Tassi equivalenti di interesse composto

Siano t il tempo misurato in anni e 0 il corrente istante. Si supponga che un capitale C sia prestato per uno spazio di tempo

[ ]

^0;t e che l’interesse sia composto m volte all’anno al tasso periodale

m

i_m = j^m , essendo il tasso contrattuale j_m un tasso annuo nominale convertibile

m volte all’anno. Si consideri il caso di un conto corrente; sebbene il tasso contrattuale j_m sia un tasso annuo, l’interesse è composto a un minore tasso periodale

m

i_m = j^m ; m=2

(

^m=4

)

implica che l’interesse sia composto semestralmente (trimestralmente) al tasso semestrale (trimestrale)

Si indichi con i il tasso annuo effettivo di interesse composto; esso è equivalente a i_m, in quanto genera lo stesso interesse (e quindi lo stesso montante) nel corso di un anno (e quindi a qualsiasi scadenza) senza composizioni intermedie. Poiché secondo la convenzione esponenziale il montante FV di un capitale C è dopo un anno

(

m

)

^m

con m composizioni per anno, come pure

( )

ⁱ

C FV = 1+

con un’unica composizione per anno, si ottiene la seguente formula di equivalenza tra tassi nominali e effettivi di interesse

(

ⁱ

)

ⁱ

essendo Ci l’interesse complessivamente maturato nel corso del primo anno.

Esempio 9. Un conto corrente è remunerato al tasso annuo nominale del 10% convertibile semestralmente. Si ricavino a) il tasso annuo effettivo di interesse; b) l’interesse maturato nel corso del primo anno su un deposito di €1.000. Si supponga che la composizione dell’interesse divenga trimestrale senza alcun cambiamento del tasso annuo effettivo di interesse. Si ricavi c) il nuovo tasso nominale di interesse.

Svolgimento. dell’interesse sull’interesse, e che la successione

{ }

jm decresce al crescere di m, avendo come limite inferiore il tasso annuo nominale convertibile istantaneamente introdotto più sotto.

Pertanto, qualunque tasso annuo nominale è minore del corrispondente tasso annuo effettivo.

Consideriano ora il caso ideale in cui il tasso nominale sia convertibile istantaneamente e l’interesse sia quindi composto istantaneamente. Si fa riferimento a questo caso, per esempio, quando si devono apprezzare alcuni strumenti derivati. Si ha

( )

ⁱ _{i i}

dove δ è un tasso annuo nominale convertibile istantaneamente (o composto continuamente) e e^δt

è il corrispondente fattore di montante nell’intervallo di tempo

[ ]

^{0;t .}

Esempio 10. All’inizio di un certo anno €25.000 sono collocati in un ideale conto corrente, dove l’interesse è composto continuamente. Il montante dopo 2,5 anni importa €26.917,40. Si trovino

a) il tasso annuo effettivo di interesse;

b) il tasso annuo nominale convertibile istantaneamente.

Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni. Siano inoltre C=25.000 €; fattore di montante che dipende solo dalla durata t dell’operazione finanziaria, invece che dalle sue date iniziale e finale (per esempio, le date di decorrenza e di scadenza di un prestito interbancario). Si consideri il seguente diagramma

0 t t+τ

e si ricordi che f t( +τ) è il montante al tempo t+τ di un investimento di 1 nell’intervallo

[

^0;t+τ

]

^{mentre f t f( ) ( )τ} è il montante al tempo t+τ di un investimento di 1 nell’intervallo

[ ]

0;t seguito da un reinvestimento dell’incasso nell’intervallo

[

^{t t; +τ}

]

^.

Definizione. Il fattore di montante f t( ) è scindibile se

( ) ( ) ( )

f t f τ = f t+τ per qualsiasi ,tτ ≥0 vale a dire se il montante non è influenzato dalla politica di investimento.

