Principi finanziari: accumulazione e sconto di ammontari di denaro

1. Calcolo finanziario di base

1.1. Principi finanziari: accumulazione e sconto di ammontari di denaro

Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Si supponga che un ammontare di denaro C sia prestato per uno spazio di tempo

[ ]

^0;t e sia ripagato mediante un unico ammontare. Poiché l’esercizio del credito è attività remunerata, il creditore riceverà dal debitore un più elevato valore futuro o montante FV =C+I in cambio del prestito del capitale C nello spazio di tempo

[ ]

0;t . La differenza I è l’interesse maturato, ossia il compenso per il creditore, il quale è, coeteris paribus, tanto maggiore quanto più distante è la scadenza t. Poiché si ha

( )

^con

( )

⁰ =¹^e ⁽⁾>⁰^per^ogni ≥⁰

= t

dt t f df

t Cf FV

dove ^f

( )

^t ^{è un}fattore di montante, l’accumulazione di denaro (o capitalizzazione) è un processo nel quale l’interesse si accumula al passare del tempo

capitale C FV =C+I =Cf(t)

tempo 0 tempo t dall’avvio

Per il momento si prescinde sia dal rischio di tasso sia dal rischio di credito. In altre parole, non si tiene conto del fatto che le previsioni insite nell’iniziale struttura a termine del mercato monetario possano non trovare riscontro nel successivo andamento temporale dei diversi tassi di interesse, quali l’Eonia, gli Euribor e i tassi swap introdotti più avanti; inoltre, si suppone che il debitore assolva sicuramente tutti i propri obblighi contrattuali. Infine, non si considerano esplicitamente giorni di differimento, commissioni e tasse, di cui si tiene invece conto in alcuni esercizi. Pertanto, la teoria viene sviluppata in un contesto deterministico, essendo certi per ipotesi sia gli ammontari di denaro, sia i tassi di interesse, presenti e futuri.

Si supponga che un credito con valore nominale C e scadenza t sia venduto al tempo 0 a un minore valore attuale PV =C−D, essendo la differenza D lo sconto. Il compratore diviene creditore; pertanto, riceverà un più elevato montante C, comprendente un compenso per il prestito PV nello spazio di tempo

[ ]

0;t . Poiché si ha

( )

= ^e^dunque =

( )

^con

( )

⁰ =¹^e ⁽⁾>⁰^per^ognit≥⁰ dt

t f df

t f PV C C

t PVf

dove ^f

( )

^t ⁻¹ è un fattore di sconto coniugato, lo sconto di denaro (o attualizzazione) è un procedimento inverso al precedente, secondo cui un ammontare esigibile a una successiva data è ridotto a un minore ammontare esigibile a una precedente data, quest’ultimo essendo, coeteris paribus, tanto minore quanto più distante è la scadenza t del credito.

−1

−

=C D Cf(t)

PV valore nominale C

tempo 0 scadenza: tempo t

Il montante e il valore attuale sono 2 operatori lineari negli ammontari di denaro. Pertanto, se 2 ammontari di denaro C₁ e C₂ sono prestati per degli spazi di tempo

[ ]

^{t ;}1^t e

[ ]

^{t ;}2 ^t

rispettivamente, il loro montante al tempo t sarà FV =C1f

(

t−t1

)

+C2f

(

t−t2

)

. Inoltre, se due crediti con valori nominali C e ₁ C sono esigibili ai tempi ₂ t e ₁ t rispettivamente, il loro ₂ valore attuale al tempo 0 sarà

( )

1 2

( )

2 ¹

1 − + −

=C f t C f t

PV .

