Sui tassi di interesse a trascurabile rischio di credito

5. Struttura a termine dei tassi di interesse

5.1. Sui tassi di interesse a trascurabile rischio di credito

Qualora il merito di credito dei titoli di un certo Stato sia AAA o AA secondo le agenzie Fitch e Standard & Poor’s, oppure Aaa o Aa secondo l’agenzia Moody’s, esistono più tassi di interesse, nei quali, in condizioni operative ordinarie, è insito un bassissimo rischio di credito, ossia di insolvenza del debitore

• i tassi (impliciti nei prezzi) dei titoli di tale Stato;

• i tassi interbancari;

• i tassi swap, i tassi impliciti in certi contratti futures e i tassi di riporto.

Alcuni dei valori assunti dagli Euribor e dai tassi Irs in un particolare giorno sono riportati nelle 2 seguenti tabelle.

tasso lettera (%) 3,159 3,209 3,251 3,610 3,805 3,879 3,928 3,963 3,978

durata 1s 2s 3s 1m 2m 3m 6m 9m 1a

Tabella 7 – Tassi Euribor rilevati il 27/11/2008 (Copia parziale da: il Sole 24 Ore, venerdì 28/11/2008)

Gli Euro Interbank Offered Rate sono tassi annui di interesse semplice proposti nell’area € e applicabili, con 2 giorni lavorativi di differimento e con la regola effettivi/360 per il calcolo dei giorni, a prestiti interbancari in € senza garanzia; essi sono riservati di solito a controparti con soddisfacente merito di credito (almeno AA o Aa, in linea di principio), prendono la forma di deposito e hanno durata di 1, 2, o 3 settimane, o da 1 a 12 mesi. Più precisamente, ogni Euribor è una media troncata, calcolata da Reuters, delle condizioni proposte da un campione di più di 40 banche di riferimento. La maggior parte di tali operazioni bancarie ha durata non superiore a un mese.

tasso denaro (%) 3,33 3,14 3,23 3,35 3,46 3,94 4,05 3,64 3,31 tasso lettera (%) 3,35 3,16 3,25 3,37 3,48 3,96 4,07 3,66 3,33

durata 1a 2a 3a 4a 5a 10a 20a 30a 50a

Tabella 8 – Tassi IRS su € contro Euribor a 6 mesi rilevati il 27/11/2008 (Copia parziale da: il Sole 24 Ore, venerdì 28/11/2008)

Un tasso annuo Irs (interest rate swap) concerne un contratto derivato stipulabile tra 2 controparti e relativo a scambi di rate semestrali posticipate per 1 o più anni; le 2 sequenze di rate semestrali posticipate, dette gambe dagli operatori, sono determinate in funzione di un capitale convenzionale, che non è scambiato. La data di decorrenza segue di 2 giorni lavorativi la data di rilevazione. La gamba variabile è costituita da rate semestrali variabili, ciascuna delle quali dipende dal capitale convenzionale e dal tasso variabile, lo Euribor a 6 mesi avente regolamento nel primo giorno del rispettivo semestre di maturazione. La gamba fissa è costituita da rate semestrali costanti, ciascuna delle quali è pari al capitale convenzionale moltiplicato per metà del tasso fisso, il tasso Irs prevalente al momento della stipula del contratto. Più precisamente, si applica il tasso Irs denaro (lettera), se le rate semestrali costanti sono versate (incassate) dall’intermediario finanziario proponente; le differenze lettera-denaro remunerano l’attività degli intermediari finanziari.

Per risolvere problemi quali la misurazione del premio per il rischio di credito insito in un prestito obbligazionario e la valutazione dei contratti derivati, bisogna disporre di una struttura a termine di tassi di interesse omogenei e a trascurabile rischio di credito. Secondo il linguaggio matematico, una struttura a termine è una sequenza (o successione finita) di termini

{ }

it_;T , con t assegnato e T variabile, dove il generico termine i_t_;_T è un tasso annuo di interesse a pronti, concernente un prestito con inizio al tempo t, durata T−t e rimborso globale alla scadenza al tempo T; a tali tassi annui devono inoltre corrispondere dei fattori di montante

(

^T ^t

)

i_t_T − + _;

1 e/o

(

1+it_;T

)

^T⁻^t crescenti al crescere della durata T −t. Ove non diversamente specificato, si farà astrazione in tutta la sezione da giorni di differimento, commissioni e tasse, assumendo pure che ogni mese abbia 30 giorni, coerentemente con la regola di calcolo dei giorni 30/360 europea.