Sia i un tasso periodico di interesse semplice (o composto). Si ha

•

(

¹+^it

)(

¹+ⁱτ

)

= +^{1 i t}

(

+ +τ

) ( )( )

^{it i}τ ≠ +^{1 i t}

(

+τ

)

nel regime dell’interesse semplice

•

( ) ( )

^{1+i t 1+iτ = 1}

( )

^{+i t+τ} nel regime dell’interesse composto

Pertanto, il fattore di montante f t( ) 1= +it e il regime dell’interesse semplice non sono scindibili mentre il fattore di montante ^{f t( )= +}

( )

^{1 i t} e il regime dell’interesse composto sono scindibili.

Proposizione. Un fattore di montante derivabile f t( ) è scindibile sse (se e solo se) esso è tale che ^{f t( )= +}

( )

^{1 i t}, vale a dire sse l’interesse è composto.

DIMOSTRAZIONE. Si ha lnf

( )

t +ln f

( )

τ =lnf

(

t+τ

)

e quindi l’equazione funzionale di Cauchy g

( ) ( ) ( )

t +gτ =g t+τ in virtù della sostituzione ^g

( )

^{t =lnf}

( )

^{t . Per t=}τ ⁼⁰ l’equazione di Cauchy diviene ^g

( ) ( ) ( )

^{0 +g 0 =g 0 e quindi g}

( )

^{0 =0}. Derivando l’equazione di Cauchy rispetto a t si ottiene

( ) ( )

dt t dg dt

t

dg = +τ di modo che

( )

_=δ

dt t

dg . Pertanto, si ha

( )

^{t t}

g =δ , in quanto solo una linea retta con intercetta nulla ha derivata costante e è tale che

( )

^{0 =0}

g . Infine, ^lnf

( ) ( )

^{t =g t =δt} equivale a ^f

( )

^{t =eδt}, vale a dire a un fattore di montante nel regime dell’interesse composto continuamente al tasso nominale δ convertibile istantaneamente.

Se f t( ) è scindibile, montanti (e valori attuali) possono essere calcolati in diverse maniere.

Per esempio, poiché la definizione data più sopra può essere così riscritta

( )

( ) ( )

f t f t f

τ τ

= + per qualsiasi ,tτ ≥0

il montante di un investimento di 1 nell’intervallo

[ ]

^0;t può essere pure calcolato come il valore attuale al tempo t del montante di un investimento di 1 nell’intervallo

[

^0;t+τ

]

^{. Questa}

proprietà matematica risulta utile nel trattare le rendite; essa implica pure il principio di

equivalenza finanziaria delle rendite, secondo cui il confronto di più rendite sulla base dello stesso tasso di interesse i conduce alle stessa graduatoria, qualunque sia l’istante di valutazione.

Nel caso di un investimento in obbligazioni, i tassi annui di rendimento a scadenza e di rendimento effettivo sono coerenti tra loro solamente sotto l’ipotesi di scindibilità.

Esempio 11. Un investitore compra delle obbligazioni senza cedola per un valore nominale di €5.000 e con scadenza dopo 12 mesi. Il tasso di rendimento a scadenza è il 3% annuo.

L’investitore rivende le obbligazioni 8 mesi più tardi, quando il tasso di rendimento a scadenza è ancora il 3% annuo. Facendo astrazione da commissioni e tasse, si determini il tasso di rendimento effettivo dell’operazione monetaria, qualora il tasso di rendimento a scadenza sia espresso nel regime

a) dell’interesse semplice, come avviene nel caso dei buoni del Tesoro italiani;

b) dello sconto commerciale, come avviene nel caso dei buoni del Tesoro britannici e statunitensi;

c) dell’interesse composto.

Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni. Un’obbligazione senza cedola quota sempre a sconto; il prezzo di mercato è dunque minore del valore nominale e pari al suo valore attuale calcolato per mezzo del tasso di rendimento a scadenza.

a) L’appropriato fattore di sconto è

dalla quale si trae r =2,970%; si tratta di un tasso di interesse semplice. Poichè l’interesse semplice non è scindibile e l’investimento viene interrotto prima della scadenza, il tasso di rendimento effettivo dell’operazione monetaria differisce dal tasso di rendimento a scadenza, costante per ipotesi.

b) L’appropriato fattore di sconto è 1−0,03t, dove 3% è il tasso annuo di rendimento a scadenza e t è la durata residua delle obbligazioni. Pertanto, il prezzo di acquisto è

(

^{1 0,03*1}

)

^4.850

annuo effettivo incognito soddisfa l’equazione

12

dalla quale si trae d =3,030%; si tratta di un tasso di sconto commerciale. Poichè lo sconto commerciale non è scindibile e l’investimento viene interrotto prima della scadenza, il tasso di rendimento effettivo dell’operazione monetaria differisce dal tasso di rendimento a scadenza, costante per ipotesi.

c) L’appropriato fattore di sconto è 1,03^−t, dove 3% è il tasso annuo di rendimento a scadenza e annuo effettivo incognito soddisfa l’equazione

(

¹

)

¹²⁸

dalla quale si trae r=3,000%; si tratta di un tasso di interesse composto. Poichè l’interesse composto è scindibile, il tasso di rendimento effettivo dell’operazione monetaria coincide con il tasso di rendimento a scadenza, costante per ipotesi.

Fattori di montante in 2 variabili e esclusione dell’arbitraggio

Siano t il tempo misurato in opportune unità e 0 il corrente istante. Si indichi con f( t0; ) un fattore di montante che dipende dalle date iniziale e finale dell’operazione finanziaria (per esempio, le date di decorrenza e di scadenza di un prestito interbancario).

Definizione. Il fattore di montante in 2 variabili ^f(^t;^t+τ) è scindibile se

vale a dire se il montante non è influenzato dalla politica di investimento.

Proposizione. Un fattore di montante differenziabile f(t;t+τ), funzione di 2 variabili, è

composto continuamente al tasso nominale δ(t) convertibile istantaneamente. La seguente

dimostrazione è alternativa a quella originale del matematico italiano Francesco Paolo Cantelli, 1875-1966, riportata in Cantelli (1914).

DIMOSTRAZIONE. Ponendo T =t+τ , si ha lnf(0;t)+lnf(t;T) =lnf(0;T) e quindi

fattore di montante nel regime dell’interesse composto continuamente. La scindibiltà dell’interesse composto può essere dimostrata nel più generale caso di misurabilità dei fattori di montanti in 2 variabili.

Se l’andamento temporale di δ(t) è noto, ci si trova in condizioni di certezza, in quanto sono pure note le strutture a termine dei tassi di interesse, sia la corrente sia tutte le future. Più precisamente,

Si consideri un ideale mercato finanziario nel quale

• non ci sono elementi di attrito come commissioni, forbici denaro-lettera, margini, vincoli sulle vendite allo scoperto e tasse;

• ogni operatore massimizza il proprio profitto e non è in grado di esercitare alcuna influenza sui prezzi dei titoli;

• qualsiasi ammontare di denaro può essere preso o dato in prestito;

• non si verificano insolvenze;

• i tassi di interesse, presenti e futuri, sono certi.

Si rammenta che l’arbitraggio è un insieme di simultanee operazioni finanziarie che non richiede alcun esborso (netto) e procura o può procurare un qualche incasso. Si dimostra che l’arbitraggio è escluso, sse

• esiste un’unica struttura a termine dei tassi di interesse;

• i valori attuali e futuri sono operatori lineari negli ammontari di denaro;

• i fattori di montante in 2 variabili sono scindibili.

Esercizio 8. Un certo conto corrente bancario è remunerato al tasso nominale di interesse del

a) 3,8% annuo convertibile trimestralmente;

b) 4% annuo convertibile trimestralmente;

c) 3,8% annuo convertibile semestralmente.