Per effettuare i calcoli finanziari in esame, occorre stabilire una regola di accumulazione o di sconto di modo che il fattore di montante ^f

( )

^t e il fattore di sconto coniugato ^f

( )

^t ⁻¹

assumano una specificazione analitica. Siano i un tasso annuo di interesse e d un tasso annuo di sconto commerciale; nel prosieguo esamineremo le 3 regole usate nella comune pratica, dette pure regimi finanziari:

• l’ interesse semplice, per cui ^f

( ) (

^t ⁼ ¹⁺^it

)

• l’ interesse composto, per cui ^f

( ) ( )

^t = 1+ⁱ ^t;

• lo sconto commerciale, per cui ^f

( )

^t ⁻¹⁼

(

¹⁻^dt

)

In linea di principio, le regole dell’interesse semplice e dello sconto commerciale dovrebbero essere applicate solamente alle operazioni di breve termine, le quali durano meno di 18 mesi.

La regola dell’interesse composto dovrebbe invece essere applicata alle operazioni di medio e lungo termine; le prime durano tra i 18 mesi e i 5 anni mentre le seconde durano più di 5 anni.

Ove non diversamente specificato, si assumerà in tutta la sezione che ogni mese abbia 30 giorni, coerentemente con la regola di calcolo dei giorni 30/360 europea introdotta nell’esempio 1 insieme alle regole di calcolo dei giorni effettivi/360 e effettivi/365. Pertanto, come mostrato nell’esempio 2, uno spazio di tempo di 1 anno, 6 mesi e 18 giorni è espresso come

55 , 360 1

18 12

1+ 6 + =

t anni; il calcolo inverso è svolto negli esercizi 1 e 9.

Interesse semplice

Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia il corrente istante, e i sia il tasso annuo di interesse semplice, vale a dire l’interesse annuo su un’unità di capitale. Si supponga che un capitale C sia prestato per uno spazio di tempo

[ ]

^0;t . Poiché l’interesse semplice si accumula linearmente al passare del tempo secondo l’equazione

Cit tempo

[ ]

0;t . Pertanto, il montante di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per il fattore di montante lineare ^f

( ) (

^t = 1+^it

)

Esempio 1. €100.000 sono prestati da mercoledì 16 settembre a mercoledì 16 dicembre al tasso annuo dell’1%; si trovi l’interesse semplice applicando la regola di calcolo dei giorni: a) effettivi/360 o effettivi/365; b) 30/360 europea.

Le 5 regole di calcolo dei giorni sono spiegate in Cherubini-Della Lunga (2002, pag. 146); il primo (l’ultimo) giorno di un prestito è sempre escluso (incluso).

Svolgimento. spostata al 30. Si ha quindi

€

OSSERVAZIONE. A un divisore pari a 360 corrisponde l’anno commerciale mentre a un divisore pari a 365 corrisponde l’anno civile.

Esempio 2. €25.000 sono prestati per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuo del 6%. Si trovino l’interesse semplice e il montante nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

Esempio 3. All’inizio di un certo anno e dopo 9 mesi, €5.000 e €2.500 sono rispettivamente prestati al tasso annuo del 4%. Si trovino l’interesse e il montante dopo altri 12 mesi.

Svolgimento. La linearità dell’interesse semplice rispetto al tempo comporta che gli interessi delle 2 operazioni possano essere sommati. Inoltre, anche i montanti delle 2 operazioni possono essere sommati, in quanto il montante è un operatore lineare negli ammontari di denaro. Si ha dunque

€

OSSERVAZIONE. A causa della linearità dell’interesse semplice, il suo ammontare semestrale Ci0,5 è metà dell’ammontare annuo Ci , il suo ammontare trimestrale Ci0,25 è un quarto dell’ammontare annuo Ci , etc. Le stesse proporzioni valgono per i tassi periodali di interesse semplice, vale a dire gli interessi periodici su un’unità di capitale: il tasso semestrale è

5 , 0

i , il tasso trimestrale è i0,25, etc.

Esempio 4. €50.000 sono prestati per 1 anno e 3 mesi a interesse semplice. Il montante dopo 3 mesi ammonta a €50.500. Si trovino a) il montante annuo; b) il montante finale; c) il tasso trimestrale di interesse; d) il tasso annuo di interesse i.