Se si fa riferimento a un’opportuna valuta e ai tassi annui di interesse menzionati più sopra, si possono rilevare ogni giorno 2 tipi di struttura a termine a trascurabile rischio di credito, l’una relativa al mercato monetario, l’altra relativa al mercato dei titoli di Stato. La prima (seconda) indica, per ogni durata, il tasso a pronti al quale un intermediario finanziario con soddisfacente merito di credito (lo Stato con merito di credito AAA o AA) potrebbe prendere denaro in prestito in quel giorno, concretamente (in linea di principio) per le durate più brevi (lunghe), quali quelle minori di 1 anno. I procedimenti di rilevazione sono comunque approssimati; il più semplice è quello del laccio dello scarpone (bootstrap). Il suo impiego è più agevole nel caso del mercato monetario, considerato più sotto; nel caso dei titoli di Stato esso richiede la scelta di un paniere di obbligazioni (si vedano gli esercizi 49 e 50).

OSSERVAZIONE. Sia y_t_;_T il tasso di rendimento a scadenza al tempo t di un titolo di Stato che scade al tempo T. La curva dei rendimenti

{ }

yt_;T differisce dalla struttura a termine dei tassi di interesse

{ }

it_;T , a meno di prendere in considerazione solo obbligazioni senza cedola.

Se, come avviene di solito nella prassi operativa, i contratti derivati sono valutati per mezzo dei tassi del mercato monetario, si determineranno dei prezzi teorici che escludono ogni opportunità di arbitraggio sia per gli operatori bancari con soddisfacente merito di credito sia per gli altri operatori, in quanto per questi ultimi valgono condizioni peggiori (minore remunerazione dei depositi e maggiore onerosità dei prestiti).

Il mercato interbancario funziona grazie a un circuito telematico che collega tra loro gli operatori abilitati. Per ciascuna durata minore dell’anno, ogni giorno vengono rilevate le quotazioni del tasso denaro (bid rate), applicato ai depositi, e del tasso lettera (ask rate), applicato ai prestiti; nella prassi operativa si fa riferimento soprattutto al secondo, che è maggiore del primo. Poiché la probabilità di insolvenza di ogni banca è maggiore della probabilità di insolvenza dello Stato, ciascun tasso interbancario lettera è, in teoria ma non sempre in pratica, maggiore del corrispondente tasso di interesse a pronti (implicito nei prezzi) dei titoli di Stato. La struttura a termine dei tassi interbancari di interesse, vale a dire del mercato monetario, può essere ricavata, per le durate maggiori di 1 anno, utilizzando i tassi swap, come mostrato più sotto.

OSSERVAZIONE. In realtà, come spiegato in Hull (2012, cap. 6), il tratto intermedio della struttura a termine del mercato monetario, con durate comprese, per esempio, tra 3 e 15 mesi, potrebbe essere rilevato avvalendosi di informazioni desunte dai contratti futures su tassi di interesse a breve termine (per esempio, lo Euribor a 3 mesi), perché tali contratti derivati sono molto liquidi. Il rischio di credito insito in un contratto futures è nullo, in virtù del ruolo svolto dalla cassa di compensazione (e garanzia) di una borsa futures attraverso il meccanismo dei margini.

OSSERVAZIONE. Per semplicità, le precedenti considerazioni prescindono dalla possibilità

• di stipulare dei contratti swap aventi l’Eonia (Euro OverNight Index Average) quale tasso variabile;

• di finanziarsi attraverso a un contratto di riporto (detto pure contratto pronti contro termine), ossia mediante una vendita a pronti e un contemporaneo riacquisto a termine delle stesse obbligazioni, usualmente a un prezzo a termine maggiore del prezzo a pronti, come nell’esercizio 2. Il tasso di interesse implicito nel contratto, detto tasso di riporto, è usualmente di poco maggiore del corrispondente tasso (implicito nei prezzi) dei titoli di Stato, in quanto il rischio di credito insito nel contratto è molto basso.

Sulla rilevazione della struttura a termine dei tassi Euribor Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione; i₀_;_T e i~₀_;_T

indichino un Euribor e un tasso swap, rilevati al tempo 0 e concernenti un’operazione di durata T, con scadenza al tempo T. Ogni Euribor noto (incognito) i₀_;_T con T ≤1 (con T >1) sia un tasso annuo di interesse composto secondo la convenzione lineare (esponenziale).

