come si vede il disegno sperimentale si complica rapidamente con la crescita del numero delle variabili indipendenti.
Per meglio comprendere, possiamo riprendere l’esempio del prodotto alimentare per animali domestici.
Supponiamo di voler analizzare gli effetti di due fattori: altezza (H) dello scaffale di esposizione (tre livelli); larghezza (L) dell’espositore (due livelli, metà della larghezza e tutta la larghezza). Quindi lo schema viene: (Tabella 27)
Tabella 27- Piano fattoriale completo 2x3
Altezza scaffale (H) Larghezza scaffale (L) Altezza “ginocchia” (x1) Altezza “vita” (X2) Altezza “occhi” (x3) Livello 1 (1/2 di larghezza) L1H1 L1H2 L1H3
Livello 2 (larghezza piena) L2H1 L2H2 L2H3
Fonte:Adattato da De Luca A., (2004)
Nel disegno compaiono tutte le possibili combinazioni LjHi (j = 1, 2; i = 1, 2, 3) se ogni combinazione è replicata ad esempio tre volte, si hanno 2 x 3 x 3 = 18 osservazioni sulla variabile dipendente.
In tal caso è possibile stimare, oltre agli effetti principali dei fattori (altezza e larghezza dello scaffale) anche quelli della loro interazione. Pertanto, con il piano fattoriale completo con replicazione si possono stimare:
Ø Gli effetti principali dei fattori, dove per effetto principale intendiamo il cambiamento medio sulla variabile risposta causato da una modifica del livello di un fattore sperimentale, tenuti costanti i livelli degli altri fattori;
Ø Gli effetti di interazione dei fattori e si ha tale effetto quando uno di questi influenza la variabile risposta in modo differente al variare dei livelli assunti dell’altro fattore.
È da rilevare tuttavia, che se sussistono effetti di interazione tra i fattori in studio, le stime degli effetti principali risultano approssimate se non inutili.
Nel marketing generalmente, i fattori sono in interazione tra loro e si è interessati perciò all’individuazione della migliore combinazione (mix ottimale dei fattori prezzo, prodotto, promozione e distribuzione) che massimizza la funzione di risposta o che minimizza la stessa. Quindi, ritornando all’esempio della catena di supermercati, supponiamo di voler studiare ora l’effetto di una riduzione del prezzo del prodotto (X(2)), con livelli: prezzo normale X1(2) e prezzo ridotto X2(2) e gli effetti della promozione X(1) con livelli X1(1), X2(1), X3(1) sui punti di vendita.
Con il disegno fattoriale si considerano tanti gruppi di negozi quante sono le combinazioni dei fattori, nell’esempio con tre livelli di promozione sui punti di vendita e due livelli di prezzo si
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generano sei combinazioni (stimoli sperimentali): X1(1) X1(2); X1(1) X2(2); X2(1) X1(2); X2(1) X2(2); X3(1) X1(2); X3(1) X2(2).
Se si suddivide casualmente il campione di 90 negozi in sei gruppi di 15 ciascuno e si assegnano casualmente le sei combinazioni o stimoli sperimentali ai sei gruppi, si configura il piano seguente:
GS1(R) X1(1)X1(2) O1 GS2(R) X1(1)X2(2) O2 GS3(R) X2(1)X1(2) O3 GS4(R) X2(1)X2(2) O4 GS5(R) X3(1)X1(2) O5 GS6(R) X3(1)X2(2) O6
questo disegno permette di stimare gli effetti principali o individuali delle due variabili indipendenti sulle vendite del prodotto e di rispondere perciò a quesiti del tipo: il prezzo più basso ha un effetto sulle vendite superiore a quello del prezzo normale? Oppure: l’espositore nella zona di maggior traffico della clientela, ha un effetto maggiore a quello della consueta postazione?
Tra i due fattori considerati intervengono effetti di interazione. Andiamo a veder ora come è possibile stimarli.
Riprendiamo un esempio di cui abbiamo già parlato facendo le opportune modifiche. I fattori che influiscono sul numero di unità vendute di un certo prodotto, sono il prezzo A e il reddito disponibile B, consideriamo:
- prezzo basso A1, prezzo alto A2; - reddito medio B1, reddito alto B2.
