Appunti di Matematica e tecnica finanziaria

Appunti di Matematica e tecnica finanziaria

Ettore Cuni

Luca Ghezzi

LIUC eBook, 2

Appunti di Matematica e tecnica finanziaria

Ettore Cuni, Luca Ghezzi

LIUC Università Cattaneo Castellanza 2013

Copyright 2013 © Università Carlo Cattaneo - LIUC – C.so Matteotti, 22 - 21053 Castellanza (VA) Data di pubblicazione: Luglio 2013 - ISBN 978-88-908806-1-2

Ringraziamenti ... 11

1. Calcolo finanziario di base ... 13

1.1. Principi finanziari: accumulazione e sconto di ammontari di denaro ... 13

Interesse semplice... 15

Interesse composto ... 17

Obbligazioni (senza cedola) ... 19

Sconto commerciale ... 21

1.2. Contratti e mercati finanziari ... 22

1.3. Tassi equivalenti di interesse composto ... 33

Principio di scindibilità ... 35

Fattori di montante in 2 variabili e esclusione dell’arbitraggio ... 38

1.4. Rendite annue immediate: valori attuali, montanti e valori... 44

Rendite annue immediate: proprietà ... 45

Rendite annue immediate con rate costanti... 45

Rendite periodiche immediate con rate costanti ... 46

Rendite perpetue annue immediate ... 47

2. Ripagamento rateale di un prestito ... 53

2.1. Il piano di ammortamento... 53

2.2. La locazione finanziaria (leasing)... 57

2.3. Legislazione italiana sul credito al consumo e sui mutui ipotecari ... 70

3. Valutazione degli investimenti reali ... 75

3.1. Sull’uso dei bilanci pro-forma... 75

3.2. Il valore attuale netto (VAN)... 80

3.3. Il tasso interno di rendimento (TIR) ... 85

Sull’uso congiunto di VAN e TIR... 89

3.4. Il valore attuale rettificato... 93

3.5. Sulla valutazione di un’impresa nella pratica professionale ... 98

4. Obbligazioni a tasso fisso... 101

4.1. Apprezzamento di obbligazioni a tasso fisso e con cedole annue ... 101

Apprezzamento di obbligazioni con cedole semestrali (trimestrali) ... 103

La funzione rendimento a scadenza-prezzo ... 103

Sul tasso di rendimento effettivo... 105

4.2. Durata media finanziaria... 111

Convessità ... 116

4.3. La stima del rischio di credito da parte delle agenzie specializzate ... 126

4.4. La cartolarizzazione di crediti non trasferibili... 135

4.5. Sulla gestione attiva di portafogli obbligazionari... 141

5. Struttura a termine dei tassi di interesse ... 147

5.1. Sui tassi di interesse a trascurabile rischio di credito... 147

Sulla rilevazione della struttura a termine dei tassi Euribor ... 150

Tassi di interesse a termine ... 151

Apprezzamento di obbligazioni a tasso variabile... 153

Riferimenti bibliografici... 163

Appunti di Matematica e tecnica finanziaria

Ettore Cuni¹, Luca Ghezzi²

Orandum est ut sit mens sana in corpore sano Decimus Iunius Iuvenalis, I-II secolo d.C.

Premessa

La Matematica finanziaria concerne l’impiego di strumenti scientifici nelle attività di investimento e finanziamento. Più precisamente, essa riguarda modelli e procedimenti quantitativi convalidati, utilizzabili per prendere decisioni nell’ambito

• della valutazione e del confronto di piani di investimento reale;

• del confronto di operazioni bancarie e parabancarie, quali un deposito vincolato, un mutuo immobiliare ipotecario a tasso fisso e/o variabile, un prestito di titoli contro garanzia, o una locazione finanziaria di beni strumentali;

• della progettazione di contratti finanziari, quali un’obbligazione strutturata o una polizza assicurativa sulla vita a capitale o rendimento garantito;

come pure

• dei processi di gestione di rendimenti e rischi finanziari, per esempio nel caso di un portafoglio di prestiti bancari, di un fondo pensione, o di un fondo comune di investimento;

• dei processi di supervisione e controllo dei rischi finanziari.

Questi appunti, concepiti per gli studenti di un corso universitario di Matematica finanziaria, sono stati originariamente stesi come complemento, conforme alla tradizione italiana, del libro di testo Luenberger (1998), un’opera di ben più ampio respiro, compiutamente riuscita nella compenetrazione di rigore metodologico e di chiarezza espositiva. Essi si basano soprattutto su una traduzione parziale degli Handouts for Financial modelling, redatti in inglese dal secondo autore; grazie all’esperienza professionale del primo autore, il materiale proposto è stato corredato di riferimenti a e di esempi e esercizi coerenti con la prassi operativa.

L’apprendimento e la ritenzione della disciplina potrebbero quindi essere agevolati dall’uso di una duplice chiave di lettura: quella logica, relativa alle proprietà dei procedimenti analitici e

1 Analisi rischi, Credito Bergamasco–Gruppo Banco Popolare, 24100 Bergamo.

2 Associato di Ingegneria economico gestionale, Università Carlo Cattaneo, 21053 Castellanza (Va).

alle peculiarità dei procedimenti empirici, e quella operativa, relativa ai contratti, alle operazioni e ai processi finanziari. La comprensione di questi ultimi non deve illudere;

l’esposizione, spesso a carattere introduttivo, è propedeutica ai corsi specialistici. Tuttavia, il quadro d’insieme tacitamente proposto, sebbene parziale, è strutturato e desumibile mediante una lettura attiva.

Gli appunti sono organizzati in 5 distinte sezioni, tutte le successive essendo sviluppate a partire dalla prima

1. Calcolo finanziario di base 2. Ripagamento rateale di un prestito 3. Valutazione degli investimenti reali 4. Obbligazioni a tasso fisso

5. Struttura a termine dei tassi di interesse

La corrente versione è priva di una sezione finale sui fondamenti della gestione di portafogli azionari, invece presente negli Handouts for Financial modelling; al lettore interessato si segnalano, oltre al già menzionato Luenberger (1998), le opere Farrell (1997), Keasey et alii (1998), Cornell (1999) e Jackson (2003).

Ogni sezione può comprendere

• una schematica spiegazione di nozioni teoriche, accompagnata da esempi illustrativi, e di procedimenti empirici;

• un’essenziale presentazione di procedimenti operativi come pure una sintetica citazione di norme di legge. Ove possibile, si menzionano pure gli specifici tassi annui di interesse usati nella prassi operativa;

• alcuni esercizi e le loro soluzioni, i quali si aggiungono agli esempi proposti nel libro di testo Luenberger (1998). Oltre a esemplificare un procedimento analitico, un esercizio offre, a volte, l’occasione per descrivere un contratto finanziario e delle regole operative.

Tutti gli esercizi sono stati risolti al calcolatore, mediante dei fogli elettronici, ove possibile programmati e convalidati; per esempio, nel caso dell’ammortamento all’italiana, una volta inseriti i dati (il capitale prestato C, il numero di rate n, la loro cadenza m, il tasso periodale di interesse applicato i_m), il foglio elettronico restituisce l’intero piano di ammortamento (una tabella di n+1 righe e 5 colonne: il tempo t, la quota di capitale C , la quota di interesse _t I , la rata _t R_t e il debito residuo D ), _t effettuando gli arrotondamenti con la precisione richiesta.