Facendo riferimento ai dati presenti nelle Tabelle 7 e 8 e avvalendosi solo dei tassi swap, sulla falsariga di Hull (2012, cap. 7), si presenta ora il procedimento di misurazione della struttura termine dei tassi Euribor per le durate maggiori di 1 anno. Esso prevede 3 passi

1) per ciascuna durata disponibile, si ricava il corrispondente tasso swap, pari alla media dei tassi IRS denaro e lettera. Si ottiene, per esempio,

% mancante mediante interpolazione lineare, introdotta più sotto nell’esercizio 47 punto b. Si ottiene, per esempio,

3) facendo riferimento a degli interest rate swaps stipulabili al tempo 0, con durata dapprima di 1,5 anni, poi di 2 anni, quindi di 2,5 anni, etc., si calcola un Euribor incognito alla volta. Si tenga presente che, al momento dello stipula di ogni interest rate swap, i valori attuali delle 2 gambe, calcolati per mezzo degli Euribor nel caso in esame, devono essere uguali. Se si finge che il capitale convenzionale sia scambiato alla scadenza del contratto derivato, la gamba variabile (la gamba fissa) è assimilabile a un’obbligazione a tasso variabile (un’obbligazione a tasso fisso) e, mutatis mutandis, può essere valutata come nell’esercizio 54 punto a (nell’esercizio 47 punto c). Si ha, per esempio,

( ) ( ) ( )

(

¹^,⁰¹⁹⁶⁴ ¹^,03978

)

^101,6225

(

)

6225 ,

1 ⁻¹ + ⁻¹ + + ₀_;₁_,₅ ⁻¹^,⁵

= i

da cui si trae i₀_;₁_,₅=3,260% come pure

( ) ( ) ( ) ( )

(

⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺

)

⁺

⁽

⁺

⁾

⁼

= 1 0,5⁻ 1 ⁻ 1 ⁻ 1 ⁻ 1001 ⁻ 2

~ 100

100 i⁰^;² i₀_;₀_,₅ ¹ i₀_;₁ ¹ i₀_;₁_,₅ ¹^,⁵ i₀_;₂ ² i₀_;₂ ²

(

¹^,⁰¹⁹⁶⁴ ¹^,03978 ¹^,03260

)

^101,575

⁽

⁾

575 ,

1 ⁻¹ + ⁻¹+ ⁻¹^,⁵ + + ₀_;₂⁻²

= i

da cui si trae i₀_;₂=3,164%.

Tassi di interesse a termine

Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Un tasso di interesse a termine

f₀_;t_; pattuito oggi è un tasso stabilito oggi con riguardo a uno spazio di tempo

[ ]

^t;^T ^che

comincia nell’istante futuro t. Si applica al tempo T a un capitale C prestato nello spazio di tempo

[ ]

^t;^T e rimborsato mediante un unico ammontare.

I tassi di interesse a termine sono impliciti in una struttura a termine di tassi di interesse a pronti

{ }

i₀;t . Affinché l’arbitraggio sia escluso, lo stesso rendimento deve essere associato a tutte le politiche di investimento sicure che sono attuabili oggi e hanno lo stesso termine T con

0< <t T . Si ha pertanto

(

ⁱ ^t

) (

(

^T ^t

) )

i _T = + _t + _t_T −

+ ₀_; 1 ₀_; 1 ₀_;_;

Svolgimento. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Si ha denaro-lettera e le commissioni di intermediazione, le equazioni che escludono l’arbitraggio forniscono una ragionevole approssimazione nel caso del montante lordo di un grande capitale, in quanto gli elementi di attrito costituiscono un piccola frazione dell’esborso totale.

