Sviluppo del modello 2D

Il modello descritto nella sezione3.2non è ottimizzato dal punto di vista dei valori di pressione fisiologici. Ed è perciò stato ulteriormente sviluppato al fine di soddisfare questo requisito.

Prima di tutto è stato necessario ridefinire i parametri geometrici. Inizialmente si era deciso di implementare un linfangione mantenendo una lunga parte di vaso precedente e successiva alla così detta zona di interesse in modo tale che quest’ultima non subisse l’influenza delle condizioni iniziali imposte in ingresso e in uscita al vaso: tuttavia, una volta raggiunti valori pressori fisiologici (di pochi mmHg) proprio in queste zone era ostacolato il corretto sviluppo della meccanica del vaso, in particolare con una forte sensibilità all’aumento di pressio- ne e un rigonfiamento eccessivo a scapito del rigonfiamento del linfangione. Si è quindi optato per un accorciamento del modello, in modo da poter considerare lo studio come l’analisi di un’unità di un lungo vaso linfatico. La successiva modifica sostanziale riguarda il modulo elastico del tessuto che costituisce la valvola. Inizialmente era stato imposto un valore dell’ordine dei kPa, ipotizzando un’analogia con il tessuto endoteliale, ma dopo successive analisi si è riscontrato che i lembi valvolari si divaricavano in modo eccessivo anche con lievi pressioni. É stata quindi utilizzata l’analogia con il tessuto cardiaco precedentemente citata nella sezione2.3, allo scopo di modellare più correttamente il comportamento della valvola linfatica.

In letteratura sono stati riportati molti studi riguardanti le proprietà meccaniche del tessuto delle valvole cardiache e dell’aorta, effettuati su tessuti di origine sia umana che animale. Per quanto riguarda il tessuto aortico, il modulo elastico è

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generalmente ricavato dalla misura della compliance che è più facile da reperire sperimentalmente, in quanto misura la distensibilità del vaso come rapporto tra pressione e volume. Per quanto riguarda le valvole cardiache, invece, il modulo elastico è ricavato da prove a trazione su provini di tessuto, in cui si impone lo sforzo in direzione trasversale o circonferenziale rispetto alle fibre stesse. Per agevolare la meccanica cardiaca, si è potuto notare che il modulo elastico varia se si considera la sistole o la diastole, e in particolare in sistole è inferiore per agevolare la gittata cardiaca, mentre cresce durante la diastole per consentire di accumulare il corretto volume di sangue.

In ogni caso, il risultato è che l’ordine di grandezza variava da 8.9±0.5 a 5.7±0.4·106dynes/cm2 per quanto riguarda il tessuto aortico e 2.4±0.7 a 5.2±1.7·106dynes/cm2per la valvola aortica [16].

Per quanto riguarda il nostro studio, è stato utilizzato come modulo elastico della parete del vaso linfatico un valore ricavato in precedenza da un altro studio sperimentale riguardante i vasi presenti nel tessuto diaframmatico già citato nella tabella3.8, corrispondente a 1.72 MPa. Per quanto riguarda la valvola, sono stati scelti invece dei valori medi tra i precedenti riportati in modo tale da consentire una corretta dinamica di apertura valvolare, e cioè di 0.8±0.1 MPa.

É stato anche possibile cambiare le caratteristiche del fluido utilizzando dei valori ricavati da uno studio precedente, ovvero per la densità ρ =997 Kg/m3e per la viscosità µ=0.0009 Kg/ms [22].

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Dopo aver corretto parametri geometrici e meccanici si sono potuti imple- mentare gli andamenti pressori, per il momento qualitativi ma ricavati da valori fisiologici. Ci sono stati forniti i tracciati e i valori delle variazioni di diame- tro dovuti alla contrazione intrinseca del vaso linfatico (figura: 3.38), causata unicamente dall’attività del tessuto muscolare liscio: come già riportato nella sezione2.2, questo genere di attività nei vasi del tessuto diaframmatico è molto blanda, in quanto il suo effetto non provoca un incremento di flusso consisten- te. I tracciati forniti sono stati ottenuti analizzando immagini ottenute tramite microfluorescenza. Purtroppo non è stato possibile inserire nel modello da noi costruito direttamente la variazione di diametro poiché il programma da noi utilizzato, COMSOL Multiphysics, non consente l’utilizzo di un valore variabile nel tempo come parametro geometrico: si è deciso quindi di ricavare da tali valori l’andamento qualitativo dello stato di sforzo della parete che causa la suddetta variazione di diametro. Il procedimento utilizzato è stato il seguente: sono stati forniti i valori della variazione di diametro in funzione del tempo di acquisizione, D(t)(figura:3.39) e, utilizzando la seguente formula (3.10), è stato ricavato l’andamento qualitativo della pressione(figura: 3.44) .