L’approccio è orientato alle applicazioni e dunque multidisciplinare, con possibili riferimenti ai principi teorici e alle nozioni pratiche di altre discipline, quali la contabilità, l’economia industriale, l’economia dei mercati e degli intermediari finanziari.

Si tenga presente che un serio esame finale dovrebbe concernere sia la teoria sia la pratica;

gli autori condividono infatti con altri colleghi la convinzione che una proficua teoria riposa su solide basi pratiche, e viceversa. Per imparare bene e senza troppa fatica la Matematica finanziaria, come pure per non dimenticarla assai presto, bisogna quindi acquisire allo stesso tempo un po’ di dimestichezza con la Tecnica finanziaria. Pertanto, con riferimento ai principali punti di un programma analitico, occorre sapere

• dove e quando un problema finanziario emerga nella pratica professionale;

• chi siano le controparti e gli intermediari finanziari;

• come e per mezzo di quali dati si possa risolverlo;

• quale sia il significato finanziario dei più importanti passaggi analitici e, se richiesto, perché il procedimento risolutivo è appropriato (una dimostrazione può rivestire interesse, in quanto aiuta a ricordare meglio un procedimento analitico e le sue proprietà).

Si rammenta che la Matematica finanziaria si basa su ragionamenti passo a passo. Qualora tale capacità non sia tra le doti di uno studente, la frequenza alle lezioni dovrebbe essere considerata come un agevole e proficuo modo di apprendere.

Grazie alla duplice chiave di lettura, all’orientamento alle applicazioni e al taglio agile, gli appunti sono fruibili anche da un lettore che, operando già nel mondo del lavoro, desideri rinfrescare e/o aggiornare le proprie cognizioni di Matematica e tecnica finanziaria. Numerose sono le estensioni e le integrazioni rispetto a una più tradizionale trattazione, ormai un po’

datata; si segnalano, a questo proposito, le sezioni 2.3, 3.1, 3.4, 4.3, 4.4, 4.5 e 5.1.

Bergamo - Castellanza, 11 febbraio 2013

Ringraziamenti

Si ringraziano sentitamente i professori Franco Cesarini (già Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano) e Lorenzo Peccati (Università Luigi Bocconi, Milano) per i loro preziosi commenti e suggerimenti in merito a precedenti versioni.

Nondimeno, la responsabilità di ogni eventuale errore è degli autori. Ulteriori commenti e suggerimenti sono graditi e possono essere inviati all’indirizzo elettronico [email protected].

1. Calcolo finanziario di base

1.1. Principi finanziari: accumulazione e sconto di ammontari di denaro

Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Si supponga che un ammontare di denaro C sia prestato per uno spazio di tempo

[ ]

^0;t e sia ripagato mediante un unico ammontare. Poiché l’esercizio del credito è attività remunerata, il creditore riceverà dal debitore un più elevato valore futuro o montante FV =C+I in cambio del prestito del capitale C nello spazio di tempo

[ ]

0;t . La differenza I è l’interesse maturato, ossia il compenso per il creditore, il quale è, coeteris paribus, tanto maggiore quanto più distante è la scadenza t. Poiché si ha

( )

^con

( )

⁰ =^{1 e ()}>^{0 per ogni} ≥⁰

= t

dt t f df

t Cf FV

dove ^f

( )

^{t è un} fattore di montante, l’accumulazione di denaro (o capitalizzazione) è un processo nel quale l’interesse si accumula al passare del tempo

capitale C FV =C+I =Cf(t)

tempo 0 tempo t dall’avvio

Per il momento si prescinde sia dal rischio di tasso sia dal rischio di credito. In altre parole, non si tiene conto del fatto che le previsioni insite nell’iniziale struttura a termine del mercato monetario possano non trovare riscontro nel successivo andamento temporale dei diversi tassi di interesse, quali l’Eonia, gli Euribor e i tassi swap introdotti più avanti; inoltre, si suppone che il debitore assolva sicuramente tutti i propri obblighi contrattuali. Infine, non si considerano esplicitamente giorni di differimento, commissioni e tasse, di cui si tiene invece conto in alcuni esercizi. Pertanto, la teoria viene sviluppata in un contesto deterministico, essendo certi per ipotesi sia gli ammontari di denaro, sia i tassi di interesse, presenti e futuri.

Si supponga che un credito con valore nominale C e scadenza t sia venduto al tempo 0 a un minore valore attuale PV =C−D, essendo la differenza D lo sconto. Il compratore diviene creditore; pertanto, riceverà un più elevato montante C, comprendente un compenso per il prestito PV nello spazio di tempo

[ ]

0;t . Poiché si ha

( )

= ^edunque =

( )

^con

( )

⁰ =^{1 e ()}>^{0 per ogni} t≥⁰ dt

t f df

t f PV C C

t PVf

dove ^f

( )

^{t −1} è un fattore di sconto coniugato, lo sconto di denaro (o attualizzazione) è un procedimento inverso al precedente, secondo cui un ammontare esigibile a una successiva data è ridotto a un minore ammontare esigibile a una precedente data, quest’ultimo essendo, coeteris paribus, tanto minore quanto più distante è la scadenza t del credito.

−1

=

−

=C D Cf(t)

PV valore nominale C

tempo 0 scadenza: tempo t

Il montante e il valore attuale sono 2 operatori lineari negli ammontari di denaro. Pertanto, se 2 ammontari di denaro C₁ e C₂ sono prestati per degli spazi di tempo

[ ]

^{t ;}1^t e

[ ]

^{t ;}2 ^t

rispettivamente, il loro montante al tempo t sarà FV =C1f

(

t−t1

)

+C2f

(

t−t2

)

. Inoltre, se due crediti con valori nominali C e ₁ C sono esigibili ai tempi ₂ t e ₁ t rispettivamente, il loro ₂ valore attuale al tempo 0 sarà

( )

1 2

( )

2 ¹

1

1 − + −

=C f t C f t

PV .

Per effettuare i calcoli finanziari in esame, occorre stabilire una regola di accumulazione o di sconto di modo che il fattore di montante ^f

( )

^t e il fattore di sconto coniugato ^f

( )

^{t −1}

assumano una specificazione analitica. Siano i un tasso annuo di interesse e d un tasso annuo di sconto commerciale; nel prosieguo esamineremo le 3 regole usate nella comune pratica, dette pure regimi finanziari:

• l’ interesse semplice, per cui ^f

( ) (

^{t = 1+it}

)

^;

• l’ interesse composto, per cui ^f

( ) ( )

^t = 1+^{i t};

• lo sconto commerciale, per cui ^f

( )

^{t −1=}

(

^1−dt

)

^.

In linea di principio, le regole dell’interesse semplice e dello sconto commerciale dovrebbero essere applicate solamente alle operazioni di breve termine, le quali durano meno di 18 mesi.