OSSERVAZIONE. Qualora l’evoluzione temporale dei tassi di interesse a pronti fosse nota, ogni tasso di interesse a termine f₀_;_t_;_T, stabilito al tempo 0, sarebbe pari al futuro tasso di interesse a pronti i_t_;_T, stabilito al tempo t e vigente nello spazio di tempo

[ ]

^t;^T . In tali

condizioni di certezza, le equazioni che escludono l’arbitraggio definirebbero la nozione di scindibilità per un fattore di montante in 2 variabili. Come dimostrato in precedenza, un fattore di montante in 2 variabili è scindibile, sse (se e solo se) vige il regime dell’interesse composto;

si ha, per esempio

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) (

2 2;3

)

; 2 0

; 1 1

; 0 3

; 2 2

; 1 1

; 3 0

;

0 1 1 1 1 1 1 1

1+i = +i +i +i = +i +i = +i +i

Tuttavia, secondo l’evidenza empirica i tassi di interesse a termine f₀_;_t_;_T sarebbero pari ai valori medi dei corrispondenti tassi a pronti futuri i_t_;_T, aumentati di un modesto premio per la liquidità (quindi tanto maggiore, quanto maggiore è la durata T −t del prestito). La conoscenza incompleta circa l’evoluzione temporale dei tassi di interesse a pronti comporta appunto che la condizione di esclusione dell’arbitraggio possa essere pure formulata nel regime dell’interesse semplice.

Apprezzamento di obbligazioni a tasso variabile

Il tempo sia misurato in anni e t sia l’istante di valutazione, con 0≤t<1. Si consideri un prestito diviso in obbligazioni a tasso variabile, con n rimanenti cedole annue e con valore facciale percentuale pari a 100; il tasso cedolare sia indicizzato allo Euribor a 1 anno. Come mostrato dal seguente diagramma, ogni obbligazione stacca una cedola 100i_t₋₁_;_t alla fine dell’anno t, la quale diviene nota al tempo t−1, in quanto i_t₋₁_;_t è lo Euribor pattuito in t−1 per prestiti interbancari senza garanzia di durata annuale. Ogni obbligazione restituisce inoltre il valore facciale 100 alla scadenza n senza pagare alcun premio di rimborso.

;

100i0 100i₁_;₂ 100i_n₋₂_;_n₋₁ 100

(

1+in₋₁_;n

)

0 t 1 2 L n−1 n

Proposizione. Il prezzo dell’obbligazione in esame risulta pari a 100 all’emissione e subito dopo lo stacco di ogni cedola.

DIMOSTRAZIONE. Poniamoci al tempo n−1; dopo un anno, alla scadenza dell’obbligazione, verrà pagato l’importo 100i_n₋₁_;_n+100, il cui valore attuale al tempo n−1 calcolato al tasso i_n₋₁_;_nè proprio 100. Poniamoci ora al tempo n−2; dopo un anno maturerà la penultima cedola, pari a 100i_n₋₂_;_n₋₁ mentre il prezzo dell’obbligazione sarà 100. Il valore

attuale al tempo n−2 dell’importo 100i_n₋₂_;_n₋₁+100 calcolato al tasso i_n₋₂_;_n₋₁è nuovamente 100. Ripetendo n−2 volte questo ragionamento si può raggiungere il tempo 0.

Il corso tel quel al tempo t delle obbligazioni a tasso variabile è

(

0;1

)(

)

OSSERVAZIONE. Qualora le cedole delle obbligazioni a tasso variabile siano semestrali (trimestrali) e quindi staccate m=2

(

^m⁼⁴

)

volte all’anno, la precedente proposizione è ancora vera, purché i tassi di interesse adoperati siano semestrali (trimestrali). Sia

t m1 0≤ < ; la precedente formula diviene

1 particolare giorno siano come segue (per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento)

tasso (%) 3,00 3,10 3,30 3,40 3,50 3,50 3,80

durata 1 mese 3 mesi 6 mesi 1 anno 2 anni 3 anni 5 anni

a) Si trovi il fattore di montante per un deposito interbancario con durata di 6 mesi, facendo astrazione dallo scarto denaro-lettera.

b) Si ricorra all’interpolazione lineare per trovare un fattore di sconto approssimato da applicare a un importo in scadenza dopo 9 mesi.

c) Si consideri un’obbligazione societaria con merito di credito AA, avente cedole annue, tasso cedolare del 4% e scadenza dopo 3 anni. Il suo corso ex cedola sia 100,70. Si trovi il margine di credito.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i₀_;_t il tasso di interesse a pronti per operazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t.

a) Poiché i₀_;₀_,₅=3,3%, il fattore di montante richiesto è 1+i₀_;₀_,₅0,5=1,01650.

b) Per interpolare linearmente i tassi di interesse a pronti disponibili, si associa a ciascuna coppia (durata; tasso) della tabella più sopra un punto del piano

