Il piano di ammortamento

Si consideri il caso in cui un capitale C venga dato in prestito al tempo 0 e rimborsato attraverso il pagamento di n rate periodiche posticipate nell’intervallo (0,n) come mostrato sotto

importo -C R ₁ R ₂ R_n−1 R_n

tempo 0 1 2 L n−1 n

Si può trattare di un prestito bilaterale immobiliare quale un mutuo ipotecario acceso per l’acquisto di una prima casa. In tale caso, la durata del prestito potrebbe essere compresa tra 7 e 20 anni (ma pure giungere a 30 anni) mentre il capitale mutuato potrebbe non superare il 75%

del valore di mercato dell’immobile, accertato mediante perizia tecnica (il capitale mutuato può pure essere pari al 100% del valore di un immobile, nel caso il mutuatario sia, per esempio, un gruppo di società particolarmente liquido). Qualora il mutuatario divenga insolvente, la banca mutuante procederà all’esproprio e alla vendita dell’immobile, poiché esso funge da garanzia reale. Quest’ultima si aggiunge alla garanzia generica, insita nella capacità di rimborso del mutuatario, che dipende pure dalla coerenza tra la rateazione e il suo reddito; per esempio, se le rate sono mensili e costanti mentre l’ipoteca di primo grado concerne la prima casa di un insegnante, il loro ammontare non dovrebbe superare il 33% del reddito mensile medio netto dell’insegnante (o una maggiore percentuale in presenza di una garanzia accessoria, come una fideiussione per un certo importo rilasciata da un familiare o da un amico/a, della quale egli/ella risponde con il suo intero patrimonio). Ogni rata R consta di 2 termini: la quota di _t interesse I relativa all’ultimo periodo e la quota di capitale _t C : _t R_t =I_t +C_t per t=1,2,K,n. La distinzione tra interesse e capitale è importante sia a fini fiscali (la quota di interesse versata dal mutuatario potrebbe essere fiscalmente deducibile mentre l’interesse incassato dalla banca mutuante costituisce reddito imponibile) sia nel caso di insolvenza del mutuatario.

OSSERVAZIONE. Per concedere il prestito immobiliare all’insegnante, la banca mutuante ha condotto un’istruttoria di mutuo, volta a determinare la sua capacità di rimborso come pure il valore di mercato dell’immobile, mediante perizia tecnica. La capacità di rimborso dell’insegnante e i rischi dell’operazione bancaria dipendono soprattutto dal suo reddito netto,

dalle sue spese, dalla sua ricchezza, dal suo grado di indebitamento, dalla sua moralità e correttezza. La più recente denuncia dei redditi del richiedente fornisce indicazioni circa il suo reddito corrente e la sua proprietà immobiliare, mentre le sue spese ammontano convenzionalmente al 67% del reddito netto. Dal 1964 la Centrale dei rischi fornisce indicazioni sull’indebitamento dei clienti degli intermediari finanziari vigilati dalla Banca d’Italia. Gli aderenti comunicano ogni mese e in via confidenziale alla Banca d’Italia i nominativi dei clienti e il loro complessivo debito, per cassa e/o di firma, se maggiore o uguale di €30.000, segnalando pure tutte le sofferenze, comprese quelle appena contabilizzate. Circa 40 giorni dopo la fine di ogni mese, la Banca d’Italia rende disponibili agli aderenti i risultati delle elaborazioni. I crediti per cassa e di firma (garanzie personali e impegni di pagamento) concessi a ciascun cliente vengono aggregati in 5 e in 2 categorie di censimento, distinguendo tra credito accordato e utilizzato e evidenziando per differenza ogni eventuale sconfino. Le 5 categorie di censimento dei crediti per cassa sono: rischi autoliquidanti, quali un anticipo su fatture, rischi a scadenza, quali un mutuo o una locazione finanziaria, rischi a revoca, quale un’apertura di credito in conto corrente, finanziamenti a procedure concorsuali, sofferenze. Nel Registro informatico dei protesti, aggiornato dalle Camere di Commercio delle diverse provincie italiane, compaiono i nomi delle persone e delle società protestate per non aver onorato una cambiale o un assegno bancario. Ciascun protesto rimane memorizzato per 5 anni, ma può essere cancellato qualora la cambiale sia pagata entro 12 mesi dalla sua levata.

Avvalendosi magari di una terza parte, si può effettuare la visura degli eventuali protesti a carico di un nominativo.

OSSERVAZIONE. Le garanzie che un mutuatario può offrire alla banca mutuante sono generiche, reali, personali e atipiche. L’ipoteca su beni immobili, il pegno su titoli e il privilegio su impianti e macchinari sono garanzie reali, le quali concernono beni materiali. La fideiussione, l’avallo e il mandato di credito sono garanzie personali, le quali sono rilasciate da terze persone.

Un prestito bilaterale concesso ad un individuo potrebbe pure prendere la meno usuale specie di mutuo chirografario con durata compresa tra 3 e 5 anni e garanzia personale insita in un pagherò cambiario. L’eventuale garanzia accessoria può essere data da un avallo da parte di un familiare o di un amico. La scadenza del pagherò cambiario è di poco successiva alla scadenza del prestito.