La regola dell’interesse composto dovrebbe invece essere applicata alle operazioni di medio e lungo termine; le prime durano tra i 18 mesi e i 5 anni mentre le seconde durano più di 5 anni.

Ove non diversamente specificato, si assumerà in tutta la sezione che ogni mese abbia 30 giorni, coerentemente con la regola di calcolo dei giorni 30/360 europea introdotta nell’esempio 1 insieme alle regole di calcolo dei giorni effettivi/360 e effettivi/365. Pertanto, come mostrato nell’esempio 2, uno spazio di tempo di 1 anno, 6 mesi e 18 giorni è espresso come

55 , 360 1

18 12

1+ 6 + =

=

t anni; il calcolo inverso è svolto negli esercizi 1 e 9.

Interesse semplice

Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia il corrente istante, e i sia il tasso annuo di interesse semplice, vale a dire l’interesse annuo su un’unità di capitale. Si supponga che un capitale C sia prestato per uno spazio di tempo

[ ]

^0;t . Poiché l’interesse semplice si accumula linearmente al passare del tempo secondo l’equazione

Cit I= il montante

(

^it

)

C Cit C I C

FV = + = + = 1+

verrà pagato dal debitore al creditore al tempo t in cambio del prestito di C nello spazio di tempo

[ ]

0;t . Pertanto, il montante di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per il fattore di montante lineare ^f

( ) (

^t = 1+^it

)

.

Esempio 1. €100.000 sono prestati da mercoledì 16 settembre a mercoledì 16 dicembre al tasso annuo dell’1%; si trovi l’interesse semplice applicando la regola di calcolo dei giorni: a) effettivi/360 o effettivi/365; b) 30/360 europea.

Le 5 regole di calcolo dei giorni sono spiegate in Cherubini-Della Lunga (2002, pag. 146); il primo (l’ultimo) giorno di un prestito è sempre escluso (incluso).

Svolgimento.

a) Poiché il prestito dura effettivamente 14+31+30+16=91 giorni, si ha €

,78 52 360 2

* 91 01 , 0

* 000 .

100 =

=

=Cit I

€ ,32 49 365 2

* 91 01 , 0

* 000 .

100 =

=

=Cit I

b) Il prestito dura convenzionalmente 14+30+30+16=90 giorni, in quanto si suppone che ogni mese abbia 30 giorni; se la data iniziale o finale cadesse il 31 del mese, sarebbe spostata al 30. Si ha quindi

€ 250,00 360

* 90 01 , 0

* 000 .

100 =

=

=Cit I

OSSERVAZIONE. A un divisore pari a 360 corrisponde l’anno commerciale mentre a un divisore pari a 365 corrisponde l’anno civile.

Esempio 2. €25.000 sono prestati per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuo del 6%. Si trovino l’interesse semplice e il montante nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

€ 325 . 2 55 , 1

* 06 , 0

* 000 . 360 25

18 12 1 6

* 06 , 0

* 000 .

25 = =



 



 + +

=

=Cit I

(

¹+

)

=^25.000+^2.325=^25.000

(

¹+^0,06*1,55

)

=^{27.325 €}

= +

=C I C it FV

Esempio 3. All’inizio di un certo anno e dopo 9 mesi, €5.000 e €2.500 sono rispettivamente prestati al tasso annuo del 4%. Si trovino l’interesse e il montante dopo altri 12 mesi.

Svolgimento. La linearità dell’interesse semplice rispetto al tempo comporta che gli interessi delle 2 operazioni possano essere sommati. Inoltre, anche i montanti delle 2 operazioni possono essere sommati, in quanto il montante è un operatore lineare negli ammontari di denaro. Si ha dunque

€ 450 04 , 0

* 500 . 12 2

*21 04 , 0

* 000 .

5 + =

= +

=I_A I_B I

(

+

)

+ =

(

^5.000+^2.500

)

+⁴⁵⁰=^5.000*1,07+^2.500*1,04=^{7.950 €}

= C C I

FV _{A B}

OSSERVAZIONE. A causa della linearità dell’interesse semplice, il suo ammontare semestrale Ci0,5 è metà dell’ammontare annuo Ci , il suo ammontare trimestrale Ci0,25 è un quarto dell’ammontare annuo Ci , etc. Le stesse proporzioni valgono per i tassi periodali di interesse semplice, vale a dire gli interessi periodici su un’unità di capitale: il tasso semestrale è

5 , 0

i , il tasso trimestrale è i0,25, etc.

Esempio 4. €50.000 sono prestati per 1 anno e 3 mesi a interesse semplice. Il montante dopo 3 mesi ammonta a €50.500. Si trovino a) il montante annuo; b) il montante finale; c) il tasso trimestrale di interesse; d) il tasso annuo di interesse i.

Svolgimento. Poiché l’interesse trimestrale è 50.500−50.000=500 €,

a) l’interesse annuo e il montante annuo sono rispettivamente 500*4=2.000 € e €

52.000 000

. 2 000 .

50 + = ;

b) l’interesse finale e il montante finale sono rispettivamente 500*5=2.500 € e €

52.500 500

. 2 000 .

50 + = ;

c) il tasso trimestrale di interesse è 500/50.000=1%;

d) si ha i=4*500/50.000=4*1%=4%, cioè 4 volte il tasso trimestrale.

Interesse composto

Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia il corrente istante, e i sia il tasso annuo effettivo di interesse composto. Si supponga che un capitale C sia prestato per uno spazio di tempo

[ ]

^{0;t .}

Qualora l’interesse sia composto annualmente secondo la convenzione esponenziale, il montante FV al tempo t di un capitale pari a C vale

( )

^{1 t}

FV =C +i

di modo che l’importo ^C

( )

^{1+i t} verrà restituito al tempo t in cambio del prestito di C nello spazio di tempo

[ ]

0;t . Pertanto, il montante di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per il fattore di montante esponenziale ^f

( ) ( )

^{t = 1+it}. L’interesse composto I al tempo t vale

( )

^{1 t}

( )

^{1 t 1}

I =FV − =C C +i − =C C +i − 

Per i=5%, l’interesse composto su un’unità di capitale I =1,05^t−1 importa

05000 , 0 1 05 ,

1 − = dopo 1 anno

10250 , 0 1 1025 ,

1 − = dopo 2 anni

15763 , 0 1 1025 ,

1 − = dopo 3 anni

...

62889 , 0 1 6289 ,

1 − = dopo 10 anni

DIMOSTRAZIONE. Quando l’interesse è composto annualmente, esso viene aggiunto al capitale alla fine di ciascun anno. Pertanto, alla fine del primo anno l’interesse maturato Ci viene aggiunto al capitale, che diviene ^{FV =C+Ci=C}

( )

¹⁺ⁱ . Inoltre, alla fine del secondo anno l’interesse maturato ^C

( )

^{1+ii=Ci+Ci2, dove Ci è 2} interesse sull’interesse, viene aggiunto al capitale, che diviene ^{FV =C}

( ) ( )

^{1+i +C1+ii=C}

( )

^{1+i 2}. Si comprende immediatamente (e si dimostra mediante induzione matematica) che ciascuna composizione annua dell’interesse equivale a una moltiplicazione del capitale per il fattore di montante

( )

¹⁺ⁱ , da cui si ottiene ^{FV =C}

( )

^1+it alla fine del t-imo anno. Sebbene il tempo t sia intero nel nostro ragionamento, esso può assumere qualsiasi valore reale non negativo in forza della convenzione esponenziale.

