Risultati delle simulazioni del modello 2D

Simulazioni preliminari

Dopo aver corretto e migliorato la mesh aggiungendo la rigenerazione auto- matica della mesh sono state ripetute le precedenti simulazioni effettuate senza applicare tale opzione.

Osservando i grafici (figure: 4.4,4.5e4.6) si nota che l’ordine di grandezza dei valori considerati non varia ma il grafico colorimetrico assume un aspetto concorde con i valori di velocità.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 91

Figura 4.4:Grafico della velocità al termine della simulazione.

Figura 4.5:Grafico dello sforzo di taglio al termine della simulazione.

Figura 4.6:Grafico dello sforzo di taglio in prossimità dei lembi valvolari.

Abbiamo confrontato i risultati ottenuti con quelli ricavati utilizzando la formula di Poiseuille, approssimando tale configurazione come il flusso di un liquido incomprimibile in un condotto rigido; successivamente è stato ricavato il valore di velocità media e massima, shear rate e sforzo di taglio.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 92

Tabella 4.3:Confronto valori medi approssimati per pressioni costanti in Pa.

∆P[Pa] Q [m3/s] Vmedia[m/s] Vmax[m/s] τ[Pa] ˙γ[1/s]

5 1.96431E-11 0.001276042 0.002552083 0.291666667 291.6666667

Nell’ottica di avvicinarsi a range di pressioni più simili a quelli fisiologici, tabulati in letteratura, é stato aumentato l’ordine di grandezza delle pressioni imposte.

Tabella 4.4:Valori di pressione.

Nome Valore Unità di misura

Pin 1 [mmHg]

Pout 0 [mmHg]

Pext 5 [mmHg]

Per raggiungere questi valori di pressione è stato necessario modificare la funzione step(t): il modello rappresenta un piccolo tratto di condotto linfatico lungo circa 2 mm con diametro ci circa 1.5 mm, per cui un semplice innalzamento del valore di pressione "base" senza modificare la funzione step avrebbe causato un aumento istantaneo delle pressioni a valori nell’ordine delle centinaia di Pascal con gravi rischi di perdita di convergenza della simulazione.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 93

Come si può notare dalla figura 4.7, aumentando i valori di pressione la geometria scelta porta a deformazioni non corrette e l’eccessivo rigonfiamento della parte a monte del linfangione porta la simulazione a non convergere. Secondo studi di letteratura ([15], [26]) i linfangioni si gonfiano uno per volta consecutivamente, allo scopo di pompare il liquido linfatico all’interno dei vasi. In questo modello è presente un solo linfangione e la variazione di pressione dovrebbe portare ad un rigonfiamento nella zona tra le due valvole, che però è ostacolata dalla presenza delle zone a monte ed a valle della zona di interesse.

Figura 4.8:Modello corretto.

Per cercare di risolvere questo problema ed ottenere una deformazione più simile alla realtà si è convenuto fosse necessario modificare la geometria. Sono state eliminate le zone precedenti e successive al linfangione, decidendo quindi di concentrarsi solamente sulla zona di interesse: questa nuova geometria rappresenta lo studio della meccanica e della fluidodinamica di un solo linfangione (figura:

4.8).

Una volta modificata la geometria, è stato deciso di utilizzare valori di pres- sione già dell’ordine dei millimetri di mercurio per avere un riscontro migliore delle potenzialità del modello di replicare situazioni reali. In particolare, come già spiegato del paragrafo3.3.4sono stati studiati i due casi riportati di seguito.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 94

• P_in >Pext

Tabella 4.5:Valori di pressione.

Nome Valore Unità di misura

Pin 5 [mmHg]

Pout 0 [mmHg]

Pext 2 [mmHg]

Figura 4.9:Grafico della velocità.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 95

La simulazione che ci ha fornito questi risultati (figure: 4.9, 4.10), non giunge a convergenza poiché con questi valori di pressione i lembi valvolari si divaricano eccessivamente raggiungendo la parete del vaso, generando un contatto che impedisce il corretto proseguimento del calcolo.

Tabella 4.6:Confronto valori medi approssimati per pressioni costanti in mmHg.

∆P[Pa] Q [m3/s] Vmedia[m/s] Vmax[m/s] τ[Pa] ˙γ[1/s]

666 6.27952E-09 0.407925 0.81585 93.24 93240

• Pin <Pext

Tabella 4.7:Valori di pressione.

Nome Valore Unità di misura

Pin 2 [mmHg]

Pout 0 [mmHg]

Pext 5 [mmHg]

Dalle figure seguenti (figure: 4.12,4.11) si nota che il vaso si comprime notevolmente a causa della pressione esterna, maggiore di quella in ingres- so: sia per questo motivo che per l’inadeguatezza del modulo elastico, i lembi raggiungo l’apertura massima e toccano la parete del condotto: tale fenomeno può essere dovuto alla differenza tra le proprietà meccaniche del vaso e della valvola. Di conseguenza, si è deciso di modificare il modulo elastico della valvola cercando di stabilire un’analogia tra i tessuti dei vasi linfatici e quelli cardiaci e del sistema circolatorio, ottenendo i risultati riportati in seguito.

Tabella 4.8:Confronto valori medi approssimati per pressioni costanti in mmHg.

∆P[Pa] Q [m3/s] Vmedia[m/s] Vmax[m/s] τ[Pa] ˙γ[1/s]

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 96

Figura 4.11:Grafico della velocità.

Figura 4.12:Grafico dello sforzo di taglio.

Nonostante queste simulazione non abbiano simulato fino al tempo imposto sono state comunque fondamentali per comprendere alcuni aspetti del modello: infatti è stato possibile definire le soglia di pressione, che verrano utilizzate in seguito, al quale il vaso può essere sottoposto; inoltre sono state sfruttate per stabilire le proprietà meccaniche della valvola, nello specifico il modulo elastico (come già spiegato nel paragrafo: 3.6.1).

