Il tasso interno di rendimento (TIR)

Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia la data di valutazione e t_k sia un numero razionale. Si consideri un progetto di investimento reale, rappresentato mediante una sequenza di poste comprendente esborsi

( )

^{xk−<0 e incassi}

(

^{xk+ >0}

)

previsti, come mostrato nel seguente diagramma

x0 x₁ x₂ x_n−1 x_n

0 t₁ t₂ L

−1

tn t _n

Il tasso interno di rendimento è un’opportuna radice reale r dell’equazione

( )

∑

=

+ −

= ⁿ

k

t

k r ^k

x

0

1 0

tale che r >−1. Un progetto di investimento reale e un suo multiplo (per esempio, tutte le poste sono triplicate) hanno lo stesso tasso interno di rendimento r . In alcuni casi la radice r può non esistere, oppure possono esistere diverse radici reali maggiori di -1; tuttavia, nel caso dell’importante categoria degli investimenti in senso stretto, la radice reale r esiste, è unica e può assumere qualsiasi segno. Le seguenti proposizioni sul tasso interno di rendimento (per anno) possono risultare utili per rilevare eventuali errori di calcolo in un modello finanziario.

Proposizione. Se tutti gli esborsi precedono tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento è ben definito (esiste un’unica opportuna radice, che può essere positiva, nulla o negativa).

Proposizione. Se gli incassi superano gli esborsi













∑

>

=

0

0 n

k

xk e tutti gli esborsi precedono tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento è unico e positivo.

Esempio 14.

xt -5 -5 -5 10 10

t 0 1 2 3 4

Svolgimento. Poichè incasso totale=20>esborso totale=15 e tutti gli esborsi precedono tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento r è unico, positivo e pari al 12,074% annuo, come si può verificare utilizzando la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico.

CENNO ALLA DIMOSTRAZIONE. Si consideri la precedente sequenza di poste; i simboli PV_t, FV_t e V_t rappresentino il suo valore attuale, montante e valore al tempo t. Il valore al tempo 2 di questa sequenza di poste è

( ) ( )

[

²

] [ ^{( )}

¹

^{( )}

²

]

2 2

2 =FV +PV =−51+r + 1+r +1+10 1+r ⁻ + 1+r ⁻ V

Si consideri V₂ come funzione di r. Poiché gli incassi superano gli esborsi, si ha

( )

^{0 15 20 5}

2 =− + =+

V . Inoltre, ^V2

( )

^r decresce al crescere di r (sia FV₂ sia PV₂ si comportano così) e

( )

^=−∞

+∞

→ V₂ r

r

lim . Poiché ^V2

( )

^r è una funzione continua, essa deve attraversare l’asse r

una e una sola volta in corrispondenza di un valore positivo r , che è l’unico tasso interno di rendimento. Infatti, V2

( )

r =⁰ implica che

( ) ( )

¹ 2 2

( )

⁰

0 r = +r ⁻ V r = PV

a causa della scindibilità. E’ agevole rendersi conto che una simile dimostrazione vale per ogni sequenza di poste che soddisfi le ipotesi.

OSSERVAZIONE. La scadenza media aritmetica di una sequenza di poste è una media pesata di tutte le scadenze, i pesi essendo i rapporti tra ciascuna posta e la somma di tutte le poste. Come dimostrato dal matematico italiano Eugenio Levi, 1913-1969, se gli incassi superano gli esborsi

 scadenza del primo incasso, esiste un solo tasso interno di rendimento positivo. Si osservi che la proposizione non esclude l’esistenza di altre radici, che devono essere negative, come

lim , in quanto l’ultimo

pagamento è un esborso e −¹⁰

( )

¹+r ⁻⁶ è il termine dominante di PV₀(r) per r→−1⁺. Pertanto, ci deve pure essere almeno una radice negativa. Infatti, utilizzando opportunamente la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico, si trovano 2 tassi interni di rendimento, rispettivamente pari al -58,435% e al 9,307% annuo.