Se oltre alle combinazioni A1 B1; A2 B1; A1 B2 andiamo a considerare anche A2 B2 (prezzo alto, reddito alto) si ha un piano fattoriale completo.
Si chiede quindi, al campione di soggetti scelti in modo casuale tra quelli aventi un reddito elevato, il numero di unità da loro presumibilmente acquistate se il prezzo del prodotto fosse alto. Quest’ultima combinazione da luogo al valore medio Ym22, lo schema dell’esperimento è (Tabella 28)
Tabella 28- Piano a due fattori e a due livelli: possibili combinazioni e valori della risposta
COMBINAZIONI LIVELLI DEL FATTORE PREZZO
LIVELLI DEL FATTORE
REDDITO RISPOSTA
1 A1 B1 Ym11
2 A1 B2 Ym12
3 A2 B1 Ym21
4 A2 B2 Ym22
Fonte: Adattato da De Luca A., (2004)
Inoltre nella successiva tabella andiamo a schematizzare i valori assunti dalla variabile risposta per le quattro combinazioni (infatti si tratta di un esperimento fattoriale completo di due fattori a due livelli ciascuno, pertanto il numero di prove sarà 22 = 4). (Tabella 29)
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Tabella 29- Piano fattoriale: numero medio di unità presumibilmente acquistate da quattro campioni di consumatori di un prodotto
Fattore reddito
Fattore prezzo B1 B2 A1 Ym11 Ym12
A2 Ym21 Ym22
Fonte: Adattato da De Luca A., (2004)
L’effetto delle variazioni del fattore A si determinano in parte per B = B1 tramite la seguente espressione:
EAB1 = Ym21 – Ym11 Ed in parte per B = B2 attraverso la
EAB2 = Ym22 – Ym12
L’effetto totale delle variazioni di A (da A1 a A2) si può ottenere tramite la media dei due effetti parziali:
EA = EAB1+EAB2 = (Ym21-Ym11)+(Ym22-Ym12)
2 2
Allo stesso modo con riguardo al fattore B, l’effetto totale della variazione da B1 a B2 si ottiene tramite la media dei due effetti parziali:
EB = EBA1+EBA2 = (Ym12-Ym11)+(Ym22-Ym21)
2 2
Il piano fattoriale consente di stimare l’eventuale effetto di interazione dei fattori A e B.
Questo sussiste se gli effetti EAB1 e EAB2 differiscono tra loro in misura sensibile; in tal caso l’effetto del fattore A (prezzo) è influenzato da B (reddito).Tale interazione è misurata nel seguente modo: IAB = EAB2-EAB1 = EBA2-EBA1 = Ym22-Ym12-Ym21+Ym11
2 2 2
La presenza di interazione tra i due fattori può essere analizzata anche per via grafica.
Questo tipo di analisi serve però solo a fini esplorativi e per un accertamento di massima dell’esistenza dell’effetto studiato. Una verifica statistica rigorosa della significatività degli effetti di interazione, va effettuata invece con l’analisi della varianza. Se noi prendiamo i valori delle tabelle: (Tabella 30)
Tabella 30- Numero medio di unità acquistate di un prodotto, rilevate con un piano a due fattori
Prova a. Prova b.
Fattore reddito
Fattore prezzo B1 B2
A1 53 58
A2 65 70
Fonte:Adattato da De Luca A., (2004)
Fattore reddito
Fattore prezzo B1 B2
A1 53 58
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possono osservare che passando per il fattore B (reddito) dal livello B1 al livello B2, con A1 fisso, le unità vendute aumentano di 5 unità, ma anche in presenza di A2, passando da B1 a B2 gli acquisti incrementano di 5 unità (cioè nella stessa misura, tabella prova a): in questo caso non esiste interazione tra i fattori A e B (al variare dei livelli di un fattore, la variabile risposta non risente della variazione dell’altro fattore).
Nel caso invece riportato dalla seconda tabella (tabella prova b), passando da B1 a B2, in presenza di A1, gli acquisti aumentano di 5 unità, me ntre passando da B1 a B2 per A2 fisso, gli acquisti incrementano di 13 unità. In questo caso sussiste interazione tra A e B, poiché al variare dei livelli di un fattore, la variazione della risposta risulta più che proporzionale alla variazione dei livelli dell’altro fattore.
