3.3 Analisi computazionale preliminare
3.3.1 Primo step
In principio è stato implementato un modello in due dimensioni raffigurante condotto cilindrico con una valvola secondaria nel centro. Il condotto è a pareti rigide e non può essere deformato, la dimensione coincidente con il diametro del vaso rimarrà quindi costante. Lo scopo di questa fase è stato quello di studiare la modalità di apretura dei lembi valvolari: all’interno del condotto è stato fatto scorrere del liquido, per semplicità assunto essere acqua, sotto l’influenza della differenza di pressione imposta ai capi del vaso,∆P =Pout−Pin, in quetso modo
anche la valvola quindi risentirà dell’influenza della pressione a monte (Pin) e
di quella a valle (Pout), che causerà una deformazione dei lembi assimilabile
all’apertura fisiologica della valvola (figura:3.16).
3.3. Analisi computazionale preliminare 55
3.3.2
Secondo step
Al fine di valutare anche l’effetto di un carico esterno, partendo dalla geome- tria dello step precedente, sono stati aggiunti due elementi:
• spessore della parete del vaso; • pressione esterna Pext.
La parete del vaso ora non è più rigida ma è assunta come una parete deforma- bile ed è stata semplificata con spessore costante e con caratteristiche meccaniche simili al quelle del tessuto muscolare: la parete del vaso risentirà quindi sia del ∆P presente all’interno del condotto, sia della pressione esterna causando una deformazione dello stesso (figura:3.17).
La pressione esterna è stata imposta come un carico costante distribuito sulla parete esterna del vaso.
3.3. Analisi computazionale preliminare 56
3.3.3
Terzo step
In questo passaggio si è giunti al modello preliminare completo. Sono presenti sia la doppia valvola che il carico esterno: in questo modo si è costruito un modello bidimensionale in cui è rappresentata la sezione di un vaso linfatico; lo scopo di questo step è stato proprio quello di valutare l’interazione fluido- struttura all’interno di un lunfangione (figura: 3.18).
Per evitare che le condizioni iniziali influenzassero la dinamica di apertura delle valvole, è stato deciso di lasciare libera da vincoli una parte di condotto nella parte precedente e successiva al linfangione considerato per lo studio.
Figura 3.18:Terzo step: modello geometrico completo.
3.3.4
Quarto step
In tutti gli step precedenti le pressioni utilizzate erano dell’ordine dei Pascal. Cercando di avvicinarsi a range fisiologici, e inserendo valori di pressione in millimetri di mercurio, il modello realizzato fin ora non ricrea adeguatamente la deformazione meccanica del vaso: inoltre, anche il movimento durante l’apertura delle valvole porta a situazioni di non convergenza, di conseguenza il modello è stato ulteriormente sviluppato con le seguenti modifiche (figura: 3.19):
3.3. Analisi computazionale preliminare 57
• dal un lato accorciando il vaso, consentendo di concentrare l’analisi solo sulla zona d’interesse;
• dall’altro aumentando il modulo elastico della valvola di due ordini di grandezza.
Figura 3.19:Geometria del modello accorciato.
Le pressioni utilizzate in questa parte di studio sono costanti e sono state fatte diverse simulazioni per rappresentare in particolare il caso in cui la pressione interna fosse maggiore di quella interna (Pin >Pext) e il caso opposto (Pin <Pext).
Per tutte le simulazioni implementate durante questa fase, lo studio computa- zionale è stato impostato nel seguente modo:
Tabella 3.6:Caratteristiche dello studio.
Tipo di studio tempo-dipendente
Tipo di risolutore Diretto (lineare) - PARDISO
Metodo temporale BDF - Libero
3.4. Modello computazionale 3D 58
3.4
Modello computazionale 3D
Basandosi sul modello bidimensionale descritto nella sezione precedente3.3.4, è stato implementato anche un modello tridimensionale: tuttavia, in questo caso è stato deciso di inserire una sola valvola e di conseguenza di accorciare il vaso; per la costruzione dello stesso sono stati seguiti i passi iniziali utilizzati per il modello in due dimensioni.
Il condotto che rappresenta il vaso linfatico viene realizzato tramite un cilindro cavo all’interno del quale può scorrere il fluido linfatico.