Svolgimento. Poiché l’interesse trimestrale è 50.500−50.000=500 €,

Interesse composto

Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia il corrente istante, e i sia il tasso annuo effettivo di interesse composto. Si supponga che un capitale C sia prestato per uno spazio di tempo

[ ]

^0;t ^.

Qualora l’interesse sia composto annualmente secondo la convenzione esponenziale, il montante FV al tempo t di un capitale pari a C vale

( )

¹ ^t

FV =C +i

di modo che l’importo ^C

( )

¹⁺ⁱ ^t verrà restituito al tempo t in cambio del prestito di C nello spazio di tempo

[ ]

0;t . Pertanto, il montante di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per il fattore di montante esponenziale ^f

( ) ( )

^t ⁼ ¹⁺ⁱ^t. L’interesse composto I al tempo t vale

( )

¹ ^t

( )

¹ ^t ¹

I =FV − =C C +i − =C C +i − 

Per i=5%, l’interesse composto su un’unità di capitale I =1,05^t−1 importa

05000 , 0 1 05 ,

1 − = dopo 1 anno

10250 , 0 1 1025 ,

1 − = dopo 2 anni

15763 , 0 1 1025 ,

1 − = dopo 3 anni

...

62889 , 0 1 6289 ,

1 − = dopo 10 anni

DIMOSTRAZIONE. Quando l’interesse è composto annualmente, esso viene aggiunto al capitale alla fine di ciascun anno. Pertanto, alla fine del primo anno l’interesse maturato Ci viene aggiunto al capitale, che diviene ^FV ⁼^C⁺^Ci⁼^C

( )

¹⁺ⁱ . Inoltre, alla fine del secondo anno l’interesse maturato ^C

( )

¹⁺ⁱⁱ⁼^Ci⁺^Ci²^{, dove} ^{Ci è}² interesse sull’interesse, viene aggiunto al capitale, che diviene ^FV ⁼^C

( ) ( )

¹⁺ⁱ ⁺^C¹⁺ⁱⁱ⁼^C

( )

¹⁺ⁱ ². Si comprende immediatamente (e si dimostra mediante induzione matematica) che ciascuna composizione annua dell’interesse equivale a una moltiplicazione del capitale per il fattore di montante

( )

¹⁺ⁱ , da cui si ottiene ^FV ⁼^C

( )

¹⁺ⁱ^t alla fine del t-imo anno. Sebbene il tempo t sia intero nel nostro ragionamento, esso può assumere qualsiasi valore reale non negativo in forza della convenzione esponenziale.

Esempio 5. €25.000 sono prestati per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuo del 6%, come nell’esempio 2. Si trovino il montante e l’interesse composto nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

( )

¹ ⁱ ²⁵^.⁰⁰⁰^*¹^,⁰⁶¹^,⁵⁵ ²⁷^.³⁶³^,⁰²^€

FV = + ^t = =

( )

¹ ⁱ ^C ²⁷^.³⁶³^,⁰² ²⁵^.⁰⁰⁰ ²^.³⁶³^,⁰²^€

C C FV

I= − = + ^t − = − =

Si considerino i montanti a interesse semplice e composto allo stesso tasso annuo i; i corrispondenti fattori di montante sono allora

(

1+^it

)

( )

1+ⁱ^t. Come si osserva nel seguente diagramma, dove i=100%, l’uno cresce linearmente mentre l’altro cresce esponenzialmente (geometricamente) con

(

1+^it

) ( )

> 1+ⁱ^t per ogni 0<t<1 e

(

1+^it

) ( )

< 1+ⁱ ^t per ogni t>1 a causa del pagamento dell’interesse sull’interesse.