Si trovino i corrispondenti tassi annui effettivi di interesse.

Soluzione. Si consideri la formula

m m

m

i j 



 



 +

=

+ 1

1

dove j_m è un tasso annuo nominale di interesse convertibile m volte all’anno e i è il corrispondente tasso annuo effettivo di interesse.

a) Sostituendo m=4 e j_m = j₄ =3,8% nella formula più sopra si ottiene i=3,854%. b) Sostituendo m=4 e j_m = j₄ =4% nella formula più sopra si ottiene i=4,060%. c) Sostituendo m=2 e j_m = j₂ =3,8% nella formula più sopra si ottiene i=3,836%.

Esercizio 9. All’inizio di un certo anno €5.000 sono posti in un ideale conto corrente remunerato al tasso nominale annuo del 4% convertibile trimestralmente.

a) Quanto tempo occorre affinché il montante importi €5.500?

b) Qual è l’interesse composto?

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni.

a) Poiché dall’equazione ^5.500=5.000 1, 01

( )

^{4 t} si trae

giorni 143 e anni 2 anni 395 01 2

1 ln 4

1 5000

500

ln 5  = =



 



=  ,

, t .

approssimando per eccesso, il periodo incognito è uguale a 2 anni e almeno 143 giorni.

b) L’interesse composto ammonta a I =FV −C=5.500−5.000=500 €.

Esercizio 10. All’inizio di un certo anno €100.000 sono collocati in un conto corrente bancario che genera interesse al tasso nominale del 5% annuo convertibile semestralmente.

L’aliquota della ritenuta fiscale sull’interesse è del 20%.

a) Tenendo conto dell’onere fiscale, si determini il tasso (lordo) equivalente nel caso di composizione annua dell’interesse.

b) Si supponga che né il tasso di interesse, né l’aliquota fiscale cambino nel tempo. Si trovi il massimo prelievo costante che può essere effettuato alla fine di ogni semestre senza che il conto corrente si esaurisca.

c) Supponendo che tale prelievo avvenga regolarmente, si determini il montante netto dopo 3 anni e 3 mesi (suggerimento: si usino la convenzione lineare e dunque la capitalizzazione mista).

Soluzione.

a) Il tasso di interesse incognito i soddisfa l’equazione

(

^{1 0,2}

)

¹

(

^{1 0,2}

)

2 05 , 1 0

2

− +

 =



 



 + − i

secondo la quale il fattore di montante annuo netto è lo stesso in entrambi i casi. La soluzione dell’equazione è i=5,05%.

b) Il massimo prelievo semestrale possibile è pari all’interesse semestrale netto

(

^{1 0,2}

)

^{100.000*2% 2.000 €}

2 05 , 0000 .

100 − = =

essendo il tasso semestrale netto di interesse del 2%. Qualsiasi importo maggiore svuoterebbe prima o poi il conto corrente.

c) Il montante 3 mesi dopo ogni prelievo, e quindi pure alla data richiesta, è €

000 . 180 101

02 90 , 0 1 000 .

100 =



 



 +

Tuttavia, l’interesse trimestrale netto, pari a €1.000, non è ancora stato composto.

OSSERVAZIONE. Secondo il DPR 600 del 29/9/1973 (art. 26, comma 2) e i successivi aggiornamenti, ivi compreso il decreto legge 323 del 20/6/1996 (art. 7, comma 6), la ritenuta fiscale sugli interessi dei depositi e conti correnti bancari o postali è operata alla fonte con aliquota del 27% dalle banche o dalle Poste italiane. Essa è a titolo di imposta per le persone

fisiche, a titolo di acconto per gli imprenditori individuali e le società per azioni; per un elenco più completo si rimanda a Mignarri (2012). Tale distinzione vale pure per i pronti contro termine e i certificati di deposito introdotti più sopra. Secondo il decreto legge 138 del 13/8/2011 (art. 2, comma 6) l’aliquota della ritenuta fiscale testé menzionata è ridotta al 20%.