Esempio 5. €25.000 sono prestati per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuo del 6%, come nell’esempio 2. Si trovino il montante e l’interesse composto nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

( )

^{1 i 25.000*1,061,55 27.363,02 €}

C

FV = + ^t = =

( )

^{1 i C 27.363,02 25.000 2.363,02 €}

C C FV

I= − = + ^t − = − =

Si considerino i montanti a interesse semplice e composto allo stesso tasso annuo i; i corrispondenti fattori di montante sono allora

(

1+^it

)

e

( )

1+^it. Come si osserva nel seguente diagramma, dove i=100%, l’uno cresce linearmente mentre l’altro cresce esponenzialmente (geometricamente) con

(

1+^it

) ( )

> 1+^it per ogni 0<t<1 e

(

1+^it

) ( )

< 1+^{i t} per ogni t>1 a causa del pagamento dell’interesse sull’interesse.

1,0000 2,0000 3,0000 4,0000

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

interesse semplice interesse composto

Pertanto, per qualsiasi dato tasso annuo di interesse i e qualsiasi scadenza distante più di 1 anno, il montante a interesse composto è maggiore di quello a interesse semplice. Per esempio, si ha

( )

¹+^{i 2}=¹+²ⁱ+ⁱ²>¹+²ⁱ per t=2, la differenza i essendo l’ interesse sull’interesse. ²

Qualora il tempo t non sia intero, si può pure fare uso della convenzione lineare e quindi della capitalizzazione mista, secondo la quale il montante FV al tempo t di un capitale pari a C vale

( ) (

^{1 n 1}

)

FV =C +i +iδ

dove t^{= +}n δ con n intero e 0^{≤ ≤}δ 1. Se, per esempio, n=3 anni e δ =0, 25 anni=3 mesi, il fattore di montante vale

( ) (

^{1+i 3 1+i0, 25}

)

e discende dall’applicazione dell’interesse composto per un periodo di 3 anni seguita dall’applicazione dell’interesse semplice per un periodo di 3 mesi. Poiché la funzione esponenziale

( )

^{1+i t} è convessa, si ha

( ) (

^{1+i n 1+iδ}

) ( )

^{≥ +1 i n+δ}

ovvero per qualunque durata intera (δ =0 e t=n) si ottiene lo stesso montante con entrambe le convenzioni; per qualunque durata non intera la capitalizzazione mista fornisce un montante maggiore. I grafici dei due fattori di montante per i=100% sono riportati nel diagramma sotto

1,0000 2,0000 3,0000 4,0000

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

esponenziale lineare

Esempio 6. All’inizio di un certo anno e dopo 9 mesi, €5.000 e €2.500 sono rispettivamente prestati al tasso annuo del 4%, come nell’esempio 3. Si trovino il montante e l’interesse composto dopo altri 12 mesi, facendo uso della convenzione lineare e della capitalizzazione mista.

Svolgimento. I montanti delle 2 operazioni possono essere sommati, in quanto il montante è un operatore lineare negli ammontari di denaro. Si ha dunque

( )

^{€ 7.956,75}

12 1 9 12 1 3 12

1 9

1 =



 



 +



 



 + +



 



 + +

=C i i C i i

FV _{A B}

(

+

)

=^7.956,75−^7.500=^{456,75 €}

−

=FV C_A C_B I

Obbligazioni (senza cedola)

Se un prestito prende la fattispecie di un titolo, viene diviso in obbligazioni di modo che può essere contemporaneamente concesso da più obbligazionisti/creditori, con conseguente

frazionamento del credito e del rischio di credito. Poiché le obbligazioni sono dei titoli, ogni obbligazionista/creditore ha la facoltà di rivendere il proprio credito successivamente. In cambio del credito, il debitore, vale a dire l’emittente delle obbligazioni, si impegna legalmente ad effettuare degli opportuni ripagamenti alle scadenze contrattuali. Il rischio di credito riguarda una perdita finanziaria per gli obbligazionisti dovuta all’inadempienza dell’emittente delle obbligazioni in merito a dei ripagamenti contrattuali.

Le obbligazioni sono emesse, tra gli altri, dai tesori degli stati sovrani, dagli enti sovranazionali (per esempio, la World Bank, la European Investment Bank e l’Asian Development Bank, fondate nel 1944, 1958 e 1966 da un certo numero di paesi membri, con sede centrale a Washington, nel Lussemburgo e a Manila rispettivamente), dagli enti locali (per esempio, le città), dalle banche e dalle società quotate. Inoltre, come spiegato nella sezione 4.4, le obbligazioni possono essere pure emesse a fronte di un’operazione di cartolarizzazione.

Come invece spiegato nella sezione 4.3, il merito di credito degli emittenti di obbligazioni è determinato dalle agenzie internazionali di valutazione del credito. Se il merito di credito dello Stato è opportuno, i titoli di Stato possono essere ritenuti privi di rischio di credito; le obbligazioni societarie incorporano invece del rischio di credito in un qualche grado.

Naturalmente, un prestito obbligazionario risulta meno personalizzabile e elastico di un prestito bilaterale concesso da una sola banca a un solo prestatario. Tuttavia, se il prestatario è una grande e importante impresa, il prestito può essere concesso da un sindacato di banche internazionali.

Esistono diversi tipi di obbligazioni, fra cui le obbligazioni senza cedola, le obbligazioni a tasso fisso e le obbligazioni a tasso variabile, introdotte più sotto, nella sezione 4 e nella sezione 5 rispettivamente. Le obbligazioni a tasso fisso o variabile pagano delle cedole annue, semestrali o trimestrali a titolo di interesse sul capitale preso a prestito; inoltre, rimborsano di solito il capitale preso a prestito in un’unica soluzione al momento della loro scadenza. Alcune obbligazioni a tasso fisso possono essere rimborsate anticipatamente dall’emittente, a partire da una prestabilita data e a un prestabilito prezzo, che di solito comprende un premio.

Poiché un’obbligazione senza cedola non stacca alcuna cedola, essa quota sempre a sconto;

il suo prezzo è dunque minore del valore nominale e pari al valore attuale di quest’ultimo, calcolato mediante un tasso annuo di rendimento a scadenza. Giorni di differimento, commissioni e tasse sono considerati esplicitamente negli esercizi 4, 5 e 6, i quali concernono operazioni su BOT o CTZ, le obbligazioni senza cedola emesse dal Tesoro italiano.

Esempio 7. Un risparmiatore sottoscriva oggi, all’emissione, delle obbligazioni senza cedola con valore nominale di €10.000 e durata di 6 mesi. Il prezzo percentuale di sottoscrizione sia 98,058. Si trovino

a) l’esborso del risparmiatore;

b) il tasso annuo di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse semplice;

c) il tasso annuo di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.

Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni, ogni mese abbia 30 giorni e y indichi il tasso annuo incognito.

a) L’esborso del risparmiatore ammonta a 9.805,80 € 100

058 ,

*98 000 .

10 = .

b) Risolvendo l’equazione

yt PV C

= +

1 ovvero

5 , 0 1 98,058 100

+ y

= , dove

(

¹+y^0,5

)

⁻¹ è un fattore di sconto semestrale, si ricava 1 3,961%

058 , 98

2 100 =



 



 −

=

y .

c) Risolvendo l’equazione ^{PV =C}

(

^1+y

)

^−t ovvero ^98,058=100

(

^1+y

)

^{−0,5, dove}

(

^{1+ y}

)

^−0,5

è un fattore di sconto semestrale, si ricava 1 4% 058

, 98

100 ²

=

 −







=

y .

Sconto commerciale

Siano t il tempo, misurato in anni, 0 il corrente istante e d il tasso annuo di sconto commerciale, vale a dire lo sconto annuo su un valore nominale pari a 1. Si supponga che un credito C esigibile al tempo t sia venduto a una banca al tempo 0. Poiché lo sconto commerciale cresce linearmente col tempo secondo l’equazione

Cdt D= il valore attuale PV

(

^dt

)

C Cdt C D C

PV = − = − = 1−

è l’ammontare pagato dalla banca al tempo 0. Pertanto, il valore attuale di C al tempo 0 è pari al valore nominale C moltiplicato per il fattore di sconto

( ) (

^dt

)

t f1 = 1−

; affinché PV sia positivo,

si deve avere t d1

< .

Esempio 8. Un neopensionato cede il proprio esercizio commerciale. L’acquirente emette, tra l’altro, una cambiale pagherò avente il neopensionato quale beneficiario; si tratta di una promessa di pagamento con valore nominale di €70.000 e con scadenza a 4 mesi e 15 giorni da adesso. Per disporre immediatamente del proprio credito, il neopensionato fa scontare il pagherò dalla propria banca, la quale applica un tasso annuo dell’8%. Si trovi l’ammontare incassato dal neopensionato nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.

Svolgimento. Si ha

€ 100 . 2 375 , 0

* 08 , 0

* 000 . 360 70

15 12

* 4 08 , 0

* 000 .

70 = =



 



 +

=

=Cdt D

(

¹−

)

=^70.000−^2.100=^70.000

(

¹−^0,08*0,375

)

=^{67.900 €}

=

−

=C D C dt PV

OSSERVAZIONE. La cessione del credito è salvo buon fine; in altre parole, se l’emittente della cambiale pagherò fosse insolvente e la cambiale pagherò rimanesse quindi insoluta, il beneficiario, ossia il neopensionato, dovrebbe rifondere la banca. Per questa ragione, la banca si premunirà al momento dello sconto, accertando se si possa concedere al neopensionato un fido con cifra di castelletto non minore del valore nominale del credito. Lo sconto di pagherò è operazione bancaria oggi poco frequente mentre lo sconto di cambiali tratte è caduto in disuso.

1.2. Contratti e mercati finanziari

Il sistema finanziario di un’economia è composto dagli intermediari finanziari, dagli investitori istituzionali, dai mercati finanziari e dalle autorità di vigilanza. Tra gli intermediari finanziari figurano: le banche commerciali, di investimento e di affari, le banche cooperative e le casse rurali, le società di intermediazione mobiliare, le società di credito al consumo, le società di locazione finanziaria e di riscossione dei crediti. Tra gli investitori istituzionali figurano: le compagnie di assicurazione, i fondi pensione, i gestori di patrimoni, i fondi comuni di investimento, i fondi immobiliari, i fondi speculativi, i fondi di private equity e venture capital. Tra le autorità di vigilanza italiane figurano: la Banca d’Italia, istituita nel 1893, la CONSOB (acronimo di Commissione nazionale per le società e la borsa), istituita nel 1974, l’IVASS (acronimo di Istituto per la vigilanza sulle assicurazioni) e la COVIP (acronimo di Commissione di vigilanza sui fondi pensione).

Un sistema finanziario consente agli operatori di effettuare i propri pagamenti e ai fondi di fluire dagli operatori in surplus di risparmio agli operatori in deficit di risparmio; più precisamente, i fondi possono fluire lungo il canale indiretto che passa attraverso gli

intermediari finanziari e gli investitori istituzionali o lungo il canale diretto che passa attraverso i mercati finanziari. In entrambi i canali, al flusso dei fondi si accompagnano la stipula di contratti finanziari o la negoziazione di titoli; in entrambi i casi, i datori di fondi assumono dei rischi di mercato e di credito. Certi specifici rischi di mercato o di credito possono essere mitigati o coperti stipulando degli opportuni contratti derivati; in altre parole, essi possono essere trasferiti alle controparti dei contratti derivati. Le famiglie sono nel complesso operatori in surplus di risparmio, ossia datori netti di fondi, mentre le imprese sono nel complesso operatori in deficit di risparmio, ossia prenditori netti di fondi.

L’amministrazione pubblica è un operatore in deficit di riparmio ogni volta che il suo bilancio è in deficit, perché le spese superano le imposte e le tasse. Il resto del mondo può essere nel complesso sia un datore netto di fondi sia un prenditore netto di fondi. I processi testé menzionati avvengono grazie al supporto di sofisticate reti telematiche. Infatti, una miriade di pagamenti e una miriade di negoziazioni vengono quotidianamente eseguite nei rispettivi circuiti.

Quando il finanziamento è diretto, le imprese raccolgono capitale di debito e/o mezzi propri, in quanto le loro obbligazioni e/o azioni sono sottoscritte all’emissione. Le obbligazioni e le azioni sono emesse nei mercati primari e negoziate nei mercati secondari. I secondi possono essere costituiti da una borsa valori, o da un mercato over the counter, o da un sistema multilaterale di negoziazione.

Una borsa valori come NYSE (acronimo di New York Stock Exchange), LSE (acronimo di London Stock Exchange) e BI (acronimo di Borsa italiana) è un mercato regolamentato, autorizzato e controllato dalla competente autorità di vigilanza come la statunitense SEC (acronimo di Securities and exchange commissions), la britannica FSA (acronimo di Financial services authority) e la nostra CONSOB. Le azioni quotate sono più liquide e più volatili di quelle non quotate. Ogni società quotata soddisfa specifici requisiti; i suoi bilanci annuali sono certificati da una società di revisione contabile. Il sistema di negoziazione di una borsa valori può basarsi sugli ordini o sulle quotazioni denaro-lettera. Nel primo sistema di negoziazione, gli ordini di acquisto e di vendita dei titoli sono accoppiati elettronicamente; nel secondo sistema di negoziazione, gli specialisti dei diversi titoli quotati propongono le proprie quotazioni denaro-lettera e accoppiano gli ordini. Un ordine al meglio è eseguito al miglior prezzo possibile mentre un ordine con limite di prezzo è eseguito al prezzo richiesto o a uno migliore. L’esecuzione di un ordine è garantita solo dagli specialisti, i quali sono pronti a comprare (vendere) titoli al prezzo denaro (lettera) per ovviare a squilibri tra gli ordini di acquisto e gli ordini di vendita. Una cassa di compensazione e garanzia garantisce il

regolamento di tutte le negoziazioni. Entrambi i sistemi di negoziazione sono impiegati da NYSE e LSE.

