Proprietà meccaniche della parete e del fluido

Le proprietà meccaniche dell’interstizio hanno grandi ripercussioni sulle normali funzioni del sistema linfatico e assumono importanza ancora maggiore

2.1. Fondamenti teorici 13

in situazioni patologiche.

Parametri strutturali

Lo sforzo meccanico, ,σ, è rappresentato dalla normalizzazione della forza sull’unità di superficie su cui esse agisce. Nell’interstizio sono presenti, in par- ticolare, due tipi di sforzi, uno solido e uno fluido, dovuti sia al gradiente di pressione che al flusso di liquido provocato da quest’ultimo. Il contatto di un liquido in movimento sulle pareti del condotto produce anche uno sforzo di taglio, τ, e uno shear rate ˙γ.

σ = Forza

Area

In aggiunta, possono esserci degli sforzi intrinseci dovuti alla crescita e al rimodellamento del tessuto stesso.

La deformazione meccanica ε è dovuta invece dalla variazione provocata dallo stress applicato al tessuto. In questo caso la struttura è organizzata in modo complesso e grazie alle integrine lo sforzo viene trasmesso alle singole cellule. Se sottoposte ad un determinato tipo di stress per uno specifico periodo di tempo le cellule possono modificare la loro fisiologia, per esempio cambiando orientazione e proprietà meccaniche per assecondare o interagire meglio con gli sforzi a cui sono sottoposte. Questo concetto sta alla base dei processi di ingegneria tissutale che cercano di riprodurre in vitro tessuti fisiologici; in questo caso specifico si può notare una disposizione delle fibre muscolari esterne in direzione circonferenziale, mentre per l’endotelio interno le cellule sono disposte in direzione longitudinale in modo tale da ridurre al minimo lo sforzo di taglio alla parete e non danneggiare il vaso stesso.

Il modello più semplice per descrivere il comportamento di un materiale elastico sottoposto ad una forza è il modello di Hooke: un solido é perfettamente ela- stico se, sottoposto ad una forza costante, subisce una deformazione istantanea proporzionale alla forza stessa.

2.1. Fondamenti teorici 14

dove: σ è lo sforzo calcolato come il rapporto tra la forza applicata e l’area, E è il modulo elastico del materiale considerato, ε è la deformazione calcolata come il rapporto tra allungamento e la lunghezza iniziale del materiale.

La stiffness matrix descrive le proprietà meccaniche del materiale sottoposto a uno sforzo in diverse direzioni, per un materiale lineare elastico è semplice- mente espressione del modulo elastico E mentre, per altri tipi di materiali, l’E è calcolabile solo per uno stretto range di sforzi e deformazioni.

Più usata in ambito biologico è la compliance, C, più facile da ottenere spe- rimentalmente ed è inversamente proporzionale al modulo elastico. Essa in sostanza è la misura di quanto il tessuto ceda se sottoposto ad una determinata pressione, ed è generalmente esprimibile come la variazione di volume rispetto alla variazione di pressione:

C= ∆Vintersiziale

∆Pf luido

In particolare per quanto riguarda il calcolo della Compliance in un condotto a geometria semplice in cui agisce una pressione interna ad esso (figura:2.2) è nota la seguente trattazione meccanica:

σ·h=r·dP

dove h è lo spessore del vaso, σ lo sforzo circonferenziale, r il raggio del vaso. La variazione di pressione dP può essere calcolata come:

dP= σ·h r = εc·E·h r = E·h r dr r = E·h r2 dr

dove εc è la deformazione in direzione circonferenziale e può essere scritto

come: εc = dr

r .

Invece la variazione di volume dV è data da:

dV =2πrLdr

Combinando le equazioni sopra citate si può scrivere l’equazione della complian- ce per un condotto cilindrico a parete sottile:

2.1. Fondamenti teorici 15

Figura 2.2:Schema esemplificativo di un vaso a parete sottile.

C= 2π·r

3_·L

E·h

Supponendo che la lunghezza del condotto si mantenga costante, è possibile approssimare la variazione di volume alla variazione di diametro:

C∼= ∆D

D /∆P

Da cui è possibile ricavare la variazione di pressione nel seguente modo:

∆P = ∆D D · E·h 2πL | {z } costante ·1 r3

Proprietà del liquido

Nel caso di un flusso di liquido che attraversa un condotto sono interessanti da studiare anche il valore dello sforzo di taglio, τ e dello shear rate, ˙γ.