I due fattori interagiscono se, combinati tra loro, danno un effetto più che additivo, (sinergia) o meno che additivo, cioè in ribasso (inibizione). (Grafico 2)
Grafico 2- Presenza/assenza degli effetti di interazione
Grafico a- Assenza di interazione
40 50 60 70 80 A1 A2 Livelli fattore A Variabile di risposta B1 B2
Grafico b- Interazione di sinergia
40 50 60 70 80 A1 A2 Livelli fattore A Variabile di risposta B1 B2
Grafico c- Interazione di inibizione
40 50 60 70 80 A1 A2 Livello fattore A Variabile di risposta B1 B2
Fonte: Adattato da De Luca A., (2004)
La procedura di calcolo degli effetti di interazione (IAB) si può applicare ad un numero di fattori superiore a due, tuttavia già per tre fattori a due livelli (che danno un piano di 2x2x2 = 8 combinazioni), il calcolo degli effetti in argomento diviene complicato e richiede il ricorso a programmi di calcolo automatico, come l’ANOVA che consentono di verificare anche la significatività statistica degli effetti.
Andiamo a vedere come avviene la casualizzazione del piano fattoriale completo.
Per ridurre o eliminare gli effetti dei fattori sub-sperimentali che possono intervenire in un esperimento (ad esempio cambiamento negli strumento di misurazione…) e che provocano errori sistematici sulla variabile risposta, si ricorre alla casualizzazione, perché controlla o “neutralizza” la fonte degli errori sistematici. Questa procedura consiste in una assegnazione casuale delle combinazioni sperimentali alle unità statistiche. Nell’ambito della casualizzazione degli stimoli sperimentali si distinguono due dimensioni di casualizzazione:
Ø Casualizzazione di assegnazione degli stimoli alle unità sperimentali (l’assegnazione casuale assicura che, tutte le combinazioni dei livelli dei fattori abbiano la stessa probabilità di essere assegnate alle diverse unità interessate alla sperimentazione);
Ø Casualizzazione della sequenza degli stimoli sperimentali (livelli), cioè dell’ordine in cui devono essere somministrati i trattamenti nel caso di replicazioni, su una medesima unità sperimentale.
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La procedura di casualizzazione completa del piano fattoriale è la seguente: Ø Si elencano tutte le n possibili combinazioni dei livelli dei fattori;
Ø Si enumerano le n combinazioni (da 1 a n) costituenti il piano sperimentale;
Ø Si estraggono con la tavola dei numeri casuali n numeri aleatori con la procedura che abbiamo già descritto precedentemente;
Ø Si assegnano le combinazioni dei livelli alle unità sperimentali nell’ordine che discende dalla sequenza dei numeri aleatori.
A volte, per economizzare sui tempi e sui costi dell’esperimento; alcuni livelli di determinati fattori sperimentali si fanno variare, sul piano, meno frequentemente di altri, attuando così una casualizzazione ristretta. Quest’ultima procedura protegge contro fonti di errore ignote o mal note. E’ utile osservare l’applicazione della casualizzazione ad un piano fattoriale; mediante un esempio. Supponiamo di voler valutare gli effetti di 4 diversi spot pubblicitari (SP1, SP2, SP3, SP4) su due tipi di pubblico, spettatori della televisione (TV) e spettatori del cinema (C), per due diverse ampiezze di intervalli temporali (6 mesi e 12 mesi).