Il tempo t sia misurato in anni e l’interesse sia composto al tasso i annuo effettivo. Il caso di tasso fisso di interesse e rate annue è esaminato nel seguito; tuttavia, qualora si sostituisca i con il tasso periodale i_m, lo stesso procedimento matematico è applicabile al caso di m rate periodiche all’anno. Il fine è di redigere il piano di ammortamento, una tabella che comprende 5 colonne, rispettivamente relative al tempo e agli andamenti temporali delle rate R_t, della quota di interesse I_t, della quota di capitale C_t, del debito residuo D_t. Per cogliere tale fine, si utilizzano le 3 seguenti equazioni

−1

= _t

t iD

I

secondo cui l’interesse dovuto per il t-imo anno (periodo) è funzione del debito residuo all’inizio dell’anno (periodo),

t t

t R I

C = −

un’identità contabile, e

C D C

D

D_t = _t−1− _t con ₀=

secondo cui il pagamento della quota di capitale C riduce il debito residuo _t D_t−1. Il piano di ammortamento è compilato progressivamente, utilizzando più volte tali equazioni, partendo dalla prima riga e spostandosi da una riga a quella immediatamente successiva. Per t=1 si ha:

iC iD

I₁= ₀ = , C₁=R₁−I₁=R₁−iC, e quindi D1=D0−C1=C−

(

R1−iC

) ( )

= 1+iC−R1. Ripetendo lo tesso procedimento dapprima per t=2, poi per t=3, etc., si otterrà la seguente tabella quale risultato

tempo t, fine del t-imo anno

rata annua R t

interesse I t

quota capitale C t

debito residuo D t

0 C

1 R ₁ I₁=iC C₁=R₁−iC D1=

( )

1+iC−R1

2 R ₂ K K K

K K K K K

n R _n K K 0

Affinché D_n =0, vale a dire affinché il debito sia completamente rimborsato al tempo n, la sequenza delle rate annue (periodiche) posticipate

{

R₁;R₂;K;Rn

}

deve essere finanziariamente equivalente al capitale mutuato D₀=C. Si può imporre questo vincolo in diverse maniere, tutte equivalenti grazie all’uso dell’interesse composto. La più immediata è detta condizione di chiusura iniziale e richiede che il valore attuale di tutte le rate, calcolato al tempo 0 e al tasso i, sia uguale al capitale mutuato

∑ ( )

=

− =

n +

t

t i t C

R

1

1

Come dimostrato nell’esercizio 19 punto c, quando la condizione di chiusura iniziale è soddisfatta, D_t è il valore attuale di tutte le rate residue per qualsiasi t, con 0≤t≤n. E’ inoltre immediato constatare che Dt =D −

(

C +C +K+Ct

)

2 1

0 . La prima è l’espressione prospettiva più importante del debito residuo D mentre la seconda è la sua espressione retrospettiva più _t semplice.

Gli esercizi 20 e 23 riguardano l’ammortamento alla francese e l’ammortamento a rate variabili, entrambi molto usati nella pratica. L’ammortamento alla francese prevede un tasso fisso di interesse e rate costanti R, di modo che la condizione di chiusura iniziale si semplifica così

C Ra_n|i =

Inoltre, come dimostrato nell’esercizio 20 punto c, le quote di capitale crescono esponenzialmente nel tempo secondo l’equazione C_t =

( )

1+i^t−1C1. L’ammortamento a rate variabili si basa sull’impiego di un tasso variabile di interesse. Secondo l’impostazione più semplice e più comune, gli andamenti temporali delle quote di capitale e del debito residuo sono stabiliti una volta per tutte al momento della stipula

(

^t=0

)

; più precisamente, tutte le n rate sono supposte costanti e determinate in modo che il loro valore attuale al tasso di interesse iniziale sia uguale al capitale C dato in prestito. Il piano di ammortamento viene aggiornato nel tempo; più precisamente, una nuova riga viene completata subito dopo un pagamento, quando si rileva il nuovo tasso di interesse e si calcolano la quota di interesse e la rata per il successivo periodo.

L’esercizio 21 concerne invece l’ammortamento all’italiana, meno frequentemente usato nella pratica. Esso prevede un tasso fisso di interesse e quote di capitale costanti C , di modo che la condizione di chiusura elementare si semplifica così

∑

=

=

=

n

t

t nC C

C

1

Inoltre, come dimostrato al punto c, le quote di interesse e le rate decrescono linearmente nel tempo, le prime secondo l’equazione I_t =iC

(

n−t+¹

)

.

OSSERVAZIONE. Si consideri un mutuo immobiliare, concesso a un impiegato, il cui piano di ammortamento alla francese preveda il pagamento di m rate periodiche costanti R

all’anno per m

n anni; per esempio, rate mensili costanti R per 15 anni

(

^{m=12 e n=180}

)

^{. Si}

ha allora Ra_180|i12 =C, dove il tasso contrattuale di interesse j₁₂, un tasso annuo nominale convertibile m=12 volte all’anno, potrebbe essere pari al tasso swap a =15

m

n anni

prevalente al momento della stipula del mutuo immobiliare, aumentato del 3%.

Se, coeteris paribus, le rate mensili sono variabili, il tasso annuo nominale convertibile mensilmente utilizzato per determinare la t+1-ima quota di interesse mensile I_t+1, in scadenza alla fine del t+1-imo mese (per esempio, del tredicesimo mese), potrebbe essere pari al tasso Euribor a 1 mese registratosi nell’ultimo giorno lavorativo del t-imo mese (per esempio, del dodicesimo mese), sempre aumentato del 3%.

Alcune informazioni sui tassi swap e sui tassi Euribor sono date nella sezione 5.

OSSERVAZIONE. Nell’ultimo riquadro di questa sezione si propone un esempio realistico di come commissioni e spese influiscano sul tasso di interesse applicato da una banca mutuante.

Nel documento Appunti di Matematica e tecnica finanziaria (pagine 55-59)