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 97 Simulazioni con dati fisiologici

Il modello bidimensionale su cui sono state svolte le successive simulazioni è lo stesso utilizzato nelle precedenti fasi dello studio (figura:4.8): dopo aver impostato il modello in modo che potesse fornire soluzioni corrette si è passati alla fase successiva, ossia l’imposizione di valori e andamenti pressori fisiologici e verifica visiva di una corretta meccanica.

Purtroppo non sono disponibili filmati e foto della geometria dei condotti linfatici nelle diverse fasi di apertura dei lembi valvolari ma é noto tuttavia da studi precedenti che esiste un moto di pompa intrinseca che provoca delle contrazioni dell’intero vaso; inoltre, tale meccanismo è molto blando e poco riconoscibile. Sono stati variati i valori di pressione in ingresso e i valori di pressione esterna poiché si è deciso per semplicità di mantenere nulla la pressione in uscita dal vaso e in più di non impedire il retroflusso in uscita, per cercare di riprodurre al meglio la situazione fisiologica in tutte le successive simulazioni.

Variazione pressione in ingresso Come spiegato nella sezione 3.6, i valori imposti come variazione di pressione in ingresso sono stati ottenuti dal tracciato di flusso ricavato sperimentalmente tramite la formula di Poiseuille.

Nei grafici riportati è rappresentato l’andamento di velocità (figure: 4.13,4.14

e4.15) e di sforzo di taglio (figure: 4.16,4.17e4.18) in presenza di una pressione in ingresso variabile. Le frecce indicano la direzione del flusso di liquido e sono dirette verso l’uscita nella prima immagine e in direzione opposta nelle rimanenti. Il reflusso non è stato impedito e la pressione in ingresso assume valori negativi, il che genera un cambiamento di direzione del flusso. Le valvole tendono quindi a chiudersi anche se non con una configurazione realistica.

Date queste considerazioni, non è stato ritenuto opportuno procedere nello studio inserendo pressioni dell’ordine dei millimetri di mercurio.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 98

Figura 4.13:Profilo di velocità, t = 0.5 s.

Figura 4.14:Profilo di velocità, t = 1.8 s.

Poiché al variare della pressione in ingresso si ha una variazione della dif- ferenza di pressione a cavallo del vaso, in questo caso si sono calcolati i valori approssimati di velocità e sforzo di taglio per il valore di pressione massimo e minimo.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 99

Figura 4.15:Profilo di velocità, t = 1.9 s.

Figura 4.16:Sforzo di taglio, t = 0.5 s.

Tabella 4.9: Confronto valori medi approssimati per PingessoVARIABILE.

∆P[Pa] Q [m3/s] Vmedia[m/s] Vmax[m/s] τ[Pa] ˙γ[1/s]

10 9.4287E-11 0.006125 0.01225 1.4 1400

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 100

Figura 4.17:Sforzo di taglio, t = 1.8 s.

Figura 4.18:Sforzo di taglio, t = 1.9 s.

Variazione della pressione esterna Per sviluppare in modo analogo lo studio nella variazione delle condizioni al contorno è stato deciso di implementare anche in questa sede un’analisi con pressioni dell’ordine dei Pascal.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 101

Figura 4.19:Profilo di velocità, t = 0.7 s.

Figura 4.20:Sforzo di taglio, t = 0.7 s.

Tabella 4.10: Confronto valori medi approssimati per PesternaVARIABILE in Pa.

∆P[Pa] Q [m3/s] Vmedia[m/s] Vmax[m/s] τ[Pa] ˙γ[1/s]

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 102

In questo tipo di simulazione, dato il basso ordine di grandezza delle condi- zioni al contorno, non sono presenti variazioni geometriche rilevanti durante la simulazione e perciò si è ritenuto sufficiente riportare un solo grafico ad un unico istante di tempo per la velocità e lo sforzo di taglio.

Data la buona riuscita della simulazione (figure: 4.20,4.19) si è ritenuto utile incrementare i valori di pressione esterna fino a 5 mmHg, in modo da poter os- servare in che modo l’ordine di grandezza della pressione influisse sul modello. Come si può notare da queste mappe, la valvola si apre velocemente e si stabilizza ad una configurazione costante. Ottenuti questi risultati, si è proseguito nello stu- dio introducendo le pressioni nell’ordine di grandezza dei millimetri di mercurio.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 103

Figura 4.22:Profilo di velocità, t = 1.2 s.

Figura 4.23:Profilo di velocità, t = 1.7 s.

Nei grafici illustrati sono rappresentate la velocità (figure: 4.21,4.22e4.23) e lo sforzo di taglio (figure:4.24,4.25e4.26) quando il vaso è sottoposto a pressione esterna variabile.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 104

Figura 4.24:Sforzo di taglio, t = 0.7 s.

Figura 4.25:Sforzo di taglio, t = 1.2 s.

Essendo la pressione esterna negativa il vaso collassa, mentre le valvole raggiungono la massima deformazione.

4.1. Analisi preliminare del modello 2D 105

Figura 4.26:Sforzo di taglio, t = 1.7 s.

Osservando i risultati si può notare la diversità dei valori sia di taglio che di velocità tra le due simulazioni: questo è principalmente dovuto al fatto che il diametro varia molto solo se la pressione esterna è imposta variabile. Inoltre, lo stato di rigonfiamento e di contrazione evidenziato influisce sul calcolo di entrambi i valori di riferimento.

Tabella 4.11:Confronto valori medi approssimati per PesternaVARIABILE.

∆P[Pa] Q [m3/s] Vmedia[m/s] Vmax[m/s] τ[Pa] ˙γ[1/s]