∆P = D(tn−1) −D(tn)

D(tn−1)

· E·h

2πr3_L (3.10)

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Figura 3.40:∆P(t).

Ci sono stati forniti, inoltre, gli andamenti e i valori del flusso ricavati dalle velocità. La velocità è stata ricavata monitorando il movimento di microparticelle fluorescenti tramite le riprese di una telecamera, è stato calcolato l’avanzamento rispetto al tempo tra i diversi frame rate [20].

Come si può facilmente osservare dal grafico sotto riportato (figura: 3.41), la velocità varia tra valori positivi e negativi: questo conferma il fatto che durante la contrazione intrinseca sia presente un consistente reflusso dovuto alla non completa occlusione delle valvole. Il flusso è stato ricavato con la seguente formula (figura: 3.42):

Q(t) = v(t)

Area

Poiché la sezione non è costante, è stato utilizzato un valore diverso dell’area in base al verso della velocità misurata:

• se la velocità è negativa, il flusso è retrogrado e il vaso è rilassato e quindi il diametro è maggiore. In questo caso viene usato il diametro misurato in diastole;

• se la velocità è positiva, il vaso è contratto e il diametro è inferiore, e perciò si utilizza il valore misurato in sistole.

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Figura 3.41:Variazione della velocità nel tempo.

Figura 3.42:Variazione del flusso intrinseco nel tempo.

Il liquido linfatico può essere facilmente assunto incomprimibile, al punto da consentire l’assimilazione a semplice acqua nelle fasi precedenti del lavoro, e perciò si può calcolare il numero di Reynold’s con la classica formula:

Re = vDρ

µ

Utilizzando la velocità massima e il diametro medio si ricava un valore inferiore a 2000, che identifica un flusso laminare. Le contrazioni intrinseche, inoltre, non

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provocano importanti contrazioni della parete del vaso, quindi alla luce di queste semplici assunzioni è possibile ricavare il valore di pressione a cavallo del vaso applicando la formula Poiseuille (figura: 3.43):

∆P= 128µl πD4 ·Q

Figura 3.43:Variazione della pressione.

Si è quindi proceduto con l’implementazione di questi andamenti imponen- doli singolarmente come condizioni al modello.

Pressione in ingresso variabile

In questo caso è stata imposta la pressione in ingresso seguendo l’andamento ricavato dall’interpolazione dei valori numerici ricavati come spiegato nella sezione precedente. I valori sono stati ricavati con la formula di Poiseulle e sono in Pa. Come sarà successivamente mostrato, dati gli errori forniti dalle simulazioni non si è proseguita l’analisi introducendo pressioni fisiologiche. Questo passaggio sarà completato nel modello tridimensionale.

La pressione in uscita è stata imposta nulla, mentre il carico sul contorno è stato ottenuto moltiplicando un valore di pressione in mmHg per la funzione step in modo da giungere gradualmente al valore corretto senza repentini cambi che potrebbero creare problemi durante la soluzione.

3.6. Utilizzo di dati sperimentali 80

Tabella 3.12:Condizioni iniziali.

Nome Valore Unità di misura

Pin 10·int1(t) [Pa]

Pout 0 [Pa]

Pext 5·step(t) [Pa]

Durante la simulazione è stato monitorato il modo in cui le valvole si aprivano ed eventualmente se si chiudevano e il rigonfiamento delle zone a monte e a valle del linfangione.

Variando il tempo delle simulazioni, è stato possibile comprendere in che modo il modello reagisse alla variazione dei parametri e quali modificare per poter riprodurre lo stato fisiologico; sono stati variati anche i parametri delle pressioni in gioco in modo da simulare diverse situazioni verosimili.

Pressione esterna variabile

Durante questo tipo di analisi si è deciso di imporre come condizione variabile il carico sul contorno. É stato utilizzato l’andamento ricavato dalle variazioni di diametro, imponendolo come carico pressorio distribuito sul contorno esterno del vaso. La contrazione del tessuto muscolare che costituisce il vaso si distribuisce all’interno della parete e nel vaso come una pressione che agisce sul contorno. In questo studio sono stati quindi imposti i seguenti valori.

Tabella 3.13:Condizioni iniziali al contorno.

Nome Valore Unità di misura

Pin 1·step(t) [mmHg]

Pout 0 [mmHg]

Pext 5·int2(t) [mmHg]

Anche in questa tipologia di studio si sono variati i tempi e i valori di pressione per coprire il maggior numero di situazioni verificabili e cercare di migliorare il modello analizzando le cadute di pressione interne esterne e strasmurali.

3.6. Utilizzo di dati sperimentali 81