Terne pitagoriche

Un argomento che spesso appassiona i ragazzi è quello delle terne pita-goriche. Una terna pitagorica è una terna di numeri interi a, b e c tali che

a2+b2=c2. Una terna pitagorica molto famosa, e conosciuta fi n dalla remota antichità, è quella formata dai numeri 3, 4 e 5, per cui si ha 9+16=25. La ricerca di altre terne pitagoriche può portare alla scoperta di alcune relazioni interessanti. Vogliamo di-mostrare che per ogni intero dispari a si può trovare una terna pitagorica in cui i numeri b e c sono due numeri interi consecutivi. Per dimostrare questo iniziamo con il considerare i quadrati dei numeri interi. Scrivia-&IG

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È evidente dunque che l’area dei due quadrati azzurri della fi gura di sini-stra è equivalente all’area del qua-drato delle fi gura di destra. Questo è esattamente il teorema.

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moli uno dopo l’altro, e in una fi la sottostante scriviamo la differenza tra i due quadrati consecutivi.

Figure uguali, simili ed equivalenti

Nella dimostrazione del teorema di Pitagora si è usato molto il concetto di equivalenza tra fi gure geometri-che. Questo concetto, soprattutto in connessione con gli altri concetti ad esso legati, che sono l’uguaglianza e la similitudine, tende a confondere i ragazzi, soprattutto se viene presen-tato in termini puramente formali. L’esperienza che si descrive ora, che è anch’essa contenuta in Psicogeo-metria, è una proposta per far pas-sare queste classifi cazioni attraverso attività concrete. La nomenclatura specifi ca diviene un questo modo un’esigenza per esprimere a parole delle relazioni che vengono scoperte con un materiale. È chiaro che que-sto modo di introdurre il vocabolario specifi co è molto più effi ciente di una elencazione di defi nizioni, per quanto esse siano corredate da esempi.

Nella proposta originale di Montes-sori esiste un materiale specifi co, in ferro, pensato appositamente per questo scopo. In questo caso, però, è possibile proporre a ragazzi di scuola secondaria di primo grado la stessa esperienza anche a partire da mate-riali realizzati da lloro. Iniziamo co-struendo nove quadrati di cartoncino uguali. Ne dividiamo poi otto come nella fi gura seguente. Si ottiene un gran numero di fi gure geometriche. Se la realizzazione è stata fatta con cura, queste fi gure permettono di-verse rifl essioni. Per esempio fi gure ottenute dallo stesso quadrato sono certamente uguali, nel senso che so-vrapposte una all’altra coincidono perfettamente. La nozione di ugua-glianza tra due fi gure viene dunque data in termini percettivi di sovrap-ponibilità delle fi gure. Questa ugua-glianza attraverso la sovrapponibilità è anche quella presentata, riguardo ai triangoli, negli Elementi di Euclide (v. Teoremi I.4, I.8 e I.26).

La nozione di similitudine, pur es-sendo più diffi cile da defi nire in senso rigoroso, ha un forte contenuto percettivo, e nel contesto di questa esperienza può essere suggerita os-servando triangoli ottenuti da diverse suddivisioni del quadrato originario. I triangoli in questo caso non sono uguali, perché hanno dimensioni diverse, però hanno evidentemente qualcosa in comune, perché sono tutti triangoli isosceli e rettangoli. Si dice che la proprietà che questi triangoli hanno in comune si chiama similitudine (fi g. 10).