1,0000 2,0000 3,0000 4,0000

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

interesse semplice interesse composto

Pertanto, per qualsiasi dato tasso annuo di interesse i e qualsiasi scadenza distante più di 1 anno, il montante a interesse composto è maggiore di quello a interesse semplice. Per esempio, si ha

( )

¹+ⁱ ²=¹+²ⁱ+ⁱ²>¹+²ⁱ per t=2, la differenza i essendo l’ interesse sull’interesse. ²

Qualora il tempo t non sia intero, si può pure fare uso della convenzione lineare e quindi della capitalizzazione mista, secondo la quale il montante FV al tempo t di un capitale pari a C vale

( ) (

¹ ⁿ ¹

)

FV =C +i +iδ

dove t^{= +}n δ con n intero e 0^{≤ ≤}δ 1. Se, per esempio, n=3 anni e δ =0, 25 anni=3 mesi, il fattore di montante vale

( ) (

¹⁺ⁱ ³ ¹⁺ⁱ^{0, 25}

)

e discende dall’applicazione dell’interesse composto per un periodo di 3 anni seguita dall’applicazione dell’interesse semplice per un periodo di 3 mesi. Poiché la funzione esponenziale

( )

¹⁺ⁱ ^t è convessa, si ha

( ) (

¹⁺ⁱ ⁿ ¹⁺ⁱ^δ

) ( )

^{≥ +}¹ ⁱ ⁿ⁺^δ

ovvero per qualunque durata intera (δ =0 e t=n) si ottiene lo stesso montante con entrambe le convenzioni; per qualunque durata non intera la capitalizzazione mista fornisce un montante maggiore. I grafici dei due fattori di montante per i=100% sono riportati nel diagramma sotto

1,0000 2,0000 3,0000 4,0000

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

esponenziale lineare

Esempio 6. All’inizio di un certo anno e dopo 9 mesi, €5.000 e €2.500 sono rispettivamente prestati al tasso annuo del 4%, come nell’esempio 3. Si trovino il montante e l’interesse composto dopo altri 12 mesi, facendo uso della convenzione lineare e della capitalizzazione mista.

Svolgimento. I montanti delle 2 operazioni possono essere sommati, in quanto il montante è un operatore lineare negli ammontari di denaro. Si ha dunque

( )

^€^7.956,75

12 1 9 12 1 3 12

1 9

1 =



 



 +



 



 + +



 



 + +

=C i i C i i

FV _A _B

(

)

=^7.956,75−⁷^.⁵⁰⁰=⁴⁵⁶^,⁷⁵^€

−

=FV C_A C_B I

Obbligazioni (senza cedola)

Se un prestito prende la fattispecie di un titolo, viene diviso in obbligazioni di modo che può essere contemporaneamente concesso da più obbligazionisti/creditori, con conseguente

frazionamento del credito e del rischio di credito. Poiché le obbligazioni sono dei titoli, ogni obbligazionista/creditore ha la facoltà di rivendere il proprio credito successivamente. In cambio del credito, il debitore, vale a dire l’emittente delle obbligazioni, si impegna legalmente ad effettuare degli opportuni ripagamenti alle scadenze contrattuali. Il rischio di credito riguarda una perdita finanziaria per gli obbligazionisti dovuta all’inadempienza dell’emittente delle obbligazioni in merito a dei ripagamenti contrattuali.

Le obbligazioni sono emesse, tra gli altri, dai tesori degli stati sovrani, dagli enti sovranazionali (per esempio, la World Bank, la European Investment Bank e l’Asian Development Bank, fondate nel 1944, 1958 e 1966 da un certo numero di paesi membri, con sede centrale a Washington, nel Lussemburgo e a Manila rispettivamente), dagli enti locali (per esempio, le città), dalle banche e dalle società quotate. Inoltre, come spiegato nella sezione 4.4, le obbligazioni possono essere pure emesse a fronte di un’operazione di cartolarizzazione.

