3. Valutazione degli investimenti reali
3.2. Il valore attuale netto (VAN)
Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia la data di valutazione. Si consideri la rappresentazione di un progetto di investimento reale secondo la Matematica finanziaria; si tratta di una sequenza (o successione finita) di esborsi (annui) previsti xt− (con xt− <0) e incassi (annui) previsti xt+ (con xt+ >0), come mostrato nel seguente diagramma.
x0 x1 x2 xn−1 xn
0 1 2 L n−1 n
Il valore attuale netto al tempo 0 di un progetto di investimento reale è
∑ ( )
=
+ −
= n
t
t
t r
x PV
0
0 1
dove r è il tasso di rendimento (composto) richiesto, su base annua, se non diversamente specificato. Il contesto è semideterministico, in quanto tutte le poste sono semicerte; sebbene siano rappresentate come se fossero certe, non sono tali. Come spiegato in Cuthbertson-Nitzsche (2001, pag. 82), si può compiere un’analisi di sensitività, per valutare l’effetto dell’incertezza sul valore attuale netto PV0, il quale può essere calcolato, per esempio, 3 volte, con riferimento a uno scenario pessimistico, intermedio e ottimistico. Tale approccio può essere seguito pure per stimare il tasso interno di rendimento, l’indice di redditività e il tempo di ripagamento del progetto di investimento.
Si accerta facilmente che il VAN è un operatore lineare: se i 2 progetti di investimento A, con valore attuale netto PV0;A, e B, con valore attuale netto PV0;B, sono intrapresi insieme, il risultante valore attuale netto è PV0;A+B =PV0;A+PV0;B; inoltre, raddoppiando tutte le poste del progetto di investimento A si ha PV0;2A=2PV0;A.
Nel prosieguo
• considereremo soprattutto investimenti in senso stretto, tutti gli esborsi dei quali si verificano prima di tutti gli incassi;
• assumeremo il punto di vista di un alto dirigente di una società per azioni invece che di un normale azionista non coinvolto nella gestione della società. Gli alti dirigenti raccolgono capitale, proprio o di debito, per fare fronte agli esborsi iniziali e utilizzano i successivi incassi per remunerare i finanziatori, ossia gli azionisti e i creditori.
Come mostrato nell’esercizio 29, il tasso di rendimento richiesto r ha un duplice significato, essendo sia un costo del capitale sia un tasso di reinvestimento. Ogni società per azioni deve remunerare i propri finanziatori a un tasso annuo detto costo del capitale, il quale dipende dalla natura degli affari, dalla passata prestazione finanziaria e dalla corrente struttura finanziaria. Se xt è un flusso di cassa per i finanziatori (per gli azionisti), r è un costo del capitale totale (del capitale proprio), vale a dire il tasso di rendimento richiesto dai finanziatori (dagli azionisti). Detto tasso può essere stimato attraverso un’analisi trasversale di alcune società per azioni (quotate), che siano confrontabili in termini di natura degli affari (settori industriali), di tecnologia e di clienti, come mostrato compiutamente da Benninga-Sarig (1997, cap. 9). Un’idea di massima può essere evinta dalla Tabella 1, dove compaiono alcune stime empiriche del costo del capitale proprio, ottenute con riferimento a un’impresa idealmente priva di debito, il settore industriale e la dimensione dell’impresa essendo le 2 determinanti.
▲ Tasso annuo di interesse privo di rischio 4%
▲ Settori industriali a basso rischio (società elettriche e telefoniche, banche, compagnie di assicurazione)
6-7%
▲ Settori industriali a medio rischio (maturi, con una moderata dipendenza dal ciclo economico)
8-9%
▲ Settori industriali a elevato rischio (tecnologicamente avanzati) 10-12%
▲ Piccole imprese in un settore industriale maturo 13-15%
▲ Piccole imprese (anche appena costituite) in un settore industriale innovativo
15-20%
Tabella 1 – Stime empiriche del costo annuo del capitale proprio per un’impresa idealmente priva di debito (fonte: Massari, M., Zanetti, L., Valutazione finanziaria, Milano, McGraw Hill, 2004, cap. 5)
OSSERVAZIONE. Qualora il progetto di investimento reale sia intrapreso da una società di nuova costituzione e xt sia un flusso di cassa per i finanziatori (per gli azionisti), il valore attuale netto PV0 è pari al valore di mercato del capitale totale (del capitale proprio) della società. Qualora il progetto di investimento reale sia intrapreso da una società già esistente, tali valori sono incrementali.