La particolarità di questo modello risiede però nella geometria con cui si sono riprodotti i lembi valvolari. I modelli già presenti in letteratura generalmen- te riguardano il sistema circolatorio e la geometria delle valvole è ricavata da immagini dalle quali è possibile ricostruire una struttura realistica, mentre nel nostro caso non è possibile procedere con un simile approccio in quanto non sono disponibili immagini adeguate.
In particolare, nel tessuto diaframmatico sono presenti diversi tipi di vasi con differente geometria e funzione, come già inoltre come già precedentemente spiegato l’attività della muscolatura liscia del vaso è molto meno evidente ed è quindi difficile poter individuare i linfangioni e le valvole in modo corretto: si è quindi reso necessario ricostruire la geometria dei lembi valvolari utilizzando esclusivamente le forme geometriche predefinite nel database di COMSOL Mul- tiphysics. Per cercare di riprodurre in modo corretto la forma e la funzionalità delle valvole sono state studiate diverse geometrie:
• inizialmente sono stati rappresentati tramite due emidischi aventi raggio pari al diametro interno del condotto e posizionati leggermente distanziati; • per rendere la geometria più simile alla sezione utilizzata per lo studio bidimensionale, la valvola è stata rappresentata tramite un cono sezionato a metà da un piano parallelo all’asse longitudinale, in modo tale da ottenere due lembi separati. Con questo tipo di rappresentazione, tuttavia, abbiamo riscontrato dei problemi durante le simulazioni, in parte dovuti all’eccessiva
3.4. Modello computazionale 3D 59
finezza della mesh nel ricoprire le punte dei lembi, in parte nella descrizione dell’apertura valvolare;
• per cercare di risolvere i problemi della geometria conica è stato deciso di ricreare i lembi valvolari tramite intersezione tra due coni eccentrici, in modo da eliminare le punte e avere una apertura migliore.
Sono state studiate ed approfondite solo due delle geometrie sopra elencate. La prima che definiamo come GEOMETRIA 1 è quella in cui i lembi sono due emidischi, mentre l’altra è quella costituita da due coni eccentrici che sarà definita come GEOMETRIA 2.
Entrambe le geometria sono caratterizzare dalle seguenti dimensioni:
Tabella 3.7:Dimensioni del condotto.
Lunghezza Diametro interno Spessore
CONDOTTO 0.7 [mm] 0.14 [mm] 0.004 [mm]
LEMBI 0.132 [mm] - 0.003 [mm]
3.4.1
GEOMETRIA 1
Ispirandosi alla geometria delle valvole cardiache, si è deciso di utilizzare dei lembi valvolari piatti. Sono stati ricavati disegnando un cilindro con le seguenti dimensioni: diametro pari a quello interno al vaso e altezza pari allo spessore dei lembi (figure:3.20,3.21e3.22).
Il cilindro è stato successivamente tagliato a metà da un piano in modo tale da creare due emidischi distanti pochi micrometri.
3.4. Modello computazionale 3D 60
Figura 3.20: GEOMETRIA 1, vista ZX, XY.
Figura 3.21: GEOMETRIA 1, vista YZ
3.4. Modello computazionale 3D 61
3.4.2
GEOMETRIA 2
In questo caso i lembi valvolari sono stati introdotti seguendo i seguenti passaggi:
1. è stato costruito un cono eccentrico con diametro della base uguale al diametro interno del vaso e altezza h;
2. è stato costruito un cono eccentrico con dimensioni uguali a quello descritto nel punto precedente ma posizionato sotto il cono precedente in modo che dalla differenza dei due si crei un cono cavo con spessore pari a quello del lembo;
3. tramite la sottrazione di un parallelepipedo dalla figura precedentemente ricavata, in corrispondenza dell’asse longitudinale del condotto, viene eliminata la parte destra del cono in modo da ottenere un solo lembo sinistro;
4. ripetendo i passaggi precedenti, ma inclinando i due coni eccentrici in direzione opposta rispetto ai primi, e sottraendone la parte sinistra tramite un parallelepipedo, si ottiene anche il lembo destro.
Le dimensioni dei parallelepipedi utilizzati per l’ottenimento dei lembi sono state decise in modo da evitare il contatto tra i lembi della valvola (figure:3.24,
3.23e3.25).
3.4. Modello computazionale 3D 62
Figura 3.24: GEOMETRIA 2, vista ZX in sezione.