( )

t;i₀_;t e si collegano mediante segmenti i punti corrispondenti a coppie contigue; il risultante grafico è lineare a tratti. Dato che la scadenza 9 mesi è compresa tra le scadenze 6 mesi e 1 anno, il tasso a pronti incognito i₀_;₀_,₇₅ è una funzione di i₀_;₀_,₅=0,033 e i₀_;₁=0,034. Più specificatamente, esso giace sulla linea retta

t , ,

t i i

t valeadire 0032 0002

5 , 0 1

5 , 0 033 , 0 034 , 0

033 , 0

;

0 = +

−

= −

−

che passa per i punti

(

⁰^,⁵^;⁰^,⁰³³

)

che non possiede una soluzione analitica. Un valore approssimato dell’unico margine di credito è sp=0,25%.

Esercizio 48. Alcuni tassi annui di interesse a pronti per prestiti interbancari in un particolare giorno siano come segue (per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento)

tasso (%) 3,00 3,10 3,30 3,40 3,50 3,50 3,80

durata 1 mese 3 mesi 6 mesi 1 anno 2 anni 3 anni 5 anni

a) Si trovino gli equivalenti tassi annui nominali composti continuamente per durate di 6 mesi, 1 anno e 2 anni.

b) Si usi il tasso annuo nominale composto continuamente e si trovi il fattore di montante per un deposito interbancario con durata di 6 mesi, facendo astrazione dallo scarto denaro-lettera.

c) Si ricorra all’interpolazione esponenziale per trovare un fattore di sconto approssimato da applicare a un importo in scadenza dopo 9 mesi.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i₀_;_t il tasso di interesse a pronti per operazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t sotto l’ipotesi di composizione continua dell’interesse. differenza con il punto a) del precedente esercizio.

c) Per interpolare esponenzialmente i tassi di interesse a pronti disponibili, si considera una tabella di tassi annui nominali composti continuamente, si associa a ciascuna coppia (durata; tasso) della tabella un punto del piano

( )

t;i₀_;t e si collegano mediante segmenti i

Inoltre, il prezzo secco di un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare del 10%, e 18 mesi alla scadenza sia 101,40. Tutte le obbligazioni sono titoli di Stato emessi dal Tesoro; per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento.

Si trovino i tassi di interesse a pronti (annui effettivi) impliciti in tali prezzi.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i₀_;_t il tasso di interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t. Dall’equazione

(

+i ;t

)

⁻^t

=1001 ₀

prezzo si trae

i t

;

0 prezzo

1 100 







= + dove

prezzo

100 è un fattore di montante periodale. Sostituendo i prezzi più sopra nella seconda

equazione, si ricava la seguente tabella

tasso periodale 2,041% 4,167% 6,383% 8,696%

tasso effettivo i₀_;_t 8,417% 8,507% 8,600% 8,696%

durata (anni) 0,25 0,5 0,75 1

Il prezzo tel quel dell’obbligazione a tasso fisso è 101,40+10/2=106,40; dall’equazione di apprezzamento 106,40=10*1,08507⁻0,5+110*

(

1+i0;1,5

)

⁻¹^,⁵ si trae i₀_;₁_,₅ =8,896%.

Esercizio 50. I prezzi di alcune obbligazioni senza cedola in un particolare giorno siano

prezzo 99,25 97,00 94,75 92,50

durata (giorni) 30 120 210 300

Inoltre, il prezzo secco di un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare del 9% e 390 giorni alla scadenza sia 99,05. Tutte le obbligazioni sono titoli di Stato emessi dal Tesoro; per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento.

Si trovino

a) i tassi di interesse a pronti (annui effettivi) impliciti in tali prezzi;

b) il tasso di interesse a pronti a 1 anno, per mezzo dell’interpolazione lineare.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i₀_;_t il tasso di interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t.

a) Dall’equazione prezzo=100

(

1+i0;t

)

⁻^t si trae

seconda equazione, si ricava la seguente tabella

tasso periodale 0,756% 3,093% 5,541% 8,108%

OSSERVAZIONE. Il metodo del laccio dello scarpone (bootstrap) presentato negli ultimi 2 esercizi consente di rilevare sequenzialmente la struttura a termine dei tassi di interesse insita in un paniere di n obbligazioni, ciascuna con lo stesso merito di credito ma con una differente scadenza, ogni data di pagamento essendo una delle n scadenze. Il risultato finale, un insieme di n punti

( )

t;i₀_;t interpolati linearmente, risente della scelta del paniere. Qualora si voglia rilassare l’ipotesi sul paniere, come accade soprattutto nell’ambito dell’analisi economica, bisogna ricorrere all’ottimizzazione, per stimare i parametri incogniti di una funzione della durata, sia essa una funzione parsimoniosa oppure una funzione polinomiale (o esponenziale) a tratti, detta spline.