Come ribadito da Luenberger (1998, pag. 25), “il criterio del valore attuale netto è piuttosto convincente e in effetti è generalmente ritenuto la migliore singola misura della bontà di un investimento.” Più precisamente,
• se si esamina la fattibilità di un unico progetto di investimento, l’appropriata regola di decisione è “intraprendi il progetto, se il suo valore attuale netto PV0 al tasso di rendimento richiesto r è positivo”;
• se si deve scegliere un solo progetto tra 2 o più progetti alternativi di investimento, l’appropriata regola di decisione è “intraprendi il progetto con il più elevato valore attuale netto PV0>0 al tasso di rendimento richiesto r”. Nell’effettuare tale selezione si possono prendere in considerazione alternative che differiscano per taglia e/o durata, supponendo tacitamente che il divario sia colmato da progetti integrativi di investimento aventi valore attuale nullo, perché effettuati al tasso di rendimento richiesto. Tuttavia, ciò potrebbe non avere senso; un esempio in merito è quello delle attività ripetibili, trattato in Luenberger (1998, pag. 29). Poiché il rendimento è composto e ogni progetto di investimento è una rendita immediata, massimizzando il valore attuale netto PV0 si massimizza pure il valore futuro netto
( ) ( )
nn
t
t t n
n x r PV r
FV =
∑
+ = +=
− 1
1 0
0
in virtù della scindibilità; il primo è calcolato alla data di valutazione, il secondo all’orizzonte temporale.
• Si considerino più progetti di investimento indipendenti, ciascuno caratterizzato da un solo esborso seguito da più incassi; si supponga di dover selezionare uno o più di tali progetti sotto un vincolo di bilancio. Sebbene il fine sia quello di trovare la combinazione di progetti con massimo valore attuale netto, la graduatoria dei progetti di investimento deve basarsi sull’indice di redditività, come mostrato nell’esercizio 32.
A nostro avviso, sebbene sia opportuno attenersi a tali regole di decisione, il calcolo del tasso interno di rendimento e del tempo di ripagamento di ciascun progetto di investimento potrebbe fornire qualche altra utile informazione.
Esercizio 29. Si consideri la seguente sequenza di flussi di cassa per i finanziatori (per gli azionisti), dove il tempo è misurato in anni e x (t+ x ) indica un incasso (un esborso). t−
0−
x x 1− x 2+ x 3+
0 1 2 3 tempo
Sia r il tasso annuo di rendimento richiesto dai finanziatori (dagli azionisti). Con riferimento al procedimento di calcolo del valore attuale netto di questo progetto di investimento, si mostri che il tasso di rendimento richiesto rappresenta un costo del capitale come pure un tasso di reinvestimento.
Soluzione. Il valore attuale netto al tempo 0 e il montante netto al tempo 3 valgono
( ) ( )
2 3( )
32 1 1
0
0 =x− +x− 1+r − +x+ 1+r − +x+ 1+r − PV
( )
+ = −( )
+ + −( )
+ + +( )
+ + += 0 3 0 3 1 2 2 3
3 PV 1 r x 1 r x 1 r x 1 r x
FV
FV ha lo stesso segno di 3 PV e è proporzionale a 0 PV . Pertanto, 0 FV , un montante di 3 esborsi e incassi, può sostituire PV come indicatore finanziario. Quando, nella seconda 0 equazione, un esborso (incasso) viene trasferito avanti nel tempo, r rappresenta un costo del capitale (tasso di reinvestimento). Questa proprietà vale per una qualsiasi sequenza di poste, a condizione che il rendimento sia composto.
Esercizio 30. Una società immobiliare può
a) continuare a affittare un complesso di appartamenti di sua proprietà per altri 5 anni, incassando € 0,6 milioni all’anno al netto delle spese. Presumibilmente, tra 5 anni il complesso immobiliare potrà essere venduto a € 11 milioni.
b) vendere il complesso immobiliare adesso, in cambio di € 10 milioni, e effettuare un investimento alternativo al tasso annuo di rendimento dell’8%.