Esercizio 11. Un capitale di €200.000 è prestato da martedì 1 marzo a mercoledì 1 giugno al tasso di interesse semplice del 2% annuo. Il montante netto è nuovamente prestato da mercoledì 1 giugno al tasso di interesse semplice del 2,2% annuo. Vige la regola effettivi/365 per il calcolo dei giorni, mentre l’interesse è tassato alla fonte con aliquota fiscale del 20%.

Tenendo conto dell’onere fiscale, si trovino

a) la durata e la data di scadenza del secondo prestito alle quali corrisponde un montante netto di €202.007,24;

b) l’interesse netto delle 2 operazioni monetarie in combinazione.

Soluzione. Il tempo sia misurato in giorni e t rappresenti la durata incognita del secondo prestito. Siano C =200.000 e FV₂=202.007,24.

a) Poiché il primo prestito dura effettivamente 30+30+31+1=92 giorni, il montante netto alla sua scadenza vale

( )

^{20080658 €}

Il montante netto alla scadenza del secondo prestito soddisfa l’equazione

( )

_

dalla quale si ricava

giorni data di scadenza è lunedì 3 ottobre.

b) L’interesse netto delle 2 operazioni monetarie in combinazione vale FV₂−C=2.007,24 €.

Esercizio 12. All’inizio di un certo anno, un capitale di €150.000 è prestato per 24 mesi al tasso di interesse composto del 4% annuo. Alla scadenza, il montante è prestato per altri 12 mesi al tasso di interesse composto del 3,75% annuo. Si trovino

a) il montante e l’interesse delle 2 operazioni finanziarie in combinazione;

b) il tasso annuo effettivo di rendimento delle 2 operazioni finanziarie in combinazione.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e r rappresenti il tasso annuo effettivo di rendimento incognito. SiaC=150.000.

a) Il montante dopo 24 mesi è

(

^{1 0,04}

)

^{2 16224000 €}

1 C . ,

FV = + =

mentre il montante dopo 36 mesi è

(

^{1 0,0375}

)

^{16832400 €}

1

2 FV . ,

FV = + =

Pertanto, l’interesse delle 2 operazioni finanziarie in combinazione è FV₂−C=18.324,00 € b) Il tasso annuo effettivo di rendimento r soddisfa l’equazione FV2 =C

( )

1 r+ ³, dalla quale si

trae

3,917%

3 1

1 2 − =



 



= C r FV

Si tenga presente che il tasso annuo effettivo di rendimento r soddisfa pure l’equazione

(

¹+^0,04

) (

²¹+^0,0375

) ( )

= ¹+^r3 che esprime l’equivalenza tra i fattori di montante.

Esercizio 13. Il tasso di interesse di un conto corrente bancario è il 2,75% annuo effettivo.

L’aliquota della ritenuta fiscale sull’interesse è del 20%. Il tasso annuo di inflazione è l’1,188%. Supponendo che né il tasso di interesse, né l’aliquota fiscale, né il tasso di inflazione cambino nel tempo, si determinino a) il tasso reale di interesse annuo dopo le imposte; b) il montante reale di €10.000 dopo 7 anni.

Soluzione.

a) Poiché i montanti netti nominale e reale di €1 dopo 1 anno sono

(

^{1 0,2}

)

^1,022

0275 , 0

1+ − = e 1,01

1,01188 022 ,

1 =

il tasso reale di interesse annuo dopo le imposte vale 1,01 1 1%− = .

b) Il montante reale dopo 7 anni è 10.000*1,01 10.721,35 € 01188

, 1

022 , 000 1 .

10 ⁷

7

=

 =



 



 .

Nel documento Appunti di Matematica e tecnica finanziaria (pagine 35-46)