A livello manipolativo si può con-trollare, tramite sovrapposizione, che sebbene i triangoli non siano uguali, hanno per esempio gli angoli a due a due uguali. Si potrà collezionare tutta la serie di 4 triangoli simili. Si vedrà poi che nella scomposizione del quadrato originario in termini di quadrilateri si ottengono fi gure che non sono tutte simili. In particolare quando il quadrato è diviso in 2 o in 8 parti, ciascuna di queste è un rettangolo. Si può affermare che que-sti due rettangoli, che pure hanno dimensioni molto diverse, sono

si-MATEMATICA

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Si vede che le differenze tra i qua-drati consecutivi aumentano di 2 in 2, e sono tutti numeri dispari. Da questa osservazione si arriva facil-mente a scoprire in questo modo puramente numerico il fatto che n2

è la somma dei primi n numeri di-spari: 22=1+3, 32=1+3+5 e così via. Questa scoperta può essere fatta anche a livello geometrico, co-struendosi i quadrati attraverso dei quadratini unitari (fi g. 9).

&IG Quando la differenza tra due

qua-drati successivi è un numero dispari che è un quadrato perfetto (e dun-que è il quadrato di un numero di-spari) si ha una terna pitagorica. La prima si vede all’inizio della lista dei numeri appena mostrata: quando la differenza tra i due quadrati è 9 si ha una terna pitagorica, che in par-ticolare è quella formata da 3, 4 e 5. Nella lista di sopra se ne vede anche un’altra: quando la differenza tra i due quadrati successivi è 25 si ha un’altra terna pitagorica, che è 5, 12 e 13. Quando la differenza tra i due quadrati successivi diventa 49 si ha una nuova terna pitagorica, che è in particolare 7, 24 e 25. Si può procedere in questo modo indefi ni-tamente.

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mili tra di loro, ma certamente non saranno simili al quadrato intero, o a ciascuno dei 4 quadrati che si otten-gono nella divisione in 4 parti, nè a ciascuno dei 16 quadrati che si otten-gono nella divisione in 16 parti. I quadrati, invece, sono senz’altro simili tra di loro. La suddivisione in quadrilateri produce dunque due se-rie distinte di quadrilateri simili. Vi è infi ne una ultima relazione che si può defi nire tra le fi gure ottenute dalle suddivisioni del quadrato. È facile comprendere che il triangolo ottenuto dividendo in due il qua-drato lungo una sua diagonale e il rettangolo ottenuto dividendo in due il quadrato lungo una mediana hanno qualcosa in comune. Le due fi gure sono molto diverse tra di loro, non sono evidentemente nè uguali nè simili, ma hanno la stessa area, perché sono entrambe la metà dello stesso quadrato. Questa relazione si chiama, naturalmente, equivalenza. Questo vocabolario, come osservato prima, non compare improvvisa-mente in una lezione frontale, ma è stato introdotto per dare un nome a delle relazioni che possono essere percepite attraverso la realizzazione materiale delle fi gure. Sulla base del vocabolario introdotto ci si può porre domande interessanti.

Ad esempio, la serie dei quattro triangoli che si è ottenuta (fi g. 11) è equivalente, rispettivamente, a due rettangoli e a due quadrati.

Una volta che abbiamo posto la do-manda alla classe, dovremmo dare il tempo ai ragazzi per trovare la rispo-sta. La costruzione che i ragazzi de-vono fare per comporre un quadrato che un’area pari alla metà del quadrato originario è ovviamente la seguente:

Oppure, il fatto che un quadrato che ha la diagonale uguale al lato di un altro quadrato è la metà del secondo ci permette di dare una dimostra-zione semplice del teorema di Pita-gora, che vale però solo per triangoli rettangoli isosceli.

MATEMATICA

Occorre cioè accostare lungo l’ipote-nusa due triangoli da 1/4. Questa os-servazione ci permette di fare disegni “autosimili” interessanti, come per esempio quello illustrato in fi gura, in cui ogni nuovo quadrato ha un’area che è la metà di quello precedente (fi g. 13). &IG &IG &IG &IG &IG

Figure inscritte e circoscritte alla stessa circonferenza e stime di π. L’approccio materiale ci permette di risolvere in modo del tutto elemen-tare (ma non banale) problemi piut-tosto complessi.

Un esempio interessante di questo è fornito dal problema (peraltro men-zionato nelle ultime Indicazioni

na-zionali per il curricolo della scuola superiore di primo grado) della stima

del valore di π. Il valore in questione può essere, naturalmente, stimato sperimentalmente, avvolgendo un nastro attorno a un oggetto circo-lare (per esempio una lattina) e mi-surando il rapporto tra diametro e circonferenza. Ma un’altra possibi-lità per eseguire questa stima, ispi-rata dal pensiero Greco, è quella di considerare i perimetri e le aree dei poligoni inscritti e dei poligoni cir-coscritti. Siamo dunque interessati a calcolare il perimetro del poligono inscritto e l’area di quello circoscritto ad una circonferenza.

Un primo risultato facile si può tro-vare attraverso il quadrato. Attra-verso la fi gura della sezione prece-dente si può vedere che il quadrato circoscritto a una circonferenza è quello che ha il lato pari al diametro, mentre quello inscritto ha la diago-nale uguale al diametro (fi g. 15).

Possiamo, con il materiale che ab-biamo a disposizione, costruire una serie di quattro quadrati equivalenti rispettivamente ai quattro triangoli?

L’area del quadrato circoscritto è chiaramente pari a 4 volte l’area del quadrato che ha come lato il raggio. Il perimetro del quadrato inscritto è 4 volte il raggio. Poichè l’area del cerchio è pari a πr2 e l’area del qua-drato, che è evidentemente maggiore dell’area del cerchio, è pari a 4r2, si ottiene da questa costruzione la disu-guaglianza π<4.

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Abbiamo visto prima che l’area del quadrato inscritto nella circonferenza è la metà di quella del quadrato cir-coscritto, e il quadrato inscritto ha evidentemente un’area minore di quella del cerchio. Dunque si ottiene facilmente la disuguagliaza π>2. Ma a partire dal quadrato inscritto si può ottenere una disuguaglianza mi-gliore, attraverso la formula del pe-rimetro e della circonferenza. Infatti il perimetro del quadrato inscritto è 4√−2 r, e questo perimetro è evidente-mente minore della lunghezza della circonferenza, che è 2πr. Dunque si ha la disuguaglianza 2π>4√−2, cioè π>2√−2. Il fatto che per il poligono inscritto la stima attraverso il perime-tro e la circonferenza sia migliore di quella che si ottiene attraverso l’area è generale, perché l’area del poligono inscritto si ottiene attraverso il semi-prodotto tra perimetro e apotema, e l’apotema è sempre minore del raggio. Una costruzione simile attraverso

l’e-sagono ci permette di dare stime di π un po’ migliori.

La prima osservazione cruciale in questo senso è quella che ci dà il rapporto tra esagono inscritto e circo-scritto alla stessa circonferenza. Que-sta osservazione si può fare a partire dalle seguenti decomposizioni di un triangolo equilatero (fi g. 16).

Consideriamo il cerchio che ha come diametro il lato del triangolo. Attra-verso la decomposizione in quattro triangoli si vede con la costruzione seguente che l’esagono inscritto nel cerchio ha un’area pari a una volta e mezzo quella del triangolo (fi g. 17). L’esagono circoscritto si può costruire a partire dal triangolo equilatero diviso in tre parti, con la costruzione della fi g. 18.

Questo signifi ca che l’area dell’esa-gono circoscritto è due volte quella del triangolo. Il rapporto tra l’esa-gono circoscritto e l’esal’esa-gono inscritto è dunque 4/3.

Notiamo ora che il lato dell’esagono inscritto è evidentemente uguale a

r, e questo dà la stima π>3. L’area

dell’esagono inscritto è data dal se-miperimetro per l’apotema, (che at-traverso il teorema di Pitagora è pari a √−3/2 r) e dunque è 3√−3/2 r2. L’area dell’esagono circoscritto, essendo 4/3 di quest’ultimo numero, è pari a 4√−3/2 r2 =2√−3r2, e questo dà per la stima di π la disuguaglianza π<2√−3. MATEMATICA &IG &IG &IG

Elementi di meccanica