Si dica quale sia l’alternativa migliore, qualora non si tenga conto di ammortamento, inflazione, e tasse.
Soluzione. Si osservi che quanto pagato in passato per il complesso immobiliare è un costo affondato, non pertinente ai fini della valutazione. Poiché i valori attuali delle 2 alternative sono (il tempo è misurato in anni e gli importi sono espressi in 106 €)
9,882 08
, 1
* 11 6
,
0 5|8%+ 5=
= a −
PVA e PVB =10
la seconda alternativa (vendere adesso) è meglio della prima (vendere tra 5 anni).
OSSERVAZIONE. Come mostrato nell’esercizio 29, il criterio del valore futuro netto è equivalente al criterio del valore attuale netto in virtù della scindibilità. Poiché i valori futuri netti dopo 5 anni delle 2 alternative sono (il tempo è misurato in anni e gli importi sono espressi in 106 €)
520 14 11 6
, 0 08 ,
1 5 s5|8% ,
PV
FVA = A = + = e FVB =PVB1,085 =10*1,085 =14,693 si ottiene ancora la precedente graduatoria, la seconda alternativa (vendere adesso e reinvestire) essendo migliore della prima (reinvestire gli incassi e vendere tra 5 anni).
Esercizio 31. Un uomo d’affari sta prendendo in considerazione l’acquisto di alcune attrezzature per ufficio del valore di €80.000. L’acquisto può avvenire mediante
a) pagamento in contanti, con un conseguente sconto dell’8%;
b) pagamento a rate: a un iniziale versamento di €16.000 fanno seguito 4 rate semestrali posticipate, ciascuna di €16.000.
Si determinino le condizioni di acquisto più favorevoli, nell’ipotesi (convenzionale) che l’uomo d’affari possa dare e prendere in prestito denaro al tasso del 6,09% annuo effettivo.
Soluzione. L’equivalente tasso semestrale è i2 = 1,0609−1=3%. Le condizioni a) sono meno onerose, in quanto i valori attuali delle 2 alternative sono
€ 600 .
=73
PVA e PVB =16.000+16.000a4|3% =75.473,57 €
Esercizio 32. I dirigenti di una società per azioni potrebbero investire al massimo €500.000 in uno o più tra 5 progetti in senso stretto. In ciascun caso, a un iniziale esborso fa seguito una sequenza di incassi, come riportato nella tabella più sotto.
progetto esborso (€) valore attuale incassi (€)
1 100.000 190.000
2 100.000 180.000
3 200.000 300.000
4 250.000 500.000
5 250.000 400.000
Ogni progetto di investimento può essere realizzato solo in piena scala. Avvalendosi di un metodo euristico, si determinino la combinazione ottima degli investimenti e il suo valore attuale netto.
Soluzione. I simboli VAN e IR indichino rispettivamente un valore attuale netto e un indice di redditività, vale a dire un rapporto benefici-costi. Poiché
esborso incassi
attuale valore
VAN= − e
esborso incassi attuale valore IR =
con VAN≥0⇔IR ≥1, la precedente tabella può essere così estesa
progetto esborso (€) valore attuale incassi (€)
VAN (€) IR
1 100.000 190.000 90.000 1,9
2 100.000 180.000 80.000 1,8
3 200.000 300.000 100.000 1,5
4 250.000 500.000 250.000 2,0
5 250.000 400.000 150.000 1,6
I progetti 4, 1 e 2 posseggono i maggiori indici di redditività IR e richiedono un esborso totale di €450.000, coerentemente con il vincolo di bilancio di €500.000. Ai progetti 4, 1 e 2 insieme corrisponde il massimo VAN, pari a €420.000. Nel caso di problemi più articolati, il metodo euristico appena impiegato restituisce una soluzione approssimata, spesso attendibile. Per determinare con certezza la soluzione ottima bisogna risolvere un problema di ottimizzazione zero-uno (si veda Luenberger, 1998, cap. 5).