Un mercato over the counter, come il NASDAQ (acronimo di National Association of Securities Dealers Automatic Quotations) in passato, i mercati dei cambi, larga parte del mercato delle eurobbligazioni e del mercato delle obbligazioni USA, non ha una sede ed è composto da intermediari connessi da telefoni e da reti di calcolatori. Di solito le conversazioni telefoniche sono registrate e riscoltate nel caso di un conflitto sulle condizioni concordate.

Ciascuna negoziazione avviene direttamente tra due intermediari, un broker che opera per conto terzi e un dealer che opera in conto proprio; tuttavia, c’è un piccolo rischio che il suo regolamento non abbia luogo.

Un sistema multilaterale di negoziazione è un sistema di negoziazione elettronico, privato, autorizzato dalla competente autorità di vigilanza e accessibile tramite Internet; il registro elettronico degli ordini con limite di prezzo pendenti è generalmente a disposizione di tutti gli utenti.

OSSERVAZIONE. NYSE (LSE) è la più grande e la più importante borsa valori americana (europea). NYSE si fuse con Euronext nel 2007 mentre LSE si fuse con BI nello stesso anno. Il gruppo Euronext, fondato nel 2000, è costituito dalle borse valori di Amsterdam, Bruxelles, Parigi e Lisbona (dal 2002) come pure dal London International Financial Futures and Options Exchange (dal 2002).

Sono mercati finanziari: i mercati monetari, i mercati dei capitali, i mercati dei contratti derivati, i mercati dei cambi e i mercati delle merci. I contratti finanziari di breve termine, vale a dire con durata originaria non maggiore di 1 anno, sono negoziati in un mercato monetario.

Esse includono: i buoni ordinari del Tesoro italiano (si vedano gli esercizi 4 e 5), i pronti contro termine (si veda l’esercizio 2), i certificati di deposito (si veda l’esercizio 3), le accettazioni bancarie, le cambiali finanziarie come pure i depositi e i prestiti interbancari, il Libor e lo Euribor (si veda l’esercizio 7) essendo i principali tassi interbancari lettera. Ciascun mercato dei capitali è diviso in 2 segmenti: il mercato obbligazionario, detto anche del reddito fisso, e il mercato azionario. Le obbligazioni con durata all’emissione maggiore di 1 anno sono negoziate nel primo segmento mentre le azioni sono negoziate nel secondo segmento.

I titoli di Stato italiani sono emessi attraverso delle periodiche aste elettroniche tenute dalla Banca d’Italia e sono quotati su BI. Le obbligazioni societarie sono invece collocate pubblicamente o privatamente.

Un’offerta pubblica può essere condotta da un consorzio di banche d’affari, banche di investimento, banche universali; come spiegato in Forestieri (2007, cap. 8), la banca coordinatrice organizza il consorzio (per esempio, nei 7-10 giorni successivi al ricevimento del mandato), tiene il registro della domanda totale e opera insieme alla società emittente per stilare il prospetto informativo e determinare il prezzo di offerta (per esempio, in 5 ulteriori giorni lavorativi). Il prospetto informativo fornisce informazioni accurate ma ridondanti sulle prospettive della società emittente e sui termini dell’operazione; esso deve essere approvato dalla competente autorità di vigilanza, vale a dire la CONSOB in Italia. La stima iniziale del prezzo di offerta viene rivista via via che il registro viene aggiornato. Tale prezzo viene applicato nel mercato primario (per esempio, per 15 ulteriori giorni). Le banche collocatrici possono effettuare un collocamento a fermo, un collocamento con assunzione di garanzia o un collocamento semplice. Nel primo caso esse comprano a sconto dall’emittente tutte le obbligazioni di nuova emissione e cercano di rivenderle al prezzo di offerta. Nel secondo caso, esse si impegnano a comprare le obbligazioni non sottoscritte. Ad ogni modo, poiché l’emittente è di solito una società importante con un buon merito di credito, esse sono esposte al rischio di collocamento, vale a dire di una perdita dovuta a un’insufficiente domanda per le obbligazioni societarie al prezzo di offerta. Nel terzo caso, le banche collocatrici non si assumono il rischio di collocamento, in quanto agiscono da mediatori, limitandosi a fare del loro meglio per vendere l’intera nuova emissione al prezzo di offerta. L’emittente retrocede alle banche il margine lordo, per esempio l’1% del capitale raccolto; esse beneficiano così di una considerevole remunerazione per le loro azioni di marketing diretto e indiretto. Il margine lordo comprende 3 componenti: le commissioni di gestione incassate dalle banche coordinatrici del consorzio, le commissioni di sottoscrizione incassate dalle banche che prestano la garanzia, le commissioni di collocamento incassate dalle banche che collocano le obbligazioni societarie.

Una stessa banca può svolgere più ruoli. Un’offerta pubblica viene tipicamente quotata in una borsa valori e una della banche collocatrici ne diviene di solito uno specialista.

I collocamenti privati, per esempio di prestiti obbligazionari di più piccola taglia, sono più semplici, più veloci e meno costosi, i potenziali sottoscrittori, quali banche, compagnie di assicurazione, fondi pensione e fondi comuni di investimento, essendo direttamente contattati da un intermediario finanziario. La maggior parte delle obbligazioni societarie sono collocate privatamente; anche le eurobbligazioni, il cui valore di mercato è di almeno $100 milioni, sono collocate privatamente da sindacati di banche internazionali. Le eurobbligazioni sono di solito titoli al portatore.

&——&——&

Esercizio 1. All’inizio di un certo anno, un capitale di €5.000 è dato in prestito al tasso annuo del 4% nel regime dell’

a) interesse semplice;

b) interesse composto secondo la convenzione esponenziale;

c) interesse composto secondo la convenzione lineare.

Quanto tempo occorre affinché il montante importi €7.000?

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni.

a) Poiché dall’equazione ^7.000=^5.000

(

¹+^0,04t

)

si trae

anni 04 10

, 0 1 1 000 5

000

7  =



 



 −

= . t .

il periodo incognito nel regime dell’interesse semplice è uguale a 10 anni.

b) Poiché dall’equazione ^7.000=^5.000

(

¹+^0,04

)

^t si trae

( )

( )

^{1,04 8,579anni 8anni 0,579*360giorni 8anni e 209giorni}

log

000 5 / 000 7

log = = + =

= . .

t

approssimando per eccesso, il periodo incognito nel regime dell’interesse composto secondo la convenzione esponenziale è uguale a 8 anni, 6 mesi e almeno 29 giorni.

c) Poiché dall’equazione ^7.000=^5.000*1,048

(

¹+^0,04t

)

=^6.842,85

(

¹+^0,04t

)

si trae giorni 207 giorni 360

* 0,574 anni

574 , 04 0 , 0 1 1 85 , 842 6

000

7  = = =







 −

= . t .

approssimando per eccesso, il periodo incognito nel regime dell’interesse composto secondo la convenzione lineare è uguale a 8 anni, 6 mesi e almeno 27 giorni.