Come invece spiegato nella sezione 4.3, il merito di credito degli emittenti di obbligazioni è determinato dalle agenzie internazionali di valutazione del credito. Se il merito di credito dello Stato è opportuno, i titoli di Stato possono essere ritenuti privi di rischio di credito; le obbligazioni societarie incorporano invece del rischio di credito in un qualche grado.

Naturalmente, un prestito obbligazionario risulta meno personalizzabile e elastico di un prestito bilaterale concesso da una sola banca a un solo prestatario. Tuttavia, se il prestatario è una grande e importante impresa, il prestito può essere concesso da un sindacato di banche internazionali.

Esistono diversi tipi di obbligazioni, fra cui le obbligazioni senza cedola, le obbligazioni a tasso fisso e le obbligazioni a tasso variabile, introdotte più sotto, nella sezione 4 e nella sezione 5 rispettivamente. Le obbligazioni a tasso fisso o variabile pagano delle cedole annue, semestrali o trimestrali a titolo di interesse sul capitale preso a prestito; inoltre, rimborsano di solito il capitale preso a prestito in un’unica soluzione al momento della loro scadenza. Alcune obbligazioni a tasso fisso possono essere rimborsate anticipatamente dall’emittente, a partire da una prestabilita data e a un prestabilito prezzo, che di solito comprende un premio.

Poiché un’obbligazione senza cedola non stacca alcuna cedola, essa quota sempre a sconto;

il suo prezzo è dunque minore del valore nominale e pari al valore attuale di quest’ultimo, calcolato mediante un tasso annuo di rendimento a scadenza. Giorni di differimento, commissioni e tasse sono considerati esplicitamente negli esercizi 4, 5 e 6, i quali concernono operazioni su BOT o CTZ, le obbligazioni senza cedola emesse dal Tesoro italiano.

Esempio 7. Un risparmiatore sottoscriva oggi, all’emissione, delle obbligazioni senza cedola con valore nominale di €10.000 e durata di 6 mesi. Il prezzo percentuale di sottoscrizione sia 98,058. Si trovino

a) l’esborso del risparmiatore;

b) il tasso annuo di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse semplice;

c) il tasso annuo di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.

Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni, ogni mese abbia 30 giorni e y indichi il tasso annuo incognito.

b) Risolvendo l’equazione

yt commerciale, vale a dire lo sconto annuo su un valore nominale pari a 1. Si supponga che un credito C esigibile al tempo t sia venduto a una banca al tempo 0. Poiché lo sconto commerciale cresce linearmente col tempo secondo l’equazione

Cdt D= il valore attuale PV

(

^dt

)

è l’ammontare pagato dalla banca al tempo 0. Pertanto, il valore attuale di C al tempo 0 è pari al valore nominale C moltiplicato per il fattore di sconto

( ) (

^dt

)

t f1 = 1−

; affinché PV sia positivo,

si deve avere t d1

< .

Esempio 8. Un neopensionato cede il proprio esercizio commerciale. L’acquirente emette, tra l’altro, una cambiale pagherò avente il neopensionato quale beneficiario; si tratta di una promessa di pagamento con valore nominale di €70.000 e con scadenza a 4 mesi e 15 giorni da adesso. Per disporre immediatamente del proprio credito, il neopensionato fa scontare il pagherò dalla propria banca, la quale applica un tasso annuo dell’8%. Si trovi l’ammontare incassato dal neopensionato nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

OSSERVAZIONE. La cessione del credito è salvo buon fine; in altre parole, se l’emittente della cambiale pagherò fosse insolvente e la cambiale pagherò rimanesse quindi insoluta, il beneficiario, ossia il neopensionato, dovrebbe rifondere la banca. Per questa ragione, la banca si premunirà al momento dello sconto, accertando se si possa concedere al neopensionato un fido con cifra di castelletto non minore del valore nominale del credito. Lo sconto di pagherò è operazione bancaria oggi poco frequente mentre lo sconto di cambiali tratte è caduto in disuso.

Nel documento Appunti di Matematica e tecnica finanziaria (pagine 15-24)