• Lo sforzo di taglio è la componente di sforzo che si sviluppa parallela alla parete;

2.1. Fondamenti teorici 16

La viscosità è la proprietà di un fluido di opporre una forza resistente allo scorrimento di un suo filetto su un altro. La formula generale per ricavarne il valore può essere ottenuta considerando lo scorrimento di un fluido tra due lastre piane parallele di area A, una fissa e l’altra posta a distanza H alla quale viene applicata una forza F tale da mantenerla in moto con velocità costante v. Il fluido vicino alla lastra superiore esercita su di essa una resistenza viscosa che si oppone al moto, che si trasmette in direzione y da un filetto a quello ad esso adiacente. Il profilo dello sforzo di taglio varia linearmente da un valore massimo in corrispondenza della lastra superiore fino a un valore nullo su quella inferiore. In meccanica dei fluidi è possibile distinguere tra fluidi newtoniani e fluidi non newtoniani: un fluido è detto newtoniano se il coefficiente di viscosità è costante nel campo di moto, cioè non dipende dallo shear rate, per tali fluidi vale la legge di Newton:

τxy = −µ∂vx

∂y = −µ ˙γ

dove:τxy è lo sforzo di taglio esercitato dalla in movimento, vx è la velocità del

fluido in direzione x, ˙γ è lo shear rate.

Viceversa, un fluido é non newtoniano se la viscosità dipende in maniera non lineare dallo sforzo di taglio applicato. Generalmente il liquido linfatico può essere assunto newtoniano.

Legge di Poiseuille

Il passaggio di flusso laminare attraverso un condotto è governato dalla legge di Poiseuille, che esprime un legame lineare tra portata e gradiente di pressione:

∆P =R·Q

dove: ∆P è la differenza di pressione tra i capi del condotto, R è la resistenza del vaso, Q é la portata.

Esprimendo la dipendenza della resistenza dai parametri geometrici del vaso e del fluido presi in esame si ha:

∆P= 128µl πD4 ·Q

2.1. Fondamenti teorici 17

Questa formula è valida solo in caso di flusso laminare. Nei vasi nel corpo umano, in condizioni fisiologiche ,il flusso è sempre laminare anche per quanto riguarda il circolo ematico, poiché la presenza di turbolenze potrebbe causare danni alla parte corpuscolare del sangue. Nella circolazione linfatica, essendo le velocità più ridotte, è possibile assumere un flusso laminare.

Flusso attraverso un mezzo poroso

Altre importanti proprietà dei tessuti sono la conducibilità idraulica e la permeabilità. La prima rappresenta la resistenza al flusso di un certo liquido in un condotto,che per semplicità può essere descritto come il passaggio di liquido attraverso un mezzo poroso [33].

Un materiale poroelastico è caratterizzato, oltre che dalle proprietà dei suoi costituenti, anche dalla porosità e dalla permeabilità. Quest’ultima è un indice di quanto agevolmente il fluido possa fluire attraverso il materiale. Per descrivere questo tipo di fenomeno si utilizza un approccio multifase, ovvero si considerano sia le proprietà del mezzo poroso, che del liquido. Considerando uno stato di equilibrio tra le due fasi si può descrivere il fenomeno mediante la legge di Darcy:

vf luido−vsolido =k∇P

dove: v è il campo vettoriale delle velocità della relativa fase, k è la permeabi- lità,∇P è il gradiente di pressione che determina il movimento del fluido. Considerando il flusso in un unica direzione è possibile utilizzare la formula semplificata:

∆P

l =

µ

kν

dove: ∆P è la differenza di pressione applicata agli estremi, l è la lunghezza del tratto poroso, µ è la viscosità dinamica del liquido, k è la permeabilità, v è la velocità del fluido.

2.1. Fondamenti teorici 18 Tubi collassabili

Come già precedentemente accennato, è possibile sfruttare metodi di studio sviluppati per il sistema circolatorio anche per la circolazione linfatica. I vasi linfatici, per alcuni aspetti, sono assimilabili ai condotti venosi e quindi, se sotto- posti a carico eccessivo, è possibile che collassino. Da quanto detto finora, risulta chiaro e di notevole importanza il ruolo della pressione esterna sul comporta- mento meccanico del vaso. La portata all’interno del condotto sarà funzione non solo delle pressioni in ingresso e in uscita, ma anche della pressione esterna. Il collasso della parete del vaso si avrà quando la pressione esterna sarà maggiore di quella interna, ovvero quando la pressione transmurale risulterà negativa. Di seguito le varie casistiche:

• Il vaso risulta pervio lungo tutte le sue sezioni ∆Pin =Pin−Pext >0

∆Pout =Pout−Pext >0

• La parte terminale del vaso risulta collassata ∆Pin =Pin−Pext >0

∆Pout =Pout−Pext <0

• Il vaso risulta occluso lungo tutte le sue sezioni ∆Pin =Pin−Pext <0

∆Pout =Pout−Pext <0

La maggior criticità si riscontra nel secondo caso in quanto si instaura un fenomeno di instabilità: poiché la parte terminale del vaso risulta chiusa, la pres- sione a monte dell’occlusione sale vertiginosamente divenendo maggiore della pressione esterna, il che comporta una riapertura della sezione precedentemente occlusa, quindi un ulteriore calo di Pout, fino a scendere al di sotto della pressione

2.2. Fondamenti sperimentali 19