Innanzitutto costruiamo un piano fattoriale completo standard, in cui il numero delle possibili combinazioni è dato da 2x2x4 = 16; come mostra la tabella: (Tabella 31)
Tabella 31- Numero di possibili combinazioni in un piano fattoriale completo di tre fattori (ordine standard delle combinazioni)
N. COMBINAZIONI TIPI DI MEDIA DURATA TRATTAMENTO TIPO DI SPOT
1 TV 6 SP1 2 TV 6 SP2 3 TV 6 SP3 4 TV 6 SP4 5 TV 12 SP1 6 TV 12 SP2 7 TV 12 SP3 8 TV 12 SP4 9 C 6 SP1 10 C 6 SP2 11 C 6 SP3 12 C 6 SP4 13 C 12 SP1 14 C 12 SP2 15 C 12 SP3 16 C 12 SP4
Fonte: Adattato da De Luca A., (2004)
Il disegno rappresentato è redatto secondo l’ordine standard: i livelli del primo fattore cambiano lentamente (dopo la prima metà (8) del numero di stimoli), i livelli del secondo fattore variano più velocemente (dopo ¼ del numero di stimoli n°4), quelli dell’ultimo fattore cambiano in ogni prova. La scelta con cui considerare i fattori è arbitraria. Andiamo ora a vedere l’applicazione della procedura di scelta dei mezzi casuali al piano fattoriale:
Ø Si sceglie una pagina della tavo la dei numeri casuali e si lancia uno spillo; Ø Si leggono le 3 cifre successive a destra, ottenendo in numero 1217;
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Ø La prima coppia di cifre (12) individua la riga della tavola, la seconda (17) la colonna; Ø All’incrocio di questa riga e questa colonna si legge un numero di due cifre, tale numero è
71 siccome è maggiore di 16 (numero delle possibili combinazioni del piano sperimentale) il numero è scartato;
Ø Procedendo in senso verticale si accettano solo i numeri minori di 16;
Ø Se si esaurisce la lettura delle cifre si passa al successivo blocco di colonne…; Ø Quando abbiamo trovato i 16 numeri abbiamo quindi: (Tabella 32)
Tabella 32- Sequenza casualizzata delle combinazioni di un piano fattoriale
N. D’ORDINE DELLA
PROVA NEL PIANO CASUALIZZATO
N. COMBINAZIONI NEL PIANO STANDARD
TIPI DI MEDIA DURATA TRATTAMENTO TIPO DI SPOT 1 2 TV 6 SP2 2 10 C 6 SP2 3 3 TV 6 SP3 4 13 C 12 SP1 5 15 C 12 SP3 6 6 TV 12 SP2 7 4 TV 6 SP4 8 16 C 12 SP4 9 11 C 6 SP3 10 5 TV 12 SP1 11 8 TV 12 SP4 12 14 C 12 SP2 13 12 C 6 SP4 14 7 TV 12 SP3 15 9 C 6 SP1 16 1 TV 6 SP1
Fonte: Adattato da De Luca A., (2004) I vantaggi del piano fattoriale completo sono vari:
• Ciascuna combinazione del piano dà informazioni su tutti i fattori (ciò assicura economie sui costi dell’esperimento);
• Il piano consente di valutare gli effetti congiunti (interazione di due o più fattori) sulla variabile risposta. Questo è fondamentale perchè molti fenomeni sociali, non possono essere compresi adeguatame nte senza considerare l’interazione;
• Le conclusioni ricavate con il piano, possono essere utilizzate in situazioni più ampie di quelle considerate nell’esperimento;
• L’adozione di questo piano migliora il livello di competitività dell’impresa, infatti esso consente di stimare, non solo gli effetti principali dei livelli dei fattori che influenzano la qualità soggettiva o customer satisfaction di un prodotto (bene o servizio) ma, soprattutto consente di valutare gli effetti di interazione dei livelli (di vario grado) oltre che individuare i fattori con effetti di scarso rilievo sulla qualità.
L’utilità di questo disegno è purtroppo ridotta dal fatto che, in pratica, non può includere più di 4 o 5 variabili indipendenti. Ciò dipende in primo luogo dal fatto che, più numerose sono le variabili indipendenti e più ardui e complessi sono i problemi teorici e statistici di analisi e interpretazione. In secondo luogo, non appena si superano i due fattori e le due modalità per ciascuno di essi, aumenta a dismisura il numero delle combinazioni possibili e quindi il numero dei gruppi di soggetti da reperire.
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Il maggior problema però, deriva dal fatto che la base logica preclude la generalizzazione dei risultati al di fuori del laboratorio. Perché, modificando una variabile e allo stesso tempo tenere costanti le altre, consente di isolare gli effetti, però al di fuori del laboratorio tutte le altre variabili non sono costanti.