Figura 3.25: GEOMETRIA 2visione tridimensionale.
In figura3.26è rappresentata in sezione longitudinale la valvola della GEO- METRIA 2. Come si può notare dalle immagini questa si avvicina molto alla rappresentazione dei lembi valvolari fatta durante lo sviluppo del modello in due dimensioni: il vantaggio di questa geometria sta proprio nel fatto che sia una buona approssimazione della configurazione fisiologica delle valvole.
3.4. Modello computazionale 3D 63
Figura 3.26:Confronto valvola in 2D, in 3D e fisiologica [7].
3.4.3
Materiali
Come già spiegato nella sezione3.2.2, per l’implementazione del modello è stato necessario definire i materiali che costituiscono le rispettive componenti. Per quanto riguarda il vaso le proprietà meccaniche sono le stesse utilizzate nel modello bidimensionale. Sono riportate nella tabella seguente.
A differenza dello studio precedente, in questa fase sono state introdotte le proprità meccaniche del liquido linfatico [22].
3.4. Modello computazionale 3D 64
Tabella 3.8:Proprietà meccaniche del vaso.
Proprietà Nome Valore Unità di misura
Modulo elastico E 1.72·106 [Pa]
Densità ρ 960 [kg/m3]
Coefficiente di Poisson ν 0.49 -
Tabella 3.9:Proprietà meccaniche del liquido linfatico.
Proprietà Nome Valore Unità di misura
Densità ρ 997 [kg/m3]
viscosità dinamica µd 0.0009 [Pas]
Per rendere il modello più realistico, si è deciso di modificare il modulo elastico della valvola. É stata utilizzata una analogia tra il vaso linfatico e l’arteria aortica e tra la valvola linfatica e quella cardiaca: in questo modo, si è deciso di aumentare il modulo elastico per diminuire la differenza di rigidezza tra il vaso e lembi. Come già espresso nella sezione riguardante il modello bidimensionale una volta costruito un solido modello computazionale sono state imposte alcune modifiche che lo rendessero più corretto dal punto di vista fisiologico.
Tabella 3.10: Proprietà meccaniche dei lembi valvolari.
Proprietà Nome Valore Unità di misura
Modulo elastico E 1.72·105 [Pa]
Densità ρ 960 [kg/m3]
Coefficiente di Poisson ν 0.49 -
3.4.4
Condizioni e vincoli
Vincoli geometrici
Ispirandosi al modello bidimensionale sono stati introdotti gli stessi vincoli agli estremi del condotto e ai bordi delle valvole. Gli estremi del condotto sono stati vincolati in modo che non sia consentito lo spostamento in nessuna direzio- ne (figure:3.27e3.28).
3.4. Modello computazionale 3D 65
Figura 3.27:Vincoli applicati al condotto GEOMETRIA 1.
Figura 3.28:Vincoli applicati al condotto GEOMETRIA 2.
Per quanto riguarda i vincoli ai lembi valvolari, è il caso di distinguere tra le due geometrie scelte:
• GEOMETRIA 1: i due emidischi sono stati vincolati lungo tutta la sezione circolare a contatto con l’interno del vaso (figura: 3.29);
• GEOMETRIA 2: ogni lembo è stato vincolato imponendo spostamento nullo in tutte le direzioni lungo la base rimanente di entrambi i coni eccentrici (figura: 3.30).
3.4. Modello computazionale 3D 66
Figura 3.29:Vincoli applicati alla valvola della GEOMETRIA 1.
Figura 3.30:Vincoli applicati alla valvola della GEOMETRIA 2.
Condizioni al contorno
Per quanto riguarda le condizioni iniziali e al contorno anche in questo mo- dello si è deciso di variare le pressioni in ingresso, in uscita ed esterna al vaso in modo analogo all’analisi spiegata per il modello bidimensionale (paragrafo:
3.4.4).
Proseguendo con l’analisi delle deformazioni, in questo caso si è deciso di mol- tiplicare le pressioni imposte in ingresso ed esterna per due funzioni gradino differenti, in modo da far arrivare ad un valore stazionario la pressione interna al condotto e successivamente imporre il carico esterno.
3.4. Modello computazionale 3D 67
Lo scopo dello studio è cercare di riprodurre la meccanica del vaso linfatico cambiando le condizioni di pressione Pingresso, Puscita e Pesterna(figura:3.31,3.32e 3.33). Sono stati imposti dapprima dei valori costanti e successivamente variabili.