Esercizio 2. Un pronti contro termine è un contratto finanziario che prevede una vendita a pronti di titoli e un loro contemporaneo riacquisto a termine; si tratta di solito di obbligazioni che hanno un soddisfacente merito di credito e che non staccano una cedola tra i 2 regolamenti.

Il venditore si impegna a riacquistare le stesse obbligazioni dal compratore a una precisa data futura, per esempio dopo 1-6 mesi, e a un preciso prezzo tel quel. Il rischio di credito insito nel contratto è modesto; in caso di insolvenza del prestatore di titoli, il prestatore di denaro disporrà dei titoli obbligazionari; in caso di insolvenza del prestatore di denaro, il prestatore di titoli non restituirà il denaro preso in prestito. I pronti contro termine sono stipulati da società e

da intermediari finanziari per prendere o dare denaro in prestito a breve termine; inoltre, sono utilizzati dalle Banche centrali per influenzare i tassi di interesse.

Si consideri la seguente negoziazione: una banca italiana venda a un cliente delle obbligazioni per €80.000, la data di regolamento essendo 3 giorni lavorativi dopo la data di negoziazione; la banca si impegni contestualmente a riacquistare le obbligazioni 91 giorni dopo il regolamento per €80.875, anche nel caso di insolvenza dell’emittente. L’interesse lordo ammonta dunque a €875; poiché è tassato alla fonte con aliquota fiscale del 20%, l’interesse netto e il montante netto ammontano a €700 e a €80.700. Si trovi il tasso annuo netto di interesse implicito nell’operazione monetaria; si usino l’interesse semplice e la regola effettivi/365 per il calcolo dei giorni, come avviene in Italia nel caso dei pronti contro termine su obbligazioni.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e i rappresenti il tasso annuo di interesse incognito. Siano C =80.000 e FV =80.700. Poiché l’interesse semplice comporta che

365 1 i 91 C

FV = + , si ha

C % I C

C

i FV 3,510

91 365 91

365  = =



 



 −

=

In altre parole, il tasso netto di interesse semplice è del 3,510% annuo.

OSSERVAZIONE. La Banca centrale europea fissa 3+1 tassi di interesse chiave per l’area

€, applicati ai depositi e ai prestiti per una notte, i quali sono operazioni attivabili su iniziativa delle controparti, come pure alle operazioni di rifinanziamento principale (a più lungo termine), le quali sono operazioni di mercato aperto. Le operazioni attivabili su iniziativa delle controparti e le operazioni di rifinanziamento sono svolte dalla BCE per gestire la liquidità e adeguare i tassi di interesse a breve termine alla propria politica monetaria, se la liquidità è scarsa (abbondante), i tassi di interesse a breve termine vengono spinti verso l’alto (il basso) a causa di uno squilibrio tra domanda e offerta nel mercato monetario. L’obiettivo principe della BCE e della sua politica monetaria è la stabilità dei prezzi, definita come un tasso di inflazione annuo non maggiore del, ma prossimo al 2%, nel medio termine e nell’area €. E’ improbabile che la politica monetaria eserciti un effetto diretto sui tassi di interesse a medio e lungo termine, i quali influenzano le decisioni di investimento da parte delle imprese e le decisioni di acquisto di case e altri beni durevoli da parte delle famiglie.

Le banche centrali nazionali sono pronte ad accettare depositi per una notte dal e a fornire prestiti per una notte al sistema bancario ai tassi di interesse menzionati più sopra. I prestiti

sono effettuabili contro opportune garanzie collaterali; il sistema bancario comprende tutte le istituzioni obbligate a detenere riserve presso le proprie banche centrali nazionali. I 2 tassi per una notte definiscono un corridoio per il tasso di rifinanziamento principale; sono usualmente i peggiori tassi possibili nell’area € e fungono pure da pavimento e da tetto per il tasso interbancario per una notte (espresso dallo Eonia, acronimo di Euro OverNight Index Average, un tasso annuo di interesse semplice dell’area € applicato secondo la regola effettivi/360 per il calcolo dei giorni; più precisamente ogni Eonia è una media pesata, calcolata dalla BCE, dei tassi per una notte effettivamente applicati a tutti i prestiti interbancari senza garanzia concessi da un campione di più di 40 banche).

Gli altri tassi di interesse sono applicati a periodiche operazioni di mercato aperto, iniziate dalla BCE e svolte attraverso aste standard, tenute ogni settimana (mese) per i pronti contro termine (o i prestiti con garanzia) aventi durata settimanale (trimestrale). Sebbene le offerte siano sottoposte alle banche centrali nazionali, le decisioni di riparto sono prese dalla BCE; in un’asta a tasso e quantità fissi tutte le offerte sono soddisfatte pro-rata, mentre in un’asta a tasso variabile solo le migliori offerte sono soddisfatte ai loro corrispondenti tassi. Ogni volta che si tiene un’asta, le banche centrali nazionali prestano denaro al sistema bancario per una settimana (un mese); più precisamente, esse comprano a pronti e rivendono a termine un appropriata quantità di opportuni titoli, il cui valore può essere maggiore o minore dell’ammontare in scadenza. Il sistema bancario riceve liquidità dalla BCE soprattutto attraverso le operazioni di rifinanziamento principale; tuttavia, la BCE può pure condurre operazioni di mercato aperto ad hoc o più strutturate, utilizzando anche altri strumenti finanziari, quali gli swap valutari, o effettuando la compravendita a pronti di titoli.

Tuttavia, per la gestione giornaliera della liquidità le banche si avvalgono soprattutto del mercato interbancario, dando o prendendo in prestito importi non minori di 1 milione di €. Il rischio di credito è mitigato mediante un sistema a 2 livelli, secondo cui le banche più grandi e più conosciute operano tra loro oltre confine come pure con le banche più piccole nel loro stesso paese.

Esercizio 3. Un certificato di deposito è un titolo negoziabile abbinato a un deposito vincolato presso una banca. Il certificato di deposito emesso da una banca per un risparmiatore prevedeva che un capitale di €100.000 si trasformasse in un montante lordo di €140.000 in un periodo di 5 anni. Pertanto, l’interesse lordo ammontò a €40.000; poiché fu tassato alla fonte con aliquota fiscale del 12,5%, l’interesse netto e il montante netto ammontarono a €35.000 e

€135.000. La banca affermò che il tasso annuo lordo (netto) di interesse era l’8% (il 7%). Quale regime dell’interesse aveva impiegato?

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e i rappresenti il tasso annuo di interesse incognito. Siano C=100.000 e FV =140.000 oppure FV =135.000. Facendo riferimento al primo (secondo) montante, si ottiene un tasso di interesse lordo (netto).

Nel regime dell’interesse composto si ha: ^FV

( )

^{1 i 5}

C = + e

1

5 1 6,961% (6,186%) i FV

C

 

=  − =

  .