Proposizione (C.J. Norstrøm, 1972). Le scadenze siano periodiche e B_t= x₀+ x₁+ +K x_t rappresenti il saldo di cassa al tempo t, subito dopo il pagamento dell’importo x_t. Se B_t≠0 per

0,1, ,

t= K n e la sequenza

{

B B0, 1,K,B_n

}

presenta uno e un solo cambiamento di segno, l’equazione in esame possiede un’unica radice positiva (si tenga presente che se x_t ≠0, B_t =0 deve essere considerato come un cambiamento di segno).

Esempio 16. come si può verificare utilizzando la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico.

Le seguenti proprietà di PV₀(r), il valore attuale netto al tempo 0 di un investimento in senso stretto, torneranno utili nel prosieguo; esse sono illustrate dalle figure degli esercizi 33 e 34.

Proposizione. Se tutti gli esborsi precedono tutti gli incassi, si ha PV0

( )

r >⁰ solo per r

r<

<

−1 , dove r è l’unico tasso interno di rendimento. Infatti, il valore attuale netto PV₀(r), quando positivo, è una funzione decrescente e convessa del tasso di rendimento richiesto r e tale che ₊

( )

=+∞ scadenza degli esborsi e la prima scadenza degli incassi. La derivata prima di PV₀(r) rispetto a r è tale che

Pertanto, PV₀(r)>0 comporta che ₀( ) 0 dr <

r

dPV e ( ) 0

2 0 2

>

dr r PV

d . Inoltre, ₀( ) 0

dr = r dPV

comporta che ( ) 0

2 0 2

>

dr r PV

d ; in altre parole, ogni punto di stazionarietà è un minimo negativo.

Poiché due minimi sono separati da un massimo, PV₀(r) può avere un solo punto di stazionarietà.

Sull’uso congiunto di VAN e TIR

Sebbene il riferimento al tasso interno di rendimento sia frequente in sede operativa, il TIR è più un complemento che un sostituto del VAN. Si tenga presente che il TIR è un costo del capitale come pure un tasso di reinvestimento; pertanto, esso perde di significato se particolarmente elevato, in quanto gli incassi non possono essere effettivamente reinvestiti a tale condizione. A nostro avviso, come precedentemente sostenuto, un decisore avveduto dovrebbe prendere in considerazione entrambi gli indicatori finanziari, in quanto forniscono dell’utile informazione; tuttavia, egli dovrebbe privilegiare il VAN ogni volta che i due rispettivi criteri di decisione siano in contrasto.

TIR e VAN risultano coerenti e danno la stessa indicazione nel seguente importante caso;

ciò consegue dalle precedenti proposizioni. Qualora si esamini la fattibilità di un progetto di investimento in senso stretto, la regola di decisione “intraprendi il progetto se il suo tasso di rendimento interno r è maggiore del tasso di rendimento richiesto r” è equivalente alla regola, enunciata enunciata in precedenza, “intraprendi il progetto, se il suo valore attuale netto PV₀ al tasso di rendimento richiesto r è positivo”.

CENNO ALLA DIMOSTRAZIONE. Come dimostrato più sopra, si ha PV0

( )

r >⁰ solo per −1<r<r, dove r è l’unico tasso interno di rendimento. Ci sono 2 possibilità:

1) se gli incassi non superano gli esborsi

∑

=

≤

n

k

xk 0

0, l’unico TIR r è non positivo di modo che

( )

⁰

0 r <

PV per tutti gli r>0. Il progetto non va intrapreso: il TIR è minore di ogni tasso di rendimento richiesto positivo di modo che il VAN a qualsiasi tasso di rendimento richiesto è negativo;

2) se gli incassi superano gli esborsi

∑

=

>

n

k

xk 0

0, l’unico TIR r è positivo di modo che

( )

⁰

0 r >

PV for 0≤r<r. Il progetto può essere intrapreso se il TIR è maggiore del tasso di rendimento richiesto di modo che il VAN al tasso di rendimento richiesto è positivo.

Se si deve scegliere un solo progetto tra 2 o più progetti alternativi di investimento in senso stretto, la regola di decisione “intraprendi il progetto con il più elevato TIR r , purché maggiore del tasso di rendimento richiesto r” non è equivalente alla regola, enunciata in precedenza, “intraprendi il progetto con il più elevato valore attuale netto PV₀>0 al tasso di rendimento richiesto r” e non va utilizzata, come mostrato nell’esercizio 34.