Figura 3.31:Pressione in ingresso imposta al vaso.
Figura 3.32:Pressione in uscita imposta al vaso.
Nelle prime fasi dello studio la pressione esterna è stata imposta come un carico di pressione disposto lungo tutto il contorno esterno del condotto; suc- cessivamente si è notato che la deformazione raggiunta in questo caso non era soddisfacente ed è stato necessario modificare la modalità di imposizione della condizione.
3.4. Modello computazionale 3D 68
Il carico è stato imposto come una forza agente sull’intero volume della parete variabile radialmente al condotto. Il valore è stato imposto costante e pari a
Pesterna·AREA con AREA =2·π·Resterno·Lvaso
Figura 3.33:Carico applicato come forza distribuita.
Equazioni governanti
Come per il modello bidimensionale, anche per quello in tre dimensioni le equazioni utilizzate per questo studio sono quelle già implementate in COMSOL, questa volta però vengono risolte lungo tutte e tre le dimensioni caratterizzanti la geometria. Per la parte strutturale le equazioni da risolvere tengono conto del materiale, che è elastico lineare isotropo.
σ =Cε
C = f(E, ν)
C è la matrice di elasticità in condizioni drenate e dipende solo da modulo elastico E e dal coefficiente di Poisson ν del materiale.
3.4. Modello computazionale 3D 69
Per la risoluzione del problema si utilizzano le equazioni costitutive imple- mentate:
ρ∂
2u solid
∂t2 − ∇ ·σ =Fv (3.7)
Per quanto riguarda la parte fluida, il software risolve le equazioni di Navier e Stokes lungo un condotto cilindrico impermeabile:
ρ∂uf luid ∂t +ρ(uf luid· ∇)uf luid = ∇ · h −pI+µ(∇uf luid+ (∇uf luid)T) i +F (3.8) ρ∇ ·uf luid =0 (3.9)
Nelle equazioni sopra citate la densità ρ e la viscosità µ del liquido saranno quelle del liquido linfatico che abbiamo preso in considerazione per questo step dello studio. Come già spiegato precedentemente 3.2.4la fisica FSI permette di accoppiare le equazioni della parte strutturale a quelle della parte fluida tenendo in considerazione gli effetti che una ha sull’altra, tramite la risoluzione di equazioni già implementate in questa fisica.
3.4.5
Mesh
A differenza del caso bidimensionale, durante questo studio non abbiamo riscontrato particolari problemi dovuti alla creazione della mesh, quindi è stata utilizzata una mesh costruita in funzione della fisica studiata in ogni dominio: fluidodinamica per il dominio contenente il liquido e strutturale per il vaso e i lembi. Solamente al fine di limitare il tempo di calcolo, molto maggiori nel modello tridimensionale, si è deciso di utilizzare una mesh meno fitta.
Nelle figure successive sono riportati i dettagli della composizione per la mesh tridimensionale.
Nella figura 3.34 si nota facilmente un infittimento del reticolo nel punto in cui sono presenti la valvola e il vincolo fisso. Dal particolare riportato nella figura3.35si notano i due strati strato limite della mesh: è così definita quella
3.4. Modello computazionale 3D 70
Figura 3.34:Mesh del condotto.
zona di confine tra la parete strutturale e il dominio fluido, che comporta la costruzione di una mesh diversa rispetto alle altre zone di confine. Questa particolare conformazione dei domini del reticolo dovrebbe favorire il calcolo dell’interazione di scorrimento del fluido a contatto con la parete del vaso. Gli strati possono essere aumentati se si desidera uno studio più accurato: nel nostro caso è stato sufficiente avere due strati.
Figura 3.35:Vista della mesh nel piano ZY.
Dato che la particolarità della geometria risiede proprio nella forma dei domi- ni che costituiscono i lembi valvolari, abbiamo riportato la mesh per entrambe le
3.4. Modello computazionale 3D 71
geometrie considerate (figure:3.36,3.37).
Complessivamente la mesh del modello con la GEOMETRIA 1 ha 48154 elementi con una qualità media di 0.56 , metre quella con la GEOMETRIA 2 ha in totale 113985 elementi con qualita media di 0.59.
Figura 3.36:Mesh della valvola GEOMETRIA 1.