Un ben noto esempio di funzione parsimoniosa è proposto in Nelson-Siegel (1987); la risultante struttura a termine può avere andamento monotono, con gobba, sigmoidale

 particolare, risultano relativamente indipendenti. Per motivi legati alla gestione del rischio di tasso, in sede operativa si prendono spesso in considerazione i tratti aventi come estremi le scadenze a 1, 3, 5, 7, 10 e 30 anni. Per un approfondimento dell’argomento si rimanda a Marangio et alii (2002).

Esercizio 51. I tassi annui di interesse a pronti in un particolare giorno siano come segue

tasso (%) 5,00 5,10 5,30 5,40 5,50 5,50 5,80

termine 1 mese 3 mesi 6 mesi 1 anno 2 anni 3 anni 5 anni

Si calcoli il tasso annuo a termine 3x12 nel caso i dati in tabella rappresentino a) tassi annui di interesse composto secondo la convenzione lineare;

b) tassi annui di interesse composto secondo la convenzione esponenziale;

c) tassi annui nominali di interesse continuamente composto.

Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i₀_;_t il tasso di e semplificando, si ricava

a) 1 5,431%

(

¹ ¹

)

¹ ⁵^,⁵⁰⁰^% al tempo 0 dalle 2 controparti di un FRA (forward rate agreement).

Esercizio 52. Sei mesi fa fu stipulato un FRA 6x12 con un capitale convenzionale di

€100.000. Alcuni tassi annui di interesse a pronti sono riportati nella tabella più sotto (l’interesse è semplice; per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento). Si descriva il regolamento per contanti che ha luogo oggi.

durata 6 mesi 1 anno

tasso (6 mesi fa) 4,00% 5,00%

tasso (oggi) 4,50% 5,50%

Soluzione. Se il capitale fosse scambiato, ciò avverrebbe due volte, 6 e 12 mesi dopo la stipula (da cui l’espressione 6x12). Tuttavia, lo scambio di capitale è sostituito da un regolamento per contanti 6 mesi dopo la stipula.

Il tempo sia misurato in anni, 0 sia l’istante della stipula e 0,5 sia l’istante del regolamento (che cade oggi). Sia i₀_;_t il tasso di interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t; sia f₀_;_t_;_T il tasso di interesse a termine vigente al tempo 0 per

i nella condizione che esclude l’arbitraggio

al creditore. Tuttavia, se €100.675,97 sono presi in prestito per 3 mesi al vigente tasso a pronti

; 5 ,

i0 , a scadenza si dovrà restituire

(

¹ ^4,5%^*^0,5

)

^102.941,00 ¹⁰⁰^.⁰⁰⁰

(

¹ ^5,882%^*^0,5

)

675,79 .

100 + = = + €

come è implicito nel FRA. Se i₀_,₅_;₁ fosse stato maggiore di 5,882%, il creditore avrebbe dovuto

versare l’importo

( )

5 , 0 1

5 , 0 000

. 100

; 5 , 0

; 0 1

; 5 , 0

i f i

− al debitore.

Esercizio 53. Per saldare un debito di €96.000 tra 1 anno, una società per azioni potrebbe depositare in banca un incasso di €40.000 tra 6 mesi come pure un incasso di €55.000 tra 9 mesi. Alcuni odierni tassi annui di interesse a pronti sono riportati nella tabella più sotto (l’interesse è semplice). Il rischio di tasso verrebbe coperto stipulando un FRA 6x12 e un FRA 9x12. Si verifichi se l’operazione finanziaria sia efficace.

tasso (%) 4,00 4,10 4,20 4,30

termine 3 mesi 6 mesi 9 mesi 1 anno

Soluzione. L’operazione finanziaria è efficace. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il

Nel documento Appunti di Matematica e tecnica finanziaria (pagine 149-168)