Esercizio 33. Si consideri il seguente progetto di investimento reale in senso stretto, dove il tempo è misurato in anni e un iniziale esborso x è seguito da diversi incassi ₀⁻ x con _k⁺

n k =1,2,K, .

0−

x x ₁⁺ x ₂⁺ x _n⁺

0 1 2 L n tempo

Il valore attuale netto al tempo 0 del progetto di investimento è

∑ ( )

= + −

−+ +

= ⁿ

k

k

k r

x x

PV

1 0

0 1 ,

dove r è il tasso annuo di rendimento richiesto.

a) Si supponga che gli incassi superino l’esborso iniziale:

∑

= +

−+ ⁿ >

k

xk

x

1

0 0 ; si determinino le caratteristiche qualitative del grafico di PV₀(r) (suggerimento: si rammenta che, come dimostrato nella sezione 3.3, PV₀(r)>0 per −1<r<r).

b) Si abbia n=3, x₀⁻ =−1.400 e x_t⁺ =550; le poste siano espresse in 10³ €. Si verifichi che il tasso interno di rendimento è r =8,688%.

Soluzione. Poiché gli incassi superano l’esborso iniziale per ipotesi e l’esborso iniziale precede tutti gli incassi, il tasso di rendimento interno è unico e positivo, come dimostrato nel precedente riquadro e mostrato nel seguente diagramma.

a) Quando un iniziale esborso è seguito da diversi incassi, si ha

1)

∑

: l’iniziale esborso è un asintoto orizzontale;

3) ^{( ) ( )}

( )

^{1 1 0} orizzontale r viene attraversato una e una sola volta in corrispondenza di un valore positivo

r, che è l’unico tasso interno di rendimento.

-250

come richiesto dalla definizione di tasso interno di rendimento.

Esercizio 34. I dirigenti di una società per azioni devono decidere se intraprendere l’uno o l’altro dei 2 seguenti progetti di investimento reale in senso stretto (il tempo è misurato in anni e le poste sono espresse in 10 €³ ).

A -10 10 1 1

B -10 1 1 12

tempo 0 1 2 3

a) Per ciascun progetto di investimento si tracci il grafico del valore attuale netto PV(r) al tempo 0 quale funzione del tasso annuo di rendimento richiesto r.

b) Si supponga che il tasso di rendimento richiesto sia l’8% e si determini quale progetto debba essere finanziato.

Soluzione. I grafici dei PV(r) di entrambi i progetti compaiono nella figura più sotto

-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

0,00% 2,50% 5,00% 7,50% 10,00% 12,50% 15,00% 17,50% 20,00% 22,50% 25,00% 27,50% 30,00%

pvA pvB

a) In entrambi i casi,

• poiché un esborso è seguito da diversi incassi, il valore attuale netto PV(r) è una funzione decrescente e convessa di r; inoltre, l’iniziale esborso è un asintoto orizzontale

000 . 10 ) ( lim ) (

lim = =−

+∞

→ +∞

→ PV r PV_B r

A r r

• poiché gli incassi superano l’esborso iniziale (PV_A(0)=2.000 e PV_B(0)=4.000), il tasso interno di rendimento è unico e positivo.

Inoltre, i 2 grafici hanno un solo punto comune

% 554 , 10 per

603,60 =

=

=PV r

PV_{A B}

mentre PV_A(20%)=−393,52 e PV_B(20%)=−1.527,78; pertanto, si ha

% 554 , 10 per <

< PV r

PV_{A B} e PV_A >PV_B per r >10,554%

b) Sebbene procedendo per via numerica si ricavi TIR_A =16,044%>TIR_B =12,937%, il progetto B è più redditizio, poiché gli incassi sono verosimilmente reinvestiti a un tasso dell’8%

€ 25 309 1 8 €

43 910

8%) , PV ( %) . ,

(

PV_A = < _B =

Nel documento Appunti di Matematica e tecnica finanziaria (pagine 87-95)