Nel regime dell’interesse semplice si ha: FV 1 5

C = + i e 1

1 8% (7%) 5

i FV C

 

=  − =

  .

Pertanto, vige il regime dell’interesse semplice, che favorisce chi prende denaro in prestito e quindi la banca in questo caso. La durata e gli importi sono fittizi, ma il fatto è realmente accaduto (fonte: Basso, A., Pianca, P., Appunti di matematica finanziaria, Padova, CEDAM, 2002, pag. 131).

OSSERVAZIONE. Secondo il decreto legge 323 del 20/6/1996 (138 del 13/8/2011), la ritenuta fiscale sugli interessi dei certificati di deposito è operata alla fonte con aliquota del 27% (20%), indipendentemente dalla loro durata.

Esercizio 4. Un risparmiatore sottoscriva, all’asta di emissione tenuta dalla Banca d’Italia lunedì 12 gennaio 2009, dei buoni ordinari del Tesoro italiano 15/1-15/4/2009 per un valore nominale di €10.000, pari a 10 volte il taglio minimo. Il prezzo percentuale di aggiudicazione all’asta di tali obbligazioni senza cedola sia 99,587; la ritenuta fiscale è operata all’emissione con aliquota del 12,50%; la commissione bancaria sia lo 0,10% del valore nominale. La regola per il calcolo dei giorni è effettivi/360. Si trovino

a) l’esborso del risparmiatore;

b) i tassi annui lordo e netto di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e y indichi il tasso annuo incognito di modo che

(

¹+y

)

^−365/360 è un fattore di sconto annuo.

a) Il prezzo percentuale di sottoscrizione è

739 , 99 0010 , 0

* 100 125 , 0

* ) 587 , 99 100 ( 587 ,

99 + − + =

di modo che l’esborso del risparmiatore è di 9.973,90 € 100

739 ,

*99 000 .

10 = .

b) Poiché il 15 gennaio 2009 cade di giovedì e il 15 aprile di mercoledì, dall’inizio al termine dell’operazione monetaria intercorrono effettivamente 16+28+31+15=90 giorni. Si ha

(

¹

)

^90/360

100

99,587= +y ⁻ e ^99,739=¹⁰⁰

(

¹+y

)

^−90/360

e quindi il tasso lordo y =1,669% e il tasso netto y=1,051%. Affinché l’1,051% sia pure il tasso annuo netto di rendimento effettivo, bisogna poter reinvestire, alle condizioni d’asta e per altri 9 mesi, il montante di €10.000, disponibile dopo 3 mesi.

OSSERVAZIONE. Qualora al risparmiatore occorresse del denaro prima della scadenza dei suoi BOT, li potrebbe rivendere nel mercato secondario. Il regolamento di una sottoscrizione all’asta di BOT (di una loro successiva rivendita nel mercato secondario) avviene con 3 (2) giorni lavorativi di differimento. Il regolamento di una transazione su CTZ avviene comunque con 3 giorni lavorativi di differimento; la regola per il calcolo dei giorni è effettivi/365.

I BOT (CTZ) sono emessi con durata di 3, 6 e 12 mesi (24 mesi) attraverso aste elettroniche periodicamente tenute dalla Banca d’Italia, competitive (marginali) per i BOT (CTZ). Sono comunque accolte le migliori offerte per un’obbligazione senza cedola presentate dagli intermediari finanziari; in un’asta competitiva ogni offerta aggiudicataria è soddisfatta al rispettivo prezzo proposto, mentre in un’asta marginale tutte le offerte aggiudicatarie sono soddisfatte al prezzo marginale, quello dell’ultima offerta accolta. Tuttavia, i risparmiatori sottoscrivono i loro BOT al prezzo medio ponderato d’asta, le commissioni massime dei BOT a 3 / 6 / 12 mesi essendo pari allo 0,10% / 0,20% / 0,30% del valore nominale. Non ci sono commissioni di sottoscrizione per i CTZ, in quanto esse sono retrocesse dal Tesoro italiano agli intermediari finanziari aggiudicatari al momento della sottoscrizione. La ritenuta fiscale è operata al rimborso dei CTZ con aliquota del 12,50%.

Esercizio 5. Un investitore sottoscriva, all’asta di emissione tenuta dalla Banca d’Italia mercoledì 27 dicembre 2006, dei buoni ordinari del Tesoro italiano 2/1-29/6/2007 per un valore nominale di €25.000, pari a 25 volte il taglio minimo. Il prezzo percentuale di aggiudicazione all’asta sia 98,221; la ritenuta fiscale è operata all’emissione con aliquota del 12,50%; la commissione bancaria sia lo 0,20% del valore nominale. La regola per il calcolo dei giorni è effettivi/360; l’investitore abbia optato per il regime del risparmio amministrato.

Si trovino

a) l’esborso dell’investitore;

b) il tasso annuo netto di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse semplice.

L’investitore rivenda i suoi BOT martedì 27 marzo 2007 al prezzo percentuale di 99,244; la commissione bancaria sia ancora lo 0,20% del valore nominale. Si trovino

c) l’incasso dell’investitore;

d) il tasso annuo netto di rendimento effettivo, nel regime dell’interesse semplice.

Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e y indichi un tasso annuo incognito.

a) Il prezzo percentuale di sottoscrizione è

(

^{100 98,221}

)

^{*0,125 100*0,0020 98,643}

221 ,

98 + − + =

di modo che l’esborso del risparmiatore è di 24.660,75 € 100

643 ,

*98 000 .

25 = .

b) Poiché il 2 gennaio 2007 cade di martedì e il 29 giugno di venerdì, dall’emissione al rimborso dei BOT semestrali intercorrono effettivamente 29+28+31+30+31+29=178 giorni. Si ha

1

360 1 178 100 98,643

−



 



 +

= y

e quindi il tasso annuo netto y=2,782%.

c) Il regolamento della rivendita dei BOT avviene giovedì 29 marzo, 86 giorni dopo la loro emissione, al prezzo percentuale di

( )

^{100*0,0020 99,159}

178 86

*178 125 , 0

* 221 , 98 100 244 ,

99 + − − − =

il secondo termine essendo il rateo dell’imposta sostitutiva a carico dell’acquirente.

L’incasso dell’investitore è dunque di 24.789,75 € 100

159 ,

*99 000 .

25 = ; ad esso si

accompagna una minusvalenza pari a

( ) ( ) ( )

€ 13 , 100 59

178

* 86 221 , 98 100 20 , 0 221 , 98 20 , 0 244 , 99 000 .

25 − − + − − =−

l’ultimo termine del numeratore essendo il rateo di scarto di emissione maturato negli 86 giorni di detenzione.

d) Facendo astrazione dalla minusvalenza, si ha

1

360 1 86 159 , 99 98,643

−



 



 +

= y

e quindi il tasso annuo netto y=2,190%. Per non incorrere in una minusvalenza, l’investitore avrebbe dovuto rivendere i suoi BOT al prezzo percentuale di 99,481; in tale caso, il tasso annuo netto di rendimento effettivo sarebbe